Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №7, 8 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.pdf

3

3

x

x

3

x3

3

S1 =

12

− x2 dx −

12

− x2

+

6 arcsin

−

=

∫

∫ x2dx =

2

12

3

−

3

−

3

−

3

− 3

=

3

12 −

3 + 6 arcsin

3

−

3

12 − 3 − 6 arcsin

3

−

2

12

−

2

12

−

3

3

−

−

3

3

= 3 3 + 12

π

− 2 3

= 3 + 2π.

3

3

6

y

y

= x2

y

y = x

x

x

x2 + y2

=12

Рис.1

Рис.2

этих линий y = x

x − x

sinx = 0, x1 = 0, 1 −

sinx = 0, sinx = 1, x2 =

π .

y = x

sinx

2

π

π

b

b

2

2

V = V1 − V2 = π∫ y12dx

− π∫ y22dx =

π∫x2dx − π∫x2 sinxdx =

a

a

0

0

3

π

3

− 2xsinx +

(

x2

− 2

2

=

π

− π

= π x

cosx

π

+ 2 ,

3

)

0

24

∫x2 sinxdx = 2xsinx −(x2 − 2)cosx.

Пример. Найти длину дуги кривой r = cos2 θ

,

0 ≤ θ ≤

π .

θ

2

θ

1

2

Вычисляем ds = r2

+ (r′(θ))

2

dθ, rθ′

= 2cos

.

2

− sin

2

2

r2 + (r′(θ))

2

= cos4

θ

+ cos2

θ

sin2

θ

= cos2

θ

θ

+ sin2

θ

= cos2

θ

,

2

2

2

2

cos2

2

2

2

π

π

2

θ

θ

π

2

S =

dθ =

2sin

2

= 2 .

∫cos

= 2 sin

− sin0 = 2

0

2

2

0

4

2

Пример. Найти массу участка линии

= a

(

)

,

L:

x

t − sin t

0

≤ t ≤ 2π , если плотность γ = 3y .

(

)

,

y

= a

1 − cost

m = ∫ γ ds .

L

Найдём ds = (x′t )2 + (y′t )2

dt ,

x′t

= a(1 − cost),

y′t

= a sin t ,

ds =

a2 (1 − cost)2 + a2 sin2 t dt = a

1 − 2cost + cos2 t + sin2 t dt =

= a 2 − 2cost dt = a

2 2sin2 t dt = 2a sin t

dt .

2

2

2π

t

2π

t

t

2π

t

m =

∫ 3a(1 − cost) 2a sin

dt = 6a2

∫

2sin2

sin

dt = 12a2

∫ sin3

dt =

2

2

0

2

0

2

0

t

1

t

2π

2

2

= 12a

2 − 2cos

+

2 cos3

= 12a2

2 −

+ 2

−

= 32a2 .

2

3

3

2

0

3

∫sin3

t

dt

взяли

по

справочнику

[10] (интеграл

№

106)

или [11]

2

r

Пример.

r

Вычислить

работу,

совершаемую

силой

r

при перемещении некоторой массы по дуге

F = (x2

− 2xy)i + (y2 − 2xy)j

параболы y = x2

от точки A(1,1) до точки B(-1,1).

Составляем криволинейный интегралA =

∫ (x2 − 2xy)dx + (y2 − 2xy)dy .

Так как y = x2 , то y′ = 2x,

AB

dy = 2xdx , и при движении массы из точки A

A =

∫ (x

2

− 2xy)dx + (y

2

− 2xy)dy =

1

2

− 2x

3

2

)

2

− 2x x

2

∫

(x

)+ (x

2x dx =

AB

−1

1

x

3

2x

4

2x

6

4x

5

1

14

=

∫

(x2 − 2x3 + 2x5

− 4x4 )dx =

−

+

−

=

.

4

6

15

−1

3

5

−1

r

Пример.

Вычислить

работу,

совершаемую

переменной

силой

r

r

F = −y2x i

+ x2y j при перемещении некоторой массы по дуге кривой,

заданной параметрически x = cost,

y =

sin t , от точки A до точки B с

соответствующими значениями параметра t1 = 0, t2

=

π .

2

dx = d(

cost)=

− sin t

sin t)=

cost

2 cost dt, dy = d(

2 sin t dt .

После подстановки вместо x, y,dx,dy

их выражений через t

π

(− sin t)

2

− sin t

cos t

+ cost

sin t

cost

A = ∫

2

cost

2

dt =

0

sin t

π

π

π

2

=

1

2

(sin2 t + cos2 t)dt =

1

2

1

dt =

1

t

=

π

.

2

∫

2

∫

2

4

0

0

0

r

r

Пример. Вычислить

работу, совершаемую

силой

− 3xy j

F = x2

i

проходящей через две данные точки

y − y1

=

x − x1

. Получим

y2 − y1

x2 − x1

y − 2 = x − 1,

y − 2 = x − 1, y = −

2

(x − 1)+ 2, y = − 2 x + 8 , dy = −

2 dx .

0 − 2 4 − 1

− 2

3

3

3

3

3

Искомая работа равна

4

2

8

2

2

2

A = ∫x

dx

−

3xydy = ∫ x

− 3x −

x +

−

dx =

3

AB

1

3

3

4

x3

16x

1

x3

16

x2

4

1

(64 − 1)+

8

(16

− 1)= 33 .

= ∫

−

+

dx =

−

+

= −

3

3

3

3

3

9

3

1

2

1