ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.04.2024

Просмотров: 29

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
  1. Метод прогонки решения разностных уравнений.

Пусть требуется решить стационарную краевую задачу математической физики, то есть когда искомая функция зависит лишь от одной пространственной координаты и не зависит от . Пусть краевая задача имеет вид:

Решение поставленной задачи ищем на равномерной сетке

Производные аппроксимируем конечно разностными формулами (то есть находим приближенное значение, путем выбора вспомогательной функции похожей на данную на определенном отрезке(рассматриваемом))

Таким образом (1)-(2) сведется к сист лин алг урав

где - заданные краевые условия.

Очевидно, что система (5) имеет трехдиагональную матрицу, матрицу, так как каждое уравнение содержит лишь 3 соседних неизвестных.

Суть метода: решение отыскиваем в виде

где - пока неизвестные коэффициенты, называемые прогоночными коэффициентами.

Если заменить в (8) j на j-1 и подставить:

в уравнение (5), то оно преобразуется к виду:

Сравнивая теперь (8) и (10) получаем рекуррентные формулы для прогоночных коэффициентов

Применяя (8) к j=0 и используя краевые условия, находим

.

Таким образом решение складывается из двух этапов


-прямой ход: вычисляются прогоночные коэффциенты по рекуррентным формулам (11) с начальными значениями (12).

-обратный ход вычисляются значения функций.

Задача 1.1. Дана краевая задача

Соответствующая ей система разностных уравнений имеет вид:

, ,

,

.

Решить эту систему методом прогонки для .

Решение: суть метода рассказывается чуть выше

) – общий вид уравнения,

- уравнения из условия задачи.

Перепишем его в виде

Используем равномерную сетку (то есть шаг изменения переменных постоянный)

Пусть N=4, тогда h=1/4, , j=1…4

Причем:

- граничная точка

- внутренние точки

- граничная точка

Используя трехточечную разностную схему, получим СЛАУ из трех уравнений


где

Имеем прямой ход метода прогонки и прогоночные коэффициенты

Прямой ход

и так далее до получаем, что

Обратный ход:

до N=4, тогда при ,

Ответ

x

0

1/4

1/2

3/4

1

u(x)

1

0.9260

0.7097

0.3843

0

Вычисления проведете сами по формулам

2. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость.

Разностная схема это аппроксимирование некоторой дифференциальной задачи системой конечно- разностных уравнений.

Рассмотрим дифференциальную задачу с начальными и краевыми условиями в виде

B,L и так далее, более простыми отношениями, которые называются конечно разностными:

Здесь Lh, Bh-разностные операторы, u-решение разностных уравнений, функции f, ψ, θ – приближенные значения функций F, Ψ, Θ соответственно. Предположим, что известно точное решение диф задач(1)-(3), если поставить это решение в разностную схему (4), получится некоторое отклонение, которое называется невязкой и имеет вид:


Аппроксимация - когда с уменьшением шагов невязка стремиться к нулю, то есть ее смысл состоит в том, что с уменьшением шагов конечноразностные уравнения стремятся к исходным. Обычно аппроксимация обозначается

Говорят, что разностная схема устойчива, если малые изменения исходных данных приводят к малым изменениям решения, то есть если

Говорят, что разностная схема сходится (к точному значению) если

Если погрешность решения :

Говорят, что разностная схема сходится кс к-ым порядком пот h и s-м порядком по τ.

Задача 2.1 . Используя метод конечных разностей составить решение краевой задачи с точностью , при h=0,1:

;

Решение:

Требуется найти значение искомой функции на [2; 2,3], h=0,1

задача ищется в виде:

Краевые условия примут вид

Таким образом задача сводится к решению системы лин уравнений

Неизвестные можно найти из системы

Таким образом получаем таблицу искомых значений

х

2

2,1

2,2

2,3

у

2,235

2,185

2,158

2,15


3.Разностная аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона: постановка разностной задачи, оценка погрешности.

Уравнение элиптич типа имеет вид

У-е Пуассона описывает распределение электрического потенциала в среде с плотностью заряда и электрической проницаемостью.

Рассмотрим так называемую задачу Дирихле или краевую задачу для уравнения Пуассона

Воспользуемся сеткой с узлами

Если аппроксимировать 2- е производные в операторе

конечноразностными функциями на 5–ти точечном шаблоне «крест», то можно построить разностную схему

Схема (4) имеет погрешность аппроксимации , то есть эта схема второго порядка; значения

задаются краевыми условиями.

Задача 3.1.Используя метод сеток, составить приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в квадрате АВСD с вершинами А(0;0), В(0;1), С(1;1), D(1;0), взяв шаг h=0,5; Г – граница рассматриваемой области; .

Вычислим значения в граничных точках по заданной формуле

Е(0.5;1), F(1;0.5), G(0.5;0), H(0;0.5)

u(A)=u(0,0)=0

u(B)=u(0,1)=0+1=0

u(C)=u(1,1)=2

u(D)=u(1,0)=1

u(E)=u(0.5;1)=1.5;

u(F)=1.5

u(G)=0.5

u(H)=0.5