Файл: В.М. Волков Математика. Контрольные работы №1, 2, 3 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических спецальностей.pdf

S

Α1

=

1

Α

Α

2

Α

Α

3

Α2Α3

2

1

1

В нашем примере

Α1 Α2 ={3,

4,

5}, Α1

Α3 ={− 6, − 9, − 5}

Α1 Α2 × Α1 Α3

={25,

−15,

− 3}.

Тогда

Α1 Α2 × Α1 Α3

= 252 + (−15)2 + (− 3)2

≈ 29,2 ,

3

4

5

Α1 Α2 Α1 Α3 Α1 Α4 =

− 6

− 9

− 5

= −146 ≠ 0

− 2

7

− 3

V =

1

Α1 Α2 Α1 Α3 Α1 Α4

V =

−146

≈ 24,3 .

6

6

Например, пусть Α1 (1, 2,

2), Α2 (4, 6,

8), тогда уравнение пря-

мой Α1 Α2 будет иметь вид

x - 1

=

y − 2

=

z − 3

или

x −1

=

y − 2

=

z −

3

.

4 - 1

3

4

6 − 2 8 − 3

5

N ={A, В, С}: A(x - x0 )+ B(y − y0 )+ C(z − z0 )= 0 .

Это рассмотрено в [2, с.130-131; 5, с. 107-111; 7, с.199, 200, 205].

Причем за точку М0

можно взять любую из точек Α1 , Α2 , Α3 .

Мы

возьмем Α1 (1, 2,

3).

Вектор

N ={25,

−15,

− 3}

найден выше

(см.

п.3).

Α1 Α2 Α3 имеет вид

25(x - 1)−15(y − 2)− 3(z − 3)= 0

Уравнение плоскости

или

25x −15 y − 3z +14 = 0.

Для составления уравнения высоты, опущенной из

вершины Α4 на грань Α1 Α2 Α3 , необходимо исполь-

зовать канонические уравнения прямой в про-

странстве

x - x0

=

y − y0

=

z − z0

, проходящей через

m

p

n

точку

M0 (x0 ,

y0 ,

z0 ),

параллельно

вектору

S ={m,

n,

p} [3, гл. 4, п.2, 4].

В нашем случае вместо точки

Μ0 возьмем точку А4 ,

а вместо S

возьмем вектор N , т.к. S и

N коллинеарны.

Уравнение высоты имеет вид

x +1

=

y − 9

=

z

.

25

−15

− 3

3. Для решения задач № 131-140 необходимо знать, что работа,

совершаемая равнодействующей F

двух постоянных сил

F1

и

F2

при перемещении тела на прямолинейном участке AB ,

равна скаляр-

ному

произведению вектора силы

F

на вектор перемещения

AB.

Например,

сила

F1 = i − 2 j + 3k,

F2 = 4i + 5 j − 6k ,

точки

A(0, −1, − 4), B(7, 8, 9).

= 5i + 3 j − 3k , вектор AB ={7,

13}.

Равнодействующая

F = F1 + F2

9,

Вычисляем работу:

A = F AB = 5 7 + 3 9 + (− 3)13 = 23.

В задачах № 121-130 момент равнодействующей F двух сил,

приложенных в точке A относительно точки B ,

нужно находить как

векторное произведение

AB × F [2, гл. 3, п. 3, с. 96, 100; 6, с. 51-52].

Пусть F1 = −i + 3 j − 4k,

F2

= 2i + 8k , точки A(2, 5,

− 8),

B(4,

0,

− 3).

Тогда

F = F1 + F2 = i + 3 j + 4k,

AB ={− 6,

− 5,

5}.

Μ = momB F = AB × F =

i

j

k

= i

− 5

5

− j

− 6

5

+ k

− 6

− 5

− 6

− 5

5

=

1

3

4

3

4

1

4

1

3

cos α =

− 35

= −0,74

cos β =

29

= 0,614

cos γ =

−13

= −0,275 .

47,3

47,3

47,3

ляем вектор OA ={4,

0, − 7}, тогда линейная скорость

i

j

k

V =ω ×OA =

0

3

0

= −21i −12k.

4

0

− 7

Канонические уравнения

осями симметрии,

осями симметрии, па-

Вид кривой

совпадающими с

раллельными осям ко-

Параметры кривой

График кривой

осями координат и

ординат, и центром

центром (верши-

(вершинной) в точке

ной) в начале ко-

(x0 ; y0 )

ординат

1

2

3

4

5

Окружность

R - радиус

x2 + y2 = R2

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2

x0 и y0 - абсцисса и ор-

дината центра

Эллипс

x0 и y0 - координаты

центра

a - большая полуось

x

2

y

2

2

2

b - малая полуось (ес-

+

=1

(x − x0 )

+

(y − y0 )

=1

ли a > b ) и наоборот

a2

b2

a2

b2

(если a < b )