Файл: Е.А. Волкова Теория вероятностей иматематическая статистика. Программа, методические указания и контрольные работы №7, 8 для студентов экономических специальностейзаочной формы обучения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 628

Скачиваний: 5

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

25

mi

16

12

8

4

0

0,16

0,20

0,24

0,28

0,32

X

0,12

0,36

Рис.1. Распределение производительности труда рабочих

По виду гистограммы предполагаем, что производительность труда Х распределена по нормальному закону. Кроме того, проверим, удовлетворяют ли выборочные числовые характеристики особенностям этого распределения, используя прил. 2 (столбец 2). Имеем, во-первых,

xmax +

xmin

=

0,12 +

0,36

=

0,24,

2

2

что близко к x ≈ 0,22; и, во-вторых,

xmax −

xmin

=

0,36 −

0,12

=

0,04

6

6

близко к Sx ≈ 0,053, что не противоречит сделанному предположению

о характере распределения. Функция плотности вероятности нормального распределения имеет два параметра a и σ , которые, согласно

столбцу 5 прил. 2, равны a = x ≈ 0,22 , σ

= Sx ≈ 0,053.

Итак, функция плотности вероятности теоретического закона рас-

пределения имеет вид

(x− 0,22)2

1

−

2

f (x) =

e 2(0,053)

0,053 2π

Для проверки согласованности теоретического и наблюдаемого распределений рассчитаем теоретические частоты, округляя их значения до целых. Результаты вычислений приведены в табл. 5.

26

Таблица 5

№

xi

ti =

xi − x

ϕ (ti )

miT =

nh

ϕ (ti )

mi

σ

σ

1

2

3

4

5

6

1

0,14

-1,51

0,1276

5

4

2

0,18

-0,75

0,3011

11

16

3

0,22

0

0,3989

15

14

4

0,26

0,75

0,3011

11

8

5

0,30

1,51

0,1276

5

5

6

0,36

2,26

0,0310

1

3

48

50

Построим на одном рисунке полигоны наблюдаемых и теоретиче-

ских частот производительности труда.

miT

mi

16

12

8

4

0

X

0.14

0.18

0.22

0.26

0.30

0.34

Рис.2. Полигон наблюдаемых и теоретических частот

полигон наблюдаемых частот.

полигон теоретических частот.

Между теоретическими и наблюдаемыми частотами есть расхождение, которое можно объяснить либо случайными причинами (например, недостаточным числом наблюдений), либо тем, что сделан неверный выбор закона распределения. Проверим это с помощью критерия

χ2 Пирсона

27

2

r

(m

− mT )2

i

i

χрасч. = ∑

.

miT

i= 1

Результаты расчетов приведены в табл.6.

Таблица 6

№

mi

mT

m

− mT

(m

− mT )2

(mi − miT )2

i

i

i

i

i

mT

i

1

2

3

4

5

6

1

4

5

4

16

1

2

20

16

16

11

3

14

15

–1

1

0,07

4

8

11

–3

9

0,82

5

5

5

2

4

0,67

8

6

6

3

1

50

48

χ2расч = 2,56

Замечание. Для обеспечения большей обоснованности выводов интервалы с частотой объектов m i < 5 лучше объединить с соседними интервалами.

По прил.5 из [1,2] "Критические точки распределения χ2 " опреде-

лим предельно возможную величину расхождений χ2

(α ,k)

в зави-

крит.

симости от заданного уровня значимости α

и числа степеней свободы,

k = r − s − 1, где r - число интервалов после объединения,

s –

число

параметров распределения. В нашем случае, α

= 0,05, r =

4, s =

2, т.е.

k = 4 − 2 − 1 = 1. Так как χ2

(0,05;1) = 3,8 и

χ2

= 2,56

<

3,8 =

χ2

,

крит.

расч.

крит.

то различие между теоретическими и наблюдаемыми частотами незначимо. Следовательно, теоретический закон распределения согласуется с опытными данными.

Вывод: производительность труда рабочих при проходке штрека распределена по нормальному закону с функцией плотности вероятно-

1

−

(x− 0,22)2

2

стей

f (x) =

e 2(0,053)

.

0,053

2π

Задача 2. Исследование линейной корреляционной зависимости двух случайных признаков.

28

Соответствующий теоретический материал, необходимый для выполнения задания, изложен в [1] гл.18, с.253-268.

Пример. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Y – производительностью труда рабочих и Х

– стажем работы по данным, приведенным в табл.7. Составить выборочное уравнение прямой линии регрессии y по x и построить ее.

Таблица 7

Х

Y

Х

Y

Х

Y

Х

Y

Х

Y

8

1,9

14

2,3

9

1,9

12

2,3

19

2,5

11

2,3

2

1,4

9

1,9

10

1,9

13

2,1

5

1,6

11

2,2

13

2,1

16

2,5

12

2,3

8

2,0

6

1,7

16

2,5

5

1,3

15

2,4

12

2,3

10

1,9

8

1,8

9

2,0

16

2,6

1

1,3

10

2,0

11

2,2

7

1,7

11

2,1

9

2,0

12

2,2

17

2,8

6

2,0

12

2,2

8

1,8

18

2,6

9

1,8

11

2,3

8

1,5

10

1,8

8

1,9

6

1,5

11

2,8

7

1,6

13

2,2

13

2,1

10

1,9

12

1,3

12

2,1

Решение. Выборочный коэффициент линейной корреляции рассчитывается по формуле

=

−

x y

,

r

xy

в

σ xσ

y

где x , y , xy - средние значения для x, y, xy ; σ x ,σ y - выборочные сред-

ние квадратические отклонения. Выборочное уравнение прямой линии регрессии у по x имеет вид

y −

y =

r

σ y

( x − x ).

в σ x

Для удобства расчета коэффициента корреляции rв и параметров

линии регрессии построим корреляционную таблицу (прил. 3). Поясним порядок заполнения таблицы. По горизонтали приведены интервалы для признака Y. Ширина интервалов рассчитана по формуле Стерджеса

hy =

ymax − ymin

=

2,8 − 1,3

≈ 0,2.

1+ 3,2lg n

6,44

В скобках указаны середины интервалов ( y j ) . По вертикали – интер-

29

валы для признака Х, рассчитанные аналогичным образом.

Во внутренних клетках таблицы на пересечении i − й

строки и

j −

го столбца указана частота mij - число пар (x, y) , для которых зна-

чение признака Х попадает в i −

й интервал по x, а соответствующее

ему

значение признака Y – в

j − й интервал по y (число

рабочих,

имеющих при данном стаже соответствующую производительность труда). Так, например, на пересечении 3 − й строки и 4 − го столбца стоит число 8. Это значит, восемь человек при среднем стаже работы

x =

8,5 имеют среднюю производительность труда y = 2,0.

∑ mij и

Далее по горизонтали приведены суммы по строкам m j =

m j y2j , а по вертикали,

i

произведения m j y j ,

соответственно, суммы по

столбцам mi =

∑ mij

и произведения mi xi ,

mi xi2 ,

групповые средние

∑

j

y j mij

yx =

x

=

yx

=

j

(так, например, для значения x = 8,5

имеем

mi

i

i

y

x=

8,5

=

1,6 2 + 1,8 4 +

2,0 8

=

1,9 )

и произведения

x m y

x

.

14

i i

i

Найдем составляющие для вычисления коэффициента корреляции.

∑

j

y j m j

104

∑

xi mi

545

y =

=

=

2,08;

x =

i

=

= 10,9;

n

50

n

50

∑ y 2j m j

222,96

∑ xi2mi

6624,5

y 2

=

j

=

≈

4,46;

x2

=

i

=

= 132,49;

n

n

50

50

σ

y

=

Dy

=

y2 −

y 2

=

4,46 − 2,082 ≈

0,37;

σ

x

=

∑∑

Dx

=

x2 −

x 2

=

132,49 −

10,92

≈

3,70;

xi y j mij

∑

x

m

y

=

i

j

=

i

i

i

xi

=

1196,8

≈

23,94.

xy

n

n

50

r

=

23,94 − 10,9 2,08

≈ 0,93.

в

3,70 0,37

Кроме того, для установления надежности выборочного коэффици-

ента

корреляции

вычислим

его

среднее квадратическое отклонение

Смотрите также файлы