Файл: Е.А. Волкова Теория вероятностей иматематическая статистика. Программа, методические указания и контрольные работы №7, 8 для студентов экономических специальностейзаочной формы обучения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 177
Скачиваний: 1
10
Закон распределения составлен правильно.
Так как случайная величина имеет биномиальный закон распределения, то математическое ожидание М(Х) = n·p = 3·0,9 = 2,7.
Дисперсия D(Х) = npq = 4·0,9·0,1 = 0,36 и среднее квадратическое отклонение σ (X ) = D(Х ) = 0,6.
Особую трудность у студентов вызывает составление закона распределения. Поясним этот процесс еще на одном примере.
Пример 10. На пути движения автомобиля 3 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,6 разрешает автомобилю дальнейшее движение. Найти закон распределения числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.
Решение. Здесь случайной величиной Х является число светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.
Пусть событие А – светофор пройден без остановки, A – противоположное событие (остановка).
Вычислим вероятность значений случайной величины:
P(X = |
0) = |
P( |
|
) = 1 − |
P(A) = 0,4, |
|
|||||
A |
|
||||||||||
P(X = 1) = |
P(A |
|
) = |
0,6 0,4 = 0,24, |
|
||||||
A |
|
||||||||||
P(X = |
2) = |
P(A A |
|
) = |
0,6 0,6 0,4 = |
0,144, |
|||||
A |
|||||||||||
P(X = |
3) = |
P( A A A) = |
0,6 |
0,6 0,6 = |
0,216. |
||||||
Контроль: ∑3 |
pi = 0,4 + 0,24 |
+ 0,144 + 0,216 = 1. |
|||||||||
|
|
i = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При исследовании непрерывных случайных величин в задачах №61-75 используются основные законы распределения: нормальный, показательный и равномерный ([1] гл.10-13, [2] гл.6, [3]).
Пример 11. Изготавливаемые цехом детали по длине распределяются по нормальному закону со средним значением 20 см и дисперсией равной 0,2 см2. Записать плотность распределения случайной величины Х (длина детали). Определить вероятность того, что длина наудачу взятой детали а) будет заключена в пределах от 19,7 см до 20,3 см; б) превысит 20,3 см.
Решение. Так как случайная величина Х – длина детали распределена по нормальному закону, плотность вероятности которого
11
|
|
1 |
|
− ( x − a)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
σ |
e |
2σ 2 |
, а среднее значение длины a=20 и среднее квад- |
|||||||||||||||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ратическое отклонение σ x = |
D(Х ) = |
|
|
0,2 ≈ |
0,45, |
то |
искомая плот- |
||||||||||||||
ность вероятности имеет вид |
|
|
|
|
|
− ( x− 20)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
e |
0,4 |
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0,45 |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вероятность того, что случайная величина примет значение из |
|||||||||||||||||||||
(19,7; 20,3), определяется через функцию Лапласа |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
х |
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Ф(х) = |
∫ е− |
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
по формуле |
|
|
|
|
|
|
2π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
β − |
a |
|
|
|
α |
− a |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
P(α ≤ X ≤ β |
) = Ф |
|
|
|
|
− |
Ф |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
σ |
|
|
σ |
|
|
||||||||||||
и равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
20,3 − |
20 |
|
|
|
19,7 |
− 20 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
P(19,7 ≤ X ≤ 20,3) = |
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
− |
Ф |
|
|
|
= |
|||||
|
|
|
|
0,45 |
|
|
0,45 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
Ф(0,67) − |
Ф(− 0,67) = |
2Ф(0,67) = |
0,4980. |
|
|
|
||||||||||||
При этом значения функции Лапласа определяются по прил. 1. Аналогично рассматривается вероятность превышения длины де-
тали 20,3 см. |
|
|
∞ |
− 20 |
|
|
20,3 − 20 |
|
|
|
|
|
|||||||
Р(Х > 20,3) = Р(20,3 ≤ |
Х < ∞ |
|
|
|
|
= |
|||
) = Ф |
|
0,2 |
|
− Ф |
0,2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= Ф(∞ ) - Ф(0,67) = 0,5 - 0,249 = 0,251.
Пример 12. Продолжительность текущего ремонта автомобилей есть случайная величина Т с функцией распределения
F (t) = 1− e0,17 t (t≥ 0). Найти функцию плотности вероятности, математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что ремонт автомобиля продлится от 5 до 10 дней.
Решение. Для показательного закона распределения плотность ве-
роятности f (t) = |
′ |
− e |
− λ t |
′ |
= λ e |
− λ t |
(t ≥ 0). |
F (t) = (1 |
) |
|
|
12
Следовательно, плотность вероятностей случайной величины Т – продолжительности текущего ремонта автомобиля – при заданном па-
раметре λ = |
|
0,17 имеет вид |
f (t) = |
0,17e− |
0,17t . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Числовые характеристики показательного распределения вычис- |
||||||||||||||||||
ляются по формулам M ( t ) = |
|
1 |
, |
D( t ) = |
|
1 |
|
и |
σ ( t ) = |
1 |
. |
|
||||||
|
|
λ 2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
1 |
|
λ |
|
|||||
Поэтому математическое ожидание M (t) = |
= |
5,88, |
дисперсия |
|||||||||||||||
0,17 |
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= 34,6 и σ (t) = |
|
|
|
= 5,88. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D(t) = |
|
34,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0,172 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найдем вероятность того, что ремонт автомобиля продлится от 5 |
||||||||||||||||||
до 10 дней. Она равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P(5 ≤ T ≤ |
10) = F (10) − F (5) = (1 − e− 0,17 10 ) − |
(1 − |
e− 0,17 5 ) = e− |
0,85 − e− 1,7 |
||||||||||||||
= 0,4274 − |
|
0,1827 ≈ 0,24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 13. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 1. Показания округляются до ближайшего деления шкалы. Найти функцию плотности вероятностей ошибки округления, ее математическое ожидание и дисперсию.
Решение. Ошибка округления принимает значения из интервала [0; 0,5] и является случайной величиной, распределенной равномерно, т.к. все возможные значения внутри промежутка имеют равную веро-
ятность. Функция плотности равномерного закона имеет вид |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
= |
2, |
0 ≤ |
x ≤ |
0,5; |
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0,5 − |
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
, |
|
x < |
0 |
и |
x > |
0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найдем числовые характеристики. Математическое ожидание |
||||||||||||||
|
∞ |
0 |
|
|
|
0,5 |
|
|
∞ |
|
0,5 |
|
|
|
|
M (x) = ∫ xf (x)dx = ∫ 0xdx + |
∫ x2dx + |
∫ x0dx = |
2 ∫ xdx = |
|
0,25; |
||||||||
|
− ∞ |
− ∞ |
|
|
|
0 |
|
|
0,5 |
|
0 |
|
|
|
диспер- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сия |
∞ |
|
|
0 |
|
|
|
0,5 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
[M (x)]2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D(x) = |
∫ x2 f (x)dx − |
|
= ∫ x2 0dx + |
∫ |
x2 2dx + |
∫ x2 0dx |
− |
0,252 = |
||||||
|
− ∞ |
|
|
|
− ∞ |
|
|
|
0 |
|
|
0,5 |
|
|
13
0,5 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
= 2 ∫ x2dx − 0,0625 = |
x3 |
00,5 − 0,0625 = |
0,53 |
− 0,0625 = 0,021; |
||||
3 |
3 |
|||||||
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
и среднее квадратическое отклонение σ |
(x) = |
D(x) = 0,021 = 0,14. |
||||||
Замечание: Числовые характеристики равномерного распределения проще рассчитать, используя готовые формулы [1, 2, 3]
|
|
|
M (x) = |
a + b |
, |
D(x) = |
(b |
− |
a)2 |
, |
т.е. |
||
|
|
|
2 |
|
12 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M (x) = |
0 |
+ |
0,5 |
= 0,25, |
D(x) = |
(0,5 − 0) |
2 |
= 0,021, σ (x) = 0,14 . |
|||||
|
|
2 |
12 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Контрольные задания по теории вероятностей
Задачи 1-15. Непосредственный подсчет вероятностей.
1. Числа 1,2,3,4,5 написаны на 5 карточках. Наудачу последовательно вынимаются 3 карточки и ставятся слева направо в порядке появления. Чему равна вероятность того, что полученное таким образом трехзначное число не содержит цифры 4?
2.В партии из 10 деталей 4 нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу трех деталей две окажутся нестандартными.
3.Из букв разрезанной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось это же слово.
4.Из 15 билетов лотереи 4 выигрышных. Какова вероятность того, что среди взятых наугад шести билетов будет 2 выигрышных?
5.На одинаковых карточках написаны буквы а, а, б, г, е, р, л. Карточки перемешивают и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово «алгебра»?
6.Какова вероятность того, что три друга попадут в комиссию, состоящую из трех человек, если комиссию можно избрать из 15 человек?
7.Слово «интеграл» составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу случайно берут 4 карточки и складывают в ряд. Какова вероятность получить при этом слово «игра»?
8.Задумано трехзначное число. Какова вероятность того, что в задуманном числе есть хотя бы две одинаковые цифры?
14
9.На столе лежат 30 экзаменационных билетов с номерами 1, 2,.3, …30. Преподаватель берет три любых билета. Какова вероятность того, что они из последней четверки?
10.Из 12 собранных аппаратов 3 получили высокую оценку. Определить вероятность того, что среди взятых наугад 4 аппаратов 2 высокого качества.
11.Из полной колоды карт наудачу извлекается 4 карты. Найти вероятность того, что одна карта окажется бубновой масти.
12.Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.
13.В группе из 25 студентов оценку “отлично” получили трое студентов, “хорошо” – шесть студентов, “удовлетворительно” – девять студентов. Какова вероятность того, что два наудачу выбранных студента имеют неудовлетворительные оценки.
14.На “бочонках” лото написаны числа от 1 до 90. Из них случайно выбираются два. Найти вероятность того, что на обоих написаны числа меньше десяти.
15.Три представителя одной группы студентов рассаживаются с тремя представителями другой студенческой группы за круглым столом. Определить вероятность того, что никакие два студента одной группы не будут сидеть рядом.
Задачи 16-30. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса.
16.Над изготовлением изделия работают последовательно трое рабочих. Качество изделия при передаче следующему рабочему не проверяется. Первый рабочий допускает брак с вероятностью 0,1, второй – 0,2, третий – 0,05. Найти вероятность того, что при изготовлении изделия будет допущен брак.
17.В железнодорожном составе 50 вагонов с углем двух сортов. По сортности угля вагоны состава делятся на три группы: 25 вагонов содержат 70% угля первого сорта и 30% угля второго сорта, 15 вагонов содержат соответственно 60% и 40%, остальные – 85% и 15%. Случайно взятый для анализа уголь оказался второго сорта. Какова вероятность, что он взят из вагона первой группы?
18.Прибор может работать в двух режимах: нормальном и аварийном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы