Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.2000.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 159
Скачиваний: 0
Событие |
X = |
2 |
|
означает, |
что |
|
|
|
среди двух |
взятых билетов оба |
||||||||||||||||||||||||||||||||
невыигрышных. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(X = 2)== |
|
|
|
== |
|
7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C120 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Составляем закон распределения случайной величины X |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
P |
|
|
1/15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7/15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7/15 |
|||||||||
Контроль: ∑3 pi = |
1 |
++ |
|
7 |
+ |
+ |
7 |
|
== |
|
1. Закон составлен правильно. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i = |
1 |
15 15 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вычисляем числовые характеристики. Математическое ожидание |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M( X) = ∑3 xi pi = |
0 |
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
7 |
|
+ 2 |
|
7 |
= |
21 |
== 1,4 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
15 |
|
15 |
15 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Дисперсию определяем по формуле D(X) = |
|
M(X2 )−− M2 (X) . Здесь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M(X2 ) = ∑3 xi pi = |
0 |
1 |
+ |
|
1 |
|
|
7 |
|
|
+ 4 |
|
7 |
= |
|
7 |
≈≈ 2,33. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
15 |
|
15 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i = 1 |
|
( |
|
|
) |
|
15 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
2== 0,37. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D X |
|
= |
2,33−− |
|
|
|
1,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Среднее квадратическое отклонение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
σ |
( |
X |
) |
= |
|
( |
|
) |
== |
|
|
0,37≈≈ 0,61. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан функцией распределения F(x) ( интегральная функция) или
функцией плотности вероятностей f (x) (дифференциальная функция).
Для решения задач № 121-150 надо знать определение функции плотности вероятностей, формулы, позволяющие находить числовые характеристики, а также уметь определять вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Соответствующие вопросы изложены в [1, гл.10-11; 2, гл.6, п.1-3].
Пример. Функция распределения случайной величины имеет вид
|
|
0, |
x ≤ |
0, |
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
F(x) = |
|
|
, 0 < x≤≤ 3, |
||||
|
|
|
|
||||
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1, |
|
x > |
3. |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания случайной величины в интервал (2,4) .
Решение. Найдём функцию плотности вероятностей по определению f (x) = F′(x) . Для этого продифференцируем функцию F(x) , то есть
|
|
|
0, |
x ≤ |
0, |
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
, 0 < x≤≤ 3, |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0, |
x > |
3. |
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Числовые характеристики вычисляем по формулам |
||||||||
M(X) = |
∞ |
|
D(X) = |
∞ |
(x−− M(X))2 f (x)dx . |
|||
∫ x f (x)dx; |
|
∫ |
||||||
|
− ∞∞ |
|
|
|
|
|
− ∞∞ |
|
Иногда для определения дисперсии удобно использовать формулу
D(X) = |
∞ |
2 |
∫ x2 f (x)dx − (M(X)) . |
||
− ∞∞
Так как f (x) задана на разных интервалах различными аналитическими
выражениями, то несобственный интеграл при нахождении математического ожидания и дисперсии будет представлен в виде суммы интегралов
M(X) = |
0 |
|
3 |
1 |
|
∞ |
|
1 |
3 |
1 |
|
x2 |
|
3 |
1 |
|
9 |
|
3 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∫ x 0 |
dx + |
∫ x |
|
dx + |
∫ x 0 |
dx = |
|
∫ x dx = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
||
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||
|
− ∞∞ |
|
0 |
|
3 |
|
0 |
|
2 |
|
|
0 |
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дисперсию вычисляем по второй формуле
D( X) = |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
1 |
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
3 |
2 |
1 |
3 |
2 |
9 |
|
|||||||||
|
|
∫ x |
|
0 |
dx + |
|
∫ x |
|
|
|
dx + |
∫ x |
0 |
dx − |
|
|
|
= |
|
∫ x |
dx − |
|
== |
|||||||||||
|
3 |
|
3 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− ∞∞ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
. |
||||||
1 |
|
x3 |
|
3 |
9 |
|
1 |
9 |
|
9 |
|
|
3−− 2 |
1 |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
− |
|
|
== |
|
|
− |
|
|
|
== |
|
== |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3 |
|
3 |
|
|
0 |
4 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдём вероятность попадания случайной величины в заданный интервал по формуле
P(2 < X<< 4)== F(4)−− F(2)== 1−− 23== 13 .
Для решения задач № 151-180 следует изучить закон нормального распределения. Соответствующий вопрос изложен в [1, гл.12, п.2,5; 2,
гл.6, п.5].
Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a = 3,2 и средним квадратическим отклонением σ == 0,8 . Записать плотность распределения . Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (2,5) .
Решение. Так как случайная величина X распределена по нормальному закону, то её функция плотности имеет вид
|
1 |
− |
(x− a) 2 |
|
|
1 |
|
− (x− 3,2) 2 |
|
||||||
f (x) = |
|
2 |
|
f (x) = |
|
2 |
( |
0 |
,8 |
) |
2 |
. |
|||
σ 2ππ |
e |
2σ |
|
; |
0,8 2ππ |
e |
|
|
|
|
|||||
Вероятность того, что случайная величина примет значение из
интервала |
|
(2,5) , определяется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
P(2 < X<< 5)== |
|
|
β − a |
|
|
|
α − |
a |
|
|
|
|
5 |
− |
3, |
2 |
|
|
|
2 − 3,2 |
|
||||||||||
Φ |
|
|
|
|
−Φ Φ |
|
|
|
|
=Φ Φ |
|
|
|
|
|
|
|
−Φ Φ |
|
|
|
|
|
|
= |
||||||
σ |
|
σ |
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
( |
) |
( |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|||||||
= Φ |
|
) |
|
|
|
|
) |
|
( |
1,5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2,25 −−Φ Φ −− 1,5 ==Φ Φ |
|
2,25 ++Φ Φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) = |
|
1 |
x |
− |
x2 |
|
|||||||
По прил. 2 «Таблица значений функции Φ |
|
|
|
|
|
dx » [1, с. 462; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ e |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
2, 326] определяем значения функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Φ |
( |
2,25 |
) |
= |
0,4878, |
Φ Φ |
1,5 |
|
0,4332. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
== |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
( |
2 |
< X<< |
|
) |
0,4878++ |
0,4332== |
0,921. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
P |
5 |
== |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Контрольная работа № 10
Для выполнения работы следует изучить соответствующий материал по литературе [1, гл.15-17; 2, гл.9-13].
Одной из задач математической статистики является установление закономерностей массовых случайных явлений, основанное на изучении результатов наблюдений. Покажем на примере систематизацию опытных данных и вычисление числовых характеристик.
Пример 1. На угольных предприятиях определяли производительность труда рабочих при проходке штрека (случайная величина X ) и скорость проходки (случайная величина Y , м/мес). Результаты наблюдений приведены в табл. 1.
Таблица 1
Исходные данные (выборка)
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
0,31 |
136 |
0,19 |
110 |
0,16 |
70 |
0,15 |
118 |
0,15 |
100 |
0,16 |
76 |
0,16 |
87 |
0.33 |
300 |
0,18 |
152 |
0,19 |
64 |
0,27 |
160 |
0,14 |
75 |
0,23 |
185 |
0,21 |
155 |
0,31 |
150 |
0,25 |
170 |
0,21 |
120 |
0,36 |
311 |
0,26 |
151 |
0,22 |
150 |
0,23 |
101 |
0,18 |
97 |
0,20 |
97 |
0,29 |
230 |
0,23 |
126 |
0,17 |
87 |
0,24 |
100 |
0,17 |
120 |
0,22 |
215 |
0,36 |
280 |
0,18 |
72 |
0,12 |
123 |
0,25 |
201 |
0.23 |
202 |
0.31 |
154 |
0,22 |
100 |
0,24 |
103 |
0.20 |
152 |
0,16 |
120 |
0,21 |
120 |
0,29 |
194 |
0,21 |
100 |
0,18 |
118 |
0,18 |
101 |
0,16 |
120 |
0,25 |
190 |
0.23 |
103 |
0,17 |
158 |
0,17 |
100 |
0.28 |
125 |
По данным X - производительности труда рабочего (табл.1) необходимо:
а) составить вариационный ряд;
б) вычислить выборочную среднюю x , выборочную дисперсию Db , выборочное среднее квадратическое отклонение σ x .
Решение. А. Систематизация результатов наблюдения.
Для построения интервального вариационного ряда определим оптимальную величину интервала (шаг) по формуле Стерджеса
h = |
xmax − xmin |
, |
|
1 + 3,2lgn |
|
где xmax , xmin - соответственно максимальные и минимальные значения X, n - объём выборки.
h = |
0,36 − 0,12 |
= |
0,24 |
≈≈ 0,04 . |
|
1 + 3,2lg50 |
6,44 |
||||
|
|
|
Величину интервала определяем с той же точностью, с какой заданы исходные данные.
Составим таблицу распределения случайной величины или признака X , называаемую вариационным рядом.
Таблица 2 Вариационный ряд производительности труда рабочих
Интервалы J |
Частота mi |
Частость p*i |
Накопленная |
|
|
|
частость F* (x) |
[0,12;0,16) |
4 |
0,08 |
0,08 |
[0,16;0,20) |
16 |
0,32 |
0,40 |
[0,20;0,24) |
14 |
0,28 |
0,68 |
[0,24;0,28) |
7 |
0,14 |
0,82 |
[0,28;0,32) |
6 |
0,12 |
0,94 |
[0,32;0,36] |
3 |
0,06 |
1,00 |
∑ |
50 |
1 |
|
Замечания к составлению табл. 2
1. Запись интервалов начинается с xmin и продолжается до тех пор, пока не войдёт xmax .
2.Просматривая по табл. 1 исходные данные признака X в порядке записи, проставляют (во втором столбце табл. 2) точки в интервале, которому соответствует данное значение X . Подсчитав количество проставленных точек, определим частоту, соответствующую данному интервалу.
3.В интервал включаются значения большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы интервала.
4.Отношение частоты к общему числу наблюдений определяет
частость p*i = mni .
5. Накопленная частость интервала определяется как сумма частостей предшествующих и данного интервала [1, гл.15, п.7; 2, гл.9, п.2].
Б. Вычисление числовых характеристик
Таблица 3
Расчёт числовых характеристик
xi |
mi |
xi mi |
xi − x |
(xi − x)2 |
(xi − x)2 mi |
0,14 |
4 |
0,56 |
-0,08 |
0,0064 |
0,0256 |
0,18 |
16 |
2,88 |
-0,04 |
0,0016 |
0,0256 |