Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей.pdf

103

ить полигон частот, гистограмму, кумуляту и эмпирическую функцию распределения. Найти основные числовые характеристики: моду, медиану.

Задача 73. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

Задача 74. Случайная величина Х (время безотказной работы элемента имеет показательное распределения. Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы 1000 элементов ( в первой строке указано среднее время xi безотказной работы одного элемента в часах; во второй указана частота ni- количество элементов, проработавших в среднем xi часов):

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения.

Задача 75. Найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределённого признака Х генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение 4, выборочная средняя 10,2 и объём выборки 16.

Задача 76. Найти минимальный объём выборки, при котором с надёжностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности σ =1,5.

Задача 77. Из генеральной совокупности извлечена выборка объёма п=10:

Оценить с надёжностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределённого признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Задача 78. Из генеральной совокупности извлечена выборка объёма п=50

104

Оценить с надёжностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределённого признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Задача 79. Найти доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности с надёжностью 0.96 по выборке

Задача 80. По выборке объёма п=30 найден средний вес x =130 г изделий, изготовленных на первом станке; по выборке объёма т=40 найден средний вес y =125г изделий изготовленных

на втором станке. Генеральные дисперсии известны: D(x)= 60г2, D(y)=80 г2. Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу H0 : M (x)= M (y) при конкурирующей гипотезе H1 : M (x)≠ M (y). Предполагается, что случайные величины Х

и Y распределены нормально и выборки независимы.

Задача 81. По двум независимым малым выборкам, объёмы которых п=10 и т=8, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние

x =142,3; y =145,3и исправленные дисперсии S)x2 = 2,7; S)2y = 3,2 . При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу H0 : M (x)= M (y) при конкурирующей H1 : M (x)≠ M (y).

Задача 82. При уровне значимости 0,05 требуется проверить нулевую гипотезу H0 : M (x)= M (y) при конкурирующей

H1 : M (x)≠ M (y) по малым независимым выборкам из одной ге-

неральной совокупности Х (1,1; 1,2; 1,0; 0,9; 0,8; 0,9; 0,8; 1,1) и Y (1,2; 1,0; 1,0; 0,9; 0,8; 0,9; 1,0; 1,0; 1,2; 1,1).

Задача 83. По двум независимым выборкам, объёмы которых n1 = 9 и n2 = 6 , извлечённым из нормальных генеральных со-

вокупностей X и Y , найдены выборочные дисперсии S 2 (x)=14,4 и S 2 (y)= 20,5. При уровне значимости 0,1 проверить

нулевую гипотезу H0 : D(x)= D(y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H1 : D(x)≠ D(y).

105

Задача 84. Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие результаты: а) в первом случае 9,6; 10; 9,8; 10,2; 10,6; б) во втором случае 10,4; 9,7; 10; 10,3. Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости α = 0,05? Предполагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы.

Задача 85. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 установить, значимо или случайно расхождение между эмпирическими ni и теоретическими частотами ni′, которые вы-

числены исходя из гипотезы о нормальном законе распределения генеральной совокупности

Задача 86. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением по выборке объёма п=50.

Задача 87. В результате испытания 200 элементов на длительность работы получено эмпирическое распределение

Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить гипотезу о том, что время работы элементов распределено по показательному закону.

Задача 88. Вычислить выборочный коэффициент корреляции по следующим данным

Проверить его значимость с надёжностью 0,95 и найти доверительный интервал для выборочного коэффициента корреляции.

Задача 89. Найти эмпирическую и теоретическую линии регрессии и доверительный интервал для выборочного коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05 по данной

106

корреляции при уровне значимости 0,05 по данной корреляционной таблице.

Задача 90. Найти оценки параметров линейной регрессии по выборке

Нанести линию регрессии на диаграмму рассеяния. Проверить значимость коэффициентов регрессии и найти доверительные интервалы для них.

Задача 91. Считая, что зависимость между переменными Х и У имеет вид y = β0 + β1x + β2 x2 найти оценки параметров по следующей выборке

Вычислить корреляционное отношение.

107

Приложение

Таблица 1