Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные задания и методические указания для студентов заочного факультета специальности 061000 - Государственное и муниципальное управление.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 1
6
4. Построить на плоскости область, соответствующую системе неравенств [1, c.46-51].
mx + ny |
|
|
≤ mn , |
|||
(m − n)x + (−1)n y ≤ m − n , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
n |
x + (−1) |
m |
my |
≤ 0 . |
|
|
|
||||
|
Пример: |
|
|
|
||
|
2х + у ≤10 , |
|
||||
|
|
х + 3у ≤15 , |
|
|||
|
|
|
||||
|
|
х + у ≥ 0 . |
|
|
||
|
|
|
|
|||
Строим прямые, являющиеся границами области:
2х + у = 10, |
х + 3у = 15, |
х + у = 0. |
||||
х 0 5 |
х 0 15 |
х 0 5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
у 10 0 |
у 5 0 |
у 0 -5 |
||||
Выделяем части плоскости (полуплоскости), которые соответствуют знакам неравенств. Для этого подставляем координаты произвольной точки в неравенства и проверяем их знак. Так для точки О(0;0) 1-е и 2-е неравенства выполняются, поэтому все точки плоскости, лежащие по одну сторону от прямых вместе с точкой О, являются решением 2-х первых неравенств. Выполнение третьего неравенства нельзя проверить координатами точки О, т.к. получаем 0=0. Выбираем другую точку, например (0;5). Для него 3-е неравенство выполняется. Поэтому соответствующая полуплоскость лежит выше 3-й прямой. Находим пересечение полуплоскостей и получаем область, соответствующую системе неравенств (на рисунке она заштрихована).
|
y |
|
|
10 |
|
x+3y=15 |
|
5 |
|
|
|
0 |
5 |
15 |
x |
|
|||
x+y=0 |
|
2x+y=10 |
|
|
|
|
7
Контрольная работа № 2 Введение в математический анализ Дифференциальное исчисление
|
1. Найти пределы [1,68-77]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а) |
lim |
(m |
−2n)x3 + nx2 +(m −n) x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
m + nx − |
(2m −n)x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) |
lim |
x3 |
−nx2 −( −1)m mx +( −1)m nm |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x2 +( m −n )x −mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) |
lim |
ln(1+( −1)n |
|
2mxn −nxm ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
nxn + mxm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a) lim |
2x |
3 −4x 2 +1 |
= |
|
∞ |
2x 3 |
|
−4x 2 +1 ~ 2x 3 |
, 3 −2x − x 3 ~ −x 3 = |
||||||||||||||
|
−2x − x 3 |
|
|
= |
|
||||||||||||||||||
|
x→∞ 3 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
lim |
2x |
3 |
= −2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x2 −4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
( x − |
2 )( x + 2 ) |
|
|
|
x + 2 |
|
|||||||
б) |
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
= lim |
( x − |
|
2 )( x −1) |
= lim |
|
|
|
= 4. |
|||||
|
− |
3x − |
2 |
|
|
|
x −1 |
||||||||||||||||
|
x→2 x2 |
|
|
0 |
|
x→2 |
|
x→2 |
|
|
|||||||||||||
в) |
lim |
ln(1− x3 ) |
= |
|
0 |
= |
ln(1− x3 ) ~ −x3 = lim |
− x3 |
= − lim x = 0. |
||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 x2 |
|
x→0 |
||||||
|
2. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж [1, c.77-81]. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(−1)m mx2 , x ≤ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y = |
(−1)n nx +(−1)n +(−1)m ,0 p x ≤ m, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
m |
/(m − x), x f m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 ,x ≤ 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: y = −2x,0 p x ≤ 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −4,x f 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
На интервалах (–∞;0), (0;4), (4;+∞) функция непрерывна. Исследуем поведение функции в точках х=0 и х=4.
lim |
y = |
lim |
3x2 = 0 = y( 0 ). |
lim y = lim −2x = 0. |
|
x→0−0 |
|
x→0−0 |
x→0+0 |
x→0+0 |
|
В точке х=0 функция непрерывна. |
|
||||
lim |
y = |
lim |
−2x = −8 = y( 4 ). |
lim |
y = lim x −4 = 0. |
x→4−0 |
|
x→4−0 |
|
x→4+0 |
x→4+0 |
В точке х=4 функция имеет разрыв 1-го рода.
y |
|
|
0 |
4 |
x |
- 4 |
|
|
- 8 |
|
|
3.Исследуйте поведение функций и постройте их графики [1, c.81100].
y =( −1)n xn+2 +( −1)m( n +2 )xк / k +( n −m ), а) k =1+ 12 ( −1)m +( −1)n ,
б) y = ( −1)m x2 + n . ( −1)n xк −m
Примеры: а) у=5х4-4х5+1. Область определения функции (–∞;+∞).
lim y = |
lim ( 5x4 −4x5 +1) = |
lim ( −4x5 ) = m∞. |
|
||
x→±∞ |
x→±∞ |
|
x→±∞ |
|
|
Функция непрерывна. Вертикальных асимптот нет. |
|
||||
Находим наклонные асимптоты у=kх+b. |
|
||||
k = lim |
y |
= lim |
5x4 −4x5 +1 = |
lim ( 5x3 −4x4 +1 / x ) = lim −4x4 = −∞. |
|
|
|||||
x→∞ x |
x→∞ |
x |
x→∞ |
x→∞ |
|
Следовательно, наклонных асимптот нет.
Устанавливаем области монотонности и находим экстремумы функции:
9
у′=20х3-20х4=0, х3-х4=0, х3(1-х)=0.
х1=0, х2=1 – критические точки на экстремум.
Определяем знаки производной на интервалах и соответственно
области монотонности: |
|
|
|
|
|
y′ |
– |
• |
+ |
• |
– |
|
|||||
y |
убыв. |
0 |
возр. |
1 |
убыв. x |
Таким образом, ymin( 0 ) =1, ymax(1) = 2.
Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и найдем точки перегиба: y′′=(20x3–20x4)′=60x2–80x3=0,
3х2 – 4х3 = 0; х1 = 0, х2 = 3/4 – критические точки на перегиб. Определяем знаки второй производной на интервалах, а по ним -
области выпуклости и вогнутости графика:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||
|
вогн. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вогн. |
3/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вып. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Таким образом, х2 =3/4 – точка перегиба, |
|
у(3/4) = 1,6. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Составляем таблицу характерных точек функции и по ней строим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ее график: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
-∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+∞ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
• |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
(+∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
• |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
• |
|
|
∞ |
|
x |
(– |
) |
0 |
3/4 |
1 |
(+ |
) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(– ∞) |
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|