Файл: Е.А. Волкова Теория вероятностей иматематическая статистика. Программа, методические указания и контрольные работы №7, 8 для студентов экономических специальностейзаочной формы обучения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 181
Скачиваний: 1
20
а) вероятность безотказной работы радиоаппаратуры в течение трех лет; б) плотность вероятности f(t); в) математическое ожидание и дисперсию.
64.Стрельба ведется по цели вдоль некоторой прямой линии. Средняя дальность полета равна 1200м. Предполагая, что дальность полета снаряда Х – случайная величина, имеющая нормальное распределение со средним квадратическим отклонением 40 м, записать функцию плотности вероятности случайной величины Х. Определить, какой процент выпускаемых снарядов даст перелет от 20 до 60 м.
65.Время между двумя сбоями вычислительной машины t – случайная величина, имеющая показательное распределение с математическим ожиданием, равным 400 часов. Записать функцию плотности вероятности данной случайной величины. Найти вероятность безотказной работы машины в течение не менее чем 300 часов.
66.Средний процент выполнения плана некоторыми предприятиями составляет 106%, среднее квадратическое отклонение –9%. Полагая, что процент выполнения плана – случайная величина, имеющая нормальное распределение, записать ее плотность вероятности. Найти долю предприятий: а) не выполняющих план; б) выполняющих план от
110 до 150%.
67.При измерении расстояний до удаленных предметов ошибка измерения Х – случайная величина, имеющая нормальное распределение со средним значением, равным 20 м, и средним квадратическим отклонением 40 м. Записать плотность распределения случайной величины Х. Определить вероятность того, что измеренное расстояние отклоняется от действительного не более чем на 30 м.
68.Число дней, проведенных больным в больнице, Т – случайная величина, имеющая равномерное распределение. Наименьшее число дней, необходимое для обследования, равно трем; наибольшее – тридцати. Записать плотность распределения случайной величины Т. Найти ее математическое ожидание, дисперсию; вероятность того, что время пребывания больного в больнице не превысит 15 дней.
69.Длина изготавливаемых станком – автоматом деталей представляет собой случайную величину Х, имеющую нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 200 см, и среднеквадратическим отклонением – 0,2 см. Записать плотность распределения случайной величины Х. Определить вероятность брака, если допустимые размеры детали 20 + 0,3 см.
21
70.Для ремонта автомобиля требуется в среднем 3 часа. Предполагая, что время Т, необходимое для ремонта автомобиля, случайная величина, имеющая показательное распределение, записать плотность вероятности случайной величины Т. Найти ее математическое ожидание, дисперсию, вероятность того, что время ремонта составит самое большее 2 часа.
71.Некоторая категория людей имеет средний вес 60 кг и среднее квадратическое отклонение веса 3 кг. Предполагая, что вес m – случайная величина, имеющая нормальное распределение, записать ее плотность распределения. Определить вероятность того, что вес случайно взятого человека отличается от среднего не более чем на 5 кг.
72.Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Определить плотность распределения случайной величины Х – ошибки округления, имеющей равномерное распределение, ее математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что ошибка округления а) меньше, чем 0,06; б) больше, чем 0,04.
73.Х – диаметр шарика для подшипников, имеет нормальное распределение со средним значением, равным 5 мм, и средним квадратическим отклонением 0,05 мм. При контроле бракуются все шарики,
диаметр которых отличается от среднего больше чем на 0,1 мм. Записать плотность распределения случайной величины Х. Найти процент шариков, которые в среднем отбраковываются.
74.На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Т – время ожидания очередной машины контролером имеет показательное распределение. Найти математическое ожидание, дисперсию случайной величины Т, если среднее время ожидания равно 0,2 часа. Найти вероятность того, что время ожидания не превысит 15 минут.
75.Время (в днях) продолжительности ремонта станков есть по-
казательно распределенная случайная величина с λ = 1. Найти функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; вероятность того, что продолжительность ремонта займет от одного до двух дней.
22
Методические указания к контрольной работе по математической статистике
Задача 1. Построение вариационного ряда, вычисление выборочных характеристик вариационного ряда и подбор теоретического закона распределения.
Теоретический материал, необходимый для выполнения задания, изложен в [1], гл.15-17; [2] гл.10; [4]. Его практическое применение рассмотрим на примере.
Пример 1. На угольных предприятиях исследовали производительность труда рабочих при проходке штрека (случайная величина Х).
Результаты наблюдений приведены в табл. 2. |
|
|
Требуется по выборке случайной величины Х: |
а) построить интервальный вариационный ряд; |
|
б) |
вычислить выборочное среднее x , выборочную дисперсию |
Dx = |
Sx2 и выборочное среднее квадратическое отклонение Sx ; |
в) построить гистограмму вариационного ряда; |
|
г) подобрать теоретический закон распределения случайной величины X и проверить его согласованность с эмпирическим распределением по критерию Пирсона при уровне значимости α =0,05.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
№ |
Х |
№ |
Х |
№ |
Х |
№ |
Х |
№ |
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,32 |
11 |
0,19 |
21 |
0,16 |
31 |
0,15 |
41 |
0,15 |
|
2 |
0,16 |
12 |
0,16 |
22 |
0,33 |
32 |
0,18 |
42 |
0,19 |
|
3 |
0,27 |
13 |
0,14 |
23 |
0,23 |
33 |
0,21 |
43 |
0,31 |
|
4 |
0,25 |
14 |
0,27 |
24 |
0,35 |
34 |
0,26 |
44 |
0,22 |
|
5 |
0,29 |
15 |
0,18 |
25 |
0,20 |
35 |
0,27 |
45 |
0,23 |
|
6 |
0,17 |
16 |
0,24 |
26 |
0,17 |
36 |
0,22 |
46 |
0,36 |
|
7 |
0,18 |
17 |
0,12 |
27 |
0,25 |
37 |
0,23 |
47 |
0,31 |
|
8 |
0,22 |
18 |
0,24 |
28 |
0,20 |
38 |
0,16 |
48 |
0,21 |
|
9 |
0,29 |
19 |
0,21 |
29 |
0,18 |
39 |
0,18 |
49 |
0,16 |
|
10 |
0,25 |
20 |
0,23 |
30 |
0,17 |
40 |
0,17 |
50 |
0,28 |
|
Решение. Для построения интервального вариационного ряда найдем по формуле Стерджеса оптимальную ширину интервала (шаг)
23
|
|
|
h = |
|
xmax − xmin |
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 + 3,2lg n |
|
|
||||
где |
xmax , |
xmin – соответственно наибольшее и наименьшее значения |
|||||||||
признака Х; n – объем выборки. Из |
табл. |
2 |
находим xmax = 0,36 ; |
||||||||
xmin |
= 0,12 ; |
n = 50. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
h = |
0,36 − 0,12 |
= |
0,24 |
≈ |
0,037 |
≈ |
0,04. |
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
1+ 3,2lg 50 |
6,44 |
|
|
|
|
|
|||
При этом шаг рассчитываем с той же точностью, с которой заданы исходные данные.
|
|
Определим |
|
границы |
|
|
интервалов [l0 ,l1),[l1,l2 ),...,[lk − 1,lk ] , |
где |
|||||
l0 = |
xmin = 0,12; |
|
l1 = |
l0 + h = |
0,12 + 0,04 = 0,16;..., lk |
= lk − 1 + h и так |
до |
||||||
тех пор, пока xmax = |
0,36 не попадет в последний интервал. |
|
|||||||||||
|
|
Составим интервальный вариационный ряд (табл. 3). |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
№ |
|
Интервалы |
|
Частота mi |
|
|
|
Относительная |
|
Накопленная |
|
||
|
|
|
|
|
|
относительная час- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
частота pi |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тота Fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
||
1 |
|
0,12 - 0,16 |
|
|
4 |
|
|
0,08 |
|
0,08 |
|
||
2 |
|
0,16 - 0,20 |
|
|
16 |
|
|
0,32 |
|
0,40 |
|
||
3 |
|
0,20 - 0,24 |
|
|
14 |
|
|
0,28 |
|
0,68 |
|
||
4 |
|
0,24 - 0,28 |
|
|
8 |
|
|
0,16 |
|
0,84 |
|
||
5 |
|
0,28 - 0,32 |
|
|
5 |
|
|
0,10 |
|
0,94 |
|
||
6 |
|
0,32 - 0,36 |
|
|
3 |
|
|
0.06 |
|
1,00 |
|
||
|
|
|
|
|
50 |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
Частота mi - число значений признака Х, попадающих в i − й |
ин- |
||||||||||
тервал [li− 1,li ) |
(столбец 3). При этом сумма частот должна равняться |
||||||||||||
объему выборки, ∑ |
mi = n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
mi |
|
|
|
|
|
|
Относительная частота |
p |
= |
попадания в i − |
й интервал служит |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
оценкой вероятности того, что признак Х примет значение, принадлежащее i − му интервалу (столбец 4). Их сумма должна быть равна еди-
нице: ∑ pi = 1.
i
24
Накопленная относительная частота Fi (столбец 5) определяется как сумма относительных частот i − го и всех предшествующих ему интервалов.
Для вычисления выборочных характеристик составим расчетную таблицу.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
||
|
x |
m |
i |
xi mi |
xi − x |
(x |
i |
− x)2 |
(x |
i |
− |
x)2 m |
i |
|
№ |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
0,14 |
4 |
|
0,56 |
-0,08 |
0,0064 |
|
0,0256 |
|
|
||||
2 |
0,18 |
16 |
2,88 |
-0,04 |
0,0016 |
|
0,0256 |
|
|
|||||
3 |
0,22 |
14 |
3,08 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
4 |
0,26 |
8 |
|
2,08 |
0,04 |
0,0016 |
|
0,0128 |
|
|
||||
5 |
0,30 |
5 |
|
1,50 |
0,08 |
0,0064 |
|
0,0320 |
|
|
||||
6 |
0,34 |
3 |
|
1,01 |
0,12 |
0,0144 |
|
0,0432 |
|
|
||||
|
|
50 |
11,11 |
|
|
|
|
|
0,1392 |
|
|
|||
|
Во |
2-м столбце |
|
таблицы |
|
записаны середины интервалов |
||||||||||||||
x |
= |
li − 1 + |
li |
. Например, |
x1 = |
1 |
|
|
(0,12 + 0,16) = 0,14 – середина первого |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
i |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
интервала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Рассчитаем числовые характеристики интервального ряда. Выбо- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑6 |
|
ximi |
|
11,11 |
|
|
|
|
|
||||
рочное среднее равно: |
x = |
|
i = 1 |
|
|
= |
|
≈ |
0,22. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
50 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Sx2 = |
∑6 |
|
(xi − x)2 mi |
|
0,1392 |
|
|||||||||
Выборочная дисперсия |
i = 1 |
|
|
|
= |
|
≈ 0,0028 . |
|||||||||||||
|
|
n |
|
50 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выборочное среднее квадратическое отклонение |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Sx = |
|
Sx2 |
= 0,0028 ≈ |
0,053. |
|
|||||||||||
По данным интервального ряда (табл. 3) построим гистограмму (рис.1). По оси OX откладываем интервалы, по оси OY соответствующие им частоты.