Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные задания и методические указания для студентов заочного факультета специальности 061000 - Государственное и муниципальное управление.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 341

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

10

б) у =

х2 + 2

.

3 − х

Область определения функции (-∞;3) (3;+∞).

lim

x2 + 2

= lim

x2

= m∞.

3 − x

x→±∞

x→±∞ − x

В точке x=3 функция терпит разрыв.

lim

x2 + 2

11

=

= m∞, то есть разрыв 2-го рода и x=3 – урав-

3 − x

x→3±0

m0

нение вертикальной асимптоты. Находим наклонные асимптоты:

k =

lim

x2

+ 2

= lim

x2

+ 2

∞

lim

x

2

= −1,

=

=

x→∞ (3 − x)x

x→∞ 3x − x2

∞

x→∞ − x2

x2

+ 2

2

+3x

3x

b =

lim

−(−1) x = lim

= lim

= −3.

3 − x

x→∞

3 − x

x→∞ − x

x→∞

y = - x -3

– уравнение наклонной асимптоты.

Исследуем функцию на экстремум:

x2 + 2

′

2 +6x − x2

2

y′ =

− x

=

2 = 0,

2 + 6x –x = 0

3

(3 − x)

x1≈ - 0,3 ; x2 ≈ 6,3 – критические точки на экстремум.

y′

–

•

+

ο

+

•

–

y

убыв.

- 0,3

возр.

3

возр.

6,3

убыв.

ymin(-0,3)≈ 0,6; ymax(6,3)≈ - 12,6.

(исследование графика данной функции на выпуклость и вогнутость можно не проводить).

Составляем таблицу характерных значений функции и строим ее график с учетом асимптот.

x

- ∞

- 0,3

3-0

3+0

6,3

+∞

y

+∞

0,6

+∞

- ∞

- 12,6

- ∞

11

y

•

-3

3

x

•

Контрольная работа № 3 Функции нескольких переменных

1.Найдите частные производные второго порядка функции z [2, c.48-52].

а) z = (−1)n mx3 ym−n +(n −2m)x2n−m y3 + nxy, б) z = mxn−5 +nym + х.

Пример:

z = 2x3/y + 4x2y3 + x – 1.

z'x

=

y = const

= 2 3x2 / y + 4 2xy3 = 6x2 / y +8xy3 +1,

z'y

=

x = const

= −2x3 y−2 + 4x2 3y2 ,

z'xx' =( 6x2 / y +8xy3 +1)'x =12x / y +8y3 ,

z 'yy'

= ( − 2 x 3 y − 2 + 12 x 2 y 2 )'y = − 2 x 3 ( − 2 ) y − 3 + 12 x 2 2 y =

= 4 x 3 / y 3 + 24 x 2 y ,

z'xy' = z'yx' =( z'x )'y =( 6x2 y−1 +8xy3 +1)'y = −6x2 y−2 + 24xy2 .

2.Найдите экстремумы функций [2, c.57-59].

а) z = (−1)m nx2 +(−1)m my2 + 4nx −2my + n,

б) z = (−1)n mx2 +(−1)m ny2 −2mnxy + m.

12

Пример: z = 3x2 + y2 +12x −2 y + 2.

мум:

Находим частные производные и критические точки на экстре-

'

= 6x +12y

6x +12 = 0

x = −2

zx

,

,

- критическая точка.

'

= 2y −

2

2 y −2 = 0

y

=1.

z

y

Находим вторые частные производные и их значения в критиче-

ской точке:

z'xx' = 6 = A,z'yy'

= 2 = C,z'xy' = 0 = B.

Вычисляем значение ∆ =AC –B2 = 12.

Так как ∆>0, то в критической точке существует экстремум. С учетом того, что А, В>0, то это минимум.

Вычисляем значение минимума функции zmin = −11.

Нетрудно проверить, что функция z = 3x2 − y2 +12x −2 y + 2 не имеет экстремумов, т.к. в этом случае ∆ < 0.

3.Найдите градиент и производную по направлению вектора аr функции z в точке М .

z = (m −2n)x2 y +(n −2m)xy2 +(n −m)xy + m, ar ={m −4, n −3}, M (5 −m, n −6).

Пример: z = 3x2 y − 2xy2 + 3xy +1, ar = {−1;2}, M (−3;1).

Находим частные производные и их значения в точке М:

z'x = 6xy −2 y2 +3y, z'y = 3x2 −4xy +3x.

z'x( −3;1) = −17,

z'y ( −3;1) = 30.

Полученные значения являются координатами градиента функции

в заданной точке, т.е. grad z =

{−17;30}.

Вычисляем производную функции в точке М по

направлению

вектора аr:

r

z'ar = grad( z ) ar

= −17

−1

+30

2

= 77

≈ 34,4.

a

12 + 22

12 + 22

5

13

Контрольная работа № 4 Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения.

1. Найдите неопределенные интегралы [2, c.4-18].

а) ∫

[ mx3 +( m −n )x +( −1)m n ]dx

,

( −1)n x +( 2m −3n )

б) ∫

[ nx2 +( n −5 )x +( −1)n m ]dx

.

x2 −( n +1)x + n

Пример: ∫

( 3x3

+ 4 )dx

.

x2 − x −2

Выделяем целую и дробную части функции:

3х3+4

I x2-x-2

-( 3x3-3x2-6x)

I 3x+3

3x2+6x+4

-(3x2-3x-6)

9x+10,

таким образом

3х3 + 4

= (3х+3) +

9

х+10

.

х2 − х−

2

х2

− х−

2

Раскладываем знаменатель на простейшие множители:

х2-х-2 = 0; х1 = -1, х2 = 2. Тогда х2-х-2 = (х+1)(х-2).

Раскладываем дробную часть на сумму простейших дробей:

9х+10

=

А

+

В

=

А( х−2 ) + В( х+1)

=

х2 − х−

2

х+1

х−

2

х2 − х−2

=

( А+

В)х+( −2А+ В)

,

А+ В = 9

А= −1/ 3

.

х2 − х−2

−2А+ В =10,

В = 28 / 3

Интегрируем целую часть и простейшие дроби:

∫

( 3x3 + 4 )dx

= ∫( 3х+3

+

−1 / 3

+

28 / 3

)dx =

x2 − x −2

х+1

х

−2

= 3

х2

+ 3х -

1

Ln

x +1

+

28

Ln

x −2

+ С.

2

3

3

14

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функ-

ций [2, c. 21-32].

y = (−1)m x2 / 3n +(−1)m+1n / 3, y2 = n(x + n) / 3.

Пример: у = (х+3)2, у2 = 8(х+3).

Строим графики функций и находим координаты их общих точек: y

•

x

- 3

- 1

(х+3)4 = 8(х+3), х1 = -3;

(х+3)3 = 8, х2 = -1.

Вычисляем площадь фигуры, ограниченной графиками заданных

функций:

3 / 2

3

−1

2

(x +

3)

(x +3)

−1

S = ∫[ 8(x +3) −(x +3)

]dx = [ 8

−

]

−3 =

3 / 2

3

=

−3

23 / 2

23

16

8

8

8

−

=

−

=

≈ 2,67.

3 / 2

3

3

3

3

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения [2,

c.62-66].

y′ = mxm−2n ym / n.

Пример: у′ = 4х3у3/2.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися перемен-

ными.

Записываем производную как отношение дифференциалов

dy

= 4х3у3/2, разделяем переменные

dy

=

4x3

dx и интегрируем

dx

y3 / 2

∫ у−3 / 2dy = 4∫x3dx .

Имеем у-1/2/(-1/2) = 4х4/4 + С.

Окончательно получаем

у = 1/(х3+С)2.

Смотрите также файлы