Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №7, 8 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.pdf

11

Пример. Вычислить ∫∫(3x + y2 )dxdy,

≥

1

D = y

x

; y ≤ 2x; x ≤ 3 .

D

1

Построим границы области y =

; y = 2x; x = 3

(рис.3). Найдём

x

B

y

y = 2 x

y

y = 2x

A

A

1

x + y = 3

C

y =

x

O

B

3

0

x

x

Рис.3

Рис.4

В данной области D

x, y удовлетворяют условиям

1

≤ x ≤ 3,

1

≤ y ≤ 2x .

2

x

∫∫(3x + y2 )dxdy =

3

2x

(3x

+ y2 )dy .

Находим

∫dx ∫

D

1

1

2

x

3

y3

2x

3

1

1

3

1

∫

3xy

+

3

dx =

∫

3x

2x

−

+

8x

−

dx =

1

1

1

x

3

x3

2

2

x2

Пример. Вычислить

∫∫D y2 dxdy, D = {y ≥ x2; y ≤ 2x}.

0 ≤ y ≤ 4,

A(2,4). В области D

y

≤ x ≤

y.

2

Находим

x2

4

y x2

4

x3

y

1

∫∫

dxdy = ∫dy ∫

dx = ∫

dy =

y2

3

D y2

0

y

0

y2

y

3

2

1

2

1

1

3

2

4

1

y 2

y

4

1

−

2

1

2

2

1

y

= 1.

= ∫

−

dy = ∫

y

−

y dy =

y

−

2

3

24

3

24

2

0 y

3

8 3

0

0

y

x2

+ y 2 = 9

y

y = x

y

y = 2x

y =

1

A

O

x

1

3

x

y = x2

x

O

x

Рис.6

Рис.7

Рис.5

Пример. Вычислить

∫∫e−x 2 −y 2 dxdy,

D = {1 ≤ x2 + y2 ≤ 9}.

D

Полагая x = r cosϕ,

x2 + y2 = r2 , dxdy = rdrdϕ, имеем

y = r sinϕ,

∫∫e−x 2 −y 2 dxdy = ∫∫e−r 2

rdrdϕ.

D

D

В области D :

0 ≤ ϕ ≤ 2π,

1 ≤ r ≤ 3. Находим

−x

2 −y

2

−r 2

2π

3

−r 2

2π

3

1

−r 2

2

)

∫∫e

dxdy = ∫∫e

rdrdϕ = ∫dϕ∫e

rdr = −

∫dϕ∫

e

d − r

=

2

D

3

D

0

1

0

1

(

1

2π

−r 2

1

(e

−9

−1

)ϕ

2π

1

(e

−9

−1

)2π

1

1

= −

∫

e

dϕ = −

− r

= −

− r

=

−

π .

2

0

1

2

1

0

2

e

e9

Пример. Вычислить

∫∫

dxdy,

+ y2

≤ R

2 ,

x

x

D = x2

3

≤ y ≤ x .

D

2 + y2

Построим область D (рис.7). В области D :

0 ≤ r ≤ R .

Пределы

изменения ϕ определим из уравнений прямых y =

x

,

y = x .

1

π

3

Так k1 = tgϕ1 ,

= tgϕ1

,

ϕ1 =

,

3

π

6

π

π .

k2 = tgϕ2 ,

1 = tgϕ2 ,

ϕ2 =

, то есть

≤ ϕ ≤