Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 1125
Скачиваний: 2
7 |
|||||||||||
но числу способов отобрать один шар из 8 и один шар из 12, так |
|||||||||||
как союз и, то общее число благоприятных исходов равно произ- |
|||||||||||
ведению |
m = C1 |
C1 |
= |
8! |
12! |
=8 12 = 96 . |
Поэтому искомая |
||||
8 |
12 |
7! 1! 11! 1! |
|||||||||
вероятность равна p = mn = 19096 = 9548 . |
|||||||||||
Пример 6. Из колоды карт наудачу вынуто две. Найти вероят- |
|||||||||||
ность того, что они обе бубновой масти. Колода содержит 36 карт. |
|||||||||||
Решение. По классическому определению вероятности имеем |
|||||||||||
p(A) = m |
, где m |
=C 2 |
= |
9! |
= 9 8 |
=36, |
n = C 2 |
= 36 35 = 630. |
|||
n |
9 |
36 |
2 |
||||||||
7! 2! 2 |
|||||||||||
Тогда p(A) = |
36 |
= |
2 . |
||||||||
630 |
35 |
||||||||||
4. Геометрическая вероятность |
|||||||||||
О. 1. Геометрической вероятностью события А называется |
|||||||||||
отношение меры области благоприятных исходов к мере области |
|||||||||||
всевозможных исходов. |
|||||||||||
В |
частности, |
для |
плоскости |
согласно |
определению |
||||||
p(A) = Sбл , где Sбл |
− площадь области благоприятных исходов, |
||||||||||
Sвс |
|||||||||||
Sвс − площадь области всевозможных исходов. |
|||||||||||
Пример 7. (Задача о встрече) Два студента условились встре- |
|||||||||||
титься в определённом месте между 12 и 13 часами. Пришедший |
|||||||||||
первым ждёт второго в течение 15 ми- |
|||||||||||
нут, после чего уходит. Найти вероят- |
|||||||||||
ность того, что встреча состоится, ес- |
1300 |
||||||||||
ли каждый студент наудачу выбирает |
|||||||||||
момент своего прихода (в промежутке |
|||||||||||
от 12 до 13 часов). |
|||||||||||
Решение. Обозначим событие А |
1215 |
||||||||||
– студенты встретятся, тогда противо- |
|||||||||||
положное событие |
А − студенты не |
||||||||||
встретятся. Отложим по оси Ох время |
1200 |
1215 |
1300 |
||||||||
прихода первого студента, по оси Оу |
|||||||||||
время прихода второго студента. |
То- |
Рис. 1. |
|||||||||
гда точка области |
с |
координатами |
|||||||||
8
(x; y) однозначно определяет время прихода обоих студентов.
Студенты встретятся, если выполнено условие x - y ≤ 14 . Постро-
им |
две |
прямые |
линии |
x − y = |
1 |
y = x − |
1 |
и |
4 |
4 |
x − y = −14 y = x + 14 . Область, заключённая между этими ли-
ниями внутри квадрата, составляет область благоприятных исходов события А Рис. 1. Для события Аобласть благоприятных исходов согласно Рис. 1 состоит из двух прямоугольных треуголь-
ников с катетами, равными 6045 = 34 , общей площадью, равной
S = 2 34 34 =169 . Область всевозможных исходов равна площади
квадрата со стороной 1. Следовательно, площадь всевозможных исходов равна Sвс =1 1 =1. Тогда вероятность события A равна
9 |
9 |
||||||||||||||||||
p( |
)= |
16 |
= |
. |
Поэтому |
искомая |
вероятность |
равна |
|||||||||||
A |
|||||||||||||||||||
16 |
|||||||||||||||||||
1 |
9 |
7 |
|||||||||||||||||
p(A)=1− p( |
)=1− |
= |
. |
||||||||||||||||
A |
|||||||||||||||||||
16 |
16 |
||||||||||||||||||
5. Теоремы сложения Т.1. Для несовместных событий вероятность появления сум-
мы событий равна сумме вероятностей. То есть p(A + B)= p(A)+ p(B).
Доказательство. Пусть опыт имеет n исходов, событию А благоприятствует k из них, а событию В − благоприятствует m. Тогда сумме событий А+В благоприятствуют m+k. Тогда
p(A + B)= mn+ k = mn + kn = p(A)+ p(B).
Пример 8. Вероятности получить на экзамене 5, 4, 3 соответственно равны 0,2; 0,3; 0,3. Найти вероятность успешной сдачи экзамена.
Решение. Обозначим события: А – студент успешно сдал экзамен; В; С; К – студент сдал экзамен на 5; 4; 3 соответственно. По условию p(A)= p(B +C + K ). В силу несовместности событий
9
В; С; К и по условию p(B)= 0,2; p(C )= p(K )= 0,3 по теореме имеем p(A)= p(B +C + K )= p(B)+ p(C)+ p(K )=0,2 +0,3 +0,3 =0,8.
Т. 2. Для любых событий вероятность появления суммы этих событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. То есть p(A+B)= p(A)+ p(B)− p(A B).
Доказательство. Представим сумму событий А+В в виде сум- |
||||||||||||||
мы |
несовместных |
событий A + B = A + B |
, |
а событие В в |
||||||||||
A |
||||||||||||||
следующем виде B = B A + B |
. Так как в обоих случаях собы- |
|||||||||||||
A |
||||||||||||||
тия |
несовместны, |
то, |
применяя первую |
теорему, |
имеем |
|||||||||
p(A + B)= p(A)+ p(B |
); |
p(B)= p(A B)+ p(B |
), из |
второго |
||||||||||
A |
A |
|||||||||||||
равенства получаем |
p(B |
)= p(B)− p(A B). Подставляя в пер- |
||||||||||||
A |
||||||||||||||
вое, получаем окончательно p(A+ B)= p(A)+ p(B)− p(A B).
6. Теоремы умножения О. 1. Два события называются независимыми, если вероят-
ность появления одного из них не зависит от того, произошло или не произошло второе событие.
О. 2. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любая комбинация из них независима.
О. 3. События называются зависимыми, если появление или не появление одного из них, изменяет вероятность появления другого.
О. 4. Вероятность события В, вычисленная в предположении осуществления события А, называется условной вероятностью события В и обозначается pA (B).
Пример 9. Из урны, содержащей 2 белых и 3 чёрных шара, наудачу последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что второй извлечённый шар белый, если известно, что первый извлечённый шар чёрный.
Решение. Обозначим события А – первый извлечённый шар чёрный, В − второй извлечённый шар белый. Для нахождения искомой вероятности используем классическое определение
pA (B)= mn , где m- число благоприятных исходов, равное числу оставшихся после первого извлечения белых шаров, то есть m=2, а
10
n- число всевозможных оставшихся шаров, то есть n=4. Тогда искомая вероятность равна pA (B)= 24 = 12 .
Т. 1. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло.
То есть p(A B)= p(A) pA (B)= p(B) pB (A).
Доказательство. Пусть число всевозможных исходов опыта равно n. Из них событию А благоприятствует m из них. Совместному появлению событий А и В благоприятствует k. Тогда
pA (B)= mk , так как число всевозможных исходов для этого ус-
ловного события равно m приятных исходов равно k появления события А).
(событие А произошло), число благо- (событие В происходит при условии Для других вероятностей имеем
p(A B)= k |
, |
p(A)= m |
. Подставляя в формулу, имеем |
n |
n |
kn = mn mk = kn тождество.
Следствие 1. Если появление события А не зависит от события В, то появление события В не зависит от события А.
Доказательство. Если появление события А не зависит от события В, то можно записать p(A)= pB (A). Используя две
записи теоремы умножения, имеем, p(A) pA (B)= p(B) pB (A) подставив указанное условие, получим p(A) pA (B)= p(B) p(A), разделив обе части на p(A), получим pA (B)= p(B), то есть
вероятность появления события В не зависит от события А. Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых
событий равна произведению вероятности этих событий. Доказательство. Применяя первое следствие к теореме
умножения, получаем p(A B)= p(A) p(B).
Пример 10. Известно, что 85% готовой продукции цеха является стандартной. Вероятность того, что стандартная деталь отличного качества, равна 0,51. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется отличного качества.
Решение. Пусть А− событие, означающее, что взятое наудачу изделие стандартное, В− событие, означающее, что изделие от-