Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 1145
Скачиваний: 2
25
2.Постоянный множитель случайной величины можно выно-
сить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квад-
рат D(cx)= c2 D(x).
Доказательство. По свойствам математического ожидания
D(cx)= M[cX − M (cx)]2 = M[cX −cM(x)]2 = M [c2 (X − M (x))2 ]= = c2 M[X − M (x)]2 = c2 D(x).
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных |
величин |
|||
равна |
сумме |
дисперсий |
этих |
величин |
D(X +Y )= D(x)+ D(y). |
||||
Доказательство. Используя определение дисперсии и свойство математического ожидания М(X +Y )= M (x)+ M (y), диспер-
сию случайной величины X +Y можно выразить следующим об-
разом: D[X +Y ]= M[X +Y −M(X +Y )]2 = M[X −M(x)+Y −M(y)]2 .
Представим выражение в квадратных скобках в виде двучлена и запишем квадрат его суммы. Используя свойства математического ожидания суммы и произведения двух независимых случайных величин, получаем
D[X +Y]=M[X −M(x)]2 +2M[X −M(x)]M[Y −M(y)]+M[Y −M(y)]2.
Согласно свойству 5 математического ожидания, второе слагаемое равно нулю, следовательно: D[X +Y ]= D(x)+ D(y).
4.Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, D[X −Y ]= D(x)+ D(y).
Доказательство. На основании свойства 3 можно записать D[X −Y ]= D(x)+ D(− y). Согласно свойству 2 имеем
D[X −Y ]= D(x)+(−1)2 D(y)= D(x)+ D(y).
5.Дисперсия случайной величины Х, равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х
и квадратом её математического ожидания,
D(x)= M (x2 )−[M (x)]2 .
Доказательство. Используя определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем
D(x)= M[X − M (x)]2 = M [X 2 −2XM (x)+(M (x))2 ]= = M (x2 )−2M (x)M (x)+(M (x))2 = M (x2 )−[M (x)]2 .
26
Пример 23. Найти дисперсию для распределения непрерывной случайной величины, заданной в примере 21.
Решение. В примере 21 было найдено математическое ожидание M (x)=1. Для нахождения дисперсии используем её 5 свой-
ство. Вычислим
π |
|||||||||||||
M (x2 )= ∞∫ xf (x)dx = ∫2 x2 sin xdx = |
u = x2 ; dv = sin xdx |
= |
|||||||||||
−∞ |
0 |
du = 2xdx; |
v = −cos x |
||||||||||
=−x2 cosx |
π |
2 |
π 2 |
u =2x; |
dv =cosxdx |
=2x sinx |
π |
2 |
− |
||||
+ ∫2xcosxdx = |
|||||||||||||
0 |
0 |
du =2dx; v = sinx |
0 |
||||||||||
π 2 |
π 2 |
||||||||||||
−2 ∫sinxdx |
=π +2cosx |
0 |
=π −2. |
||||||||||
0 |
|||||||||||||
Тогда дисперсия равна D(x)= M(x2 )−[M(x)]2 =π −2 −1=π −3.
Пример 24. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение для дискретной случайной величины, имеющей ряд рас-
пределения |
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
pi |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
Решение. Математическое ожидание для этого распределения найдено в примере 22, и оно равно M (x)=1,7 . Для нахожде-
ния дисперсии вычислим
M(x2)=∑xi pi =02 0,1+12 0,3+22 0,4+32 0,2=3,7. Тогда дисперсия равна D(x)= 3,7 −1,72 = 0,81. Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле σ x = D(x)= 0,81 = 0,9 .
Пример 25. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: х1 и х2, причём х1<х2. Вероятность того, что Х примет значение х1, равна 0,5. Найти закон распределения Х, зная математическое ожидание M (x)= 4 и D(x)=1.
Решение. Используя условие нормировки p1 + p2 =1, найдём p2 =1− p1 =1−0,5 = 0,5. Так как M (x)= x1 p1 + x2 p2 , то
27
0,5x1 +0,5x2 = 4 или x1 + x2 =8 x2 =8 − x1. По пятому свойству дисперсии D(x)= M (x2 )−(M (x))2 , где
M (x2 )= x2 p + x2 p = 0,5x2 |
+0,5x2 |
= D(x)+(M (x))2 =1+16 =17 |
|||||||||||||
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
||||||||||
или x2 + x2 |
= 34. |
Подставив в полученное уравнение |
x |
2 |
=1− x , |
||||||||||
1 |
2 |
1 |
|||||||||||||
получим |
x2 +(8−x )2 |
=34 x2 +64−16x +x2 =34 2x2 −16x +30=0 |
|||||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||||
или x2 −8x +15 = 0. |
Решая |
полученное |
квадратное |
уравнение, |
|||||||||||
1 |
1 |
||||||||||||||
находим |
(x1)1,2 = 4 ± |
= 4 ±1 x1,1 = 3 и |
x1,2 = 5, |
тогда |
|||||||||||
16 −15 |
|||||||||||||||
x2,1 = 5 и x2,2 = 3. По условию задачи х1<х2, следовательно: х1=3
и х2=5, и искомый закон распределения имеет вид |
xi |
3 |
5 |
pi |
0,5 |
0,5 |
19. Начальные и центральные моменты
О.1. Начальным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины Xk,
νk = M (X k ).
Начальный момент для дискретной случайной величины
νk = ∑ xik pi .
Начальный момент для непрерывной случайной величины
νk = ∞∫ xk f (x)dx .
−∞
О.2. Центральным моментом k-го порядка случайной вели-
чины называют математическое ожидание величины [X − M (x)]k ,
µk = M[X − M (x)]k .
Центральный момент для дискретной случайной величины
µk = ∑(xi − M (x))k pi .
Центральный момент для непрерывной случайной величины
µk = ∞∫(x − M (x))k f (x)dx .
−∞
Соотношения между начальными и центральными моментами
µ |
0 |
=1; |
µ = 0; |
µ |
2 |
=ν |
2 |
−ν 2 |
; |
µ |
3 |
=ν |
3 |
−3ν ν |
2 |
+ 2ν3 |
; |
1 |
1 |
1 |
1 |
µ4 =ν4 −4ν3ν1 +6ν2ν12 −3ν14 .
28
Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание ν1 = M (x), а центральный момент второго
порядка дисперсию случайной величины µ2 = D(x).
О.3. Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой скошенности или асимметрии распреде-
ления (коэффициент асимметрии) A = µ3 σ 3x .
О.4. Нормированный центральный момент четвёртого порядка служит характеристикой островершинности или плосковер-
шинности распределения (эксцесс), E = µ4 −3.
σ x4
Пример 26. Случайная величина Х задана плотностью рас-
0; |
x < 0, |
||
пределения |
f (x)= |
ax2 |
; 0 ≤ x < 2, |
0; |
x ≥ 2. |
||
Найти коэффициент а, математическое ожидание, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Решение. Площадь, ограниченная плотностью распределе-
ния, численно равна |
∞∫ |
f (x)dx = 2∫ax2dx = a |
x3 |
2 |
= |
8a |
. Учитывая, |
||
3 |
0 |
3 |
|||||||
−∞ |
0 |
что эта площадь должна быть равна единице, находим a = 83 .
Найдём начальные моменты.
∞ |
(x)dx = |
3 |
2 |
3 |
x |
4 |
2 |
3 |
||||||||||||||||||||||
ν1 = |
∫ xf |
∫ x3dx = |
= |
; |
||||||||||||||||||||||||||
8 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
0 |
8 |
4 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||
∞ |
3 |
2 |
3 x |
5 |
2 |
12 |
||||||||||||||||||||||||
ν2 = |
∫ x2 f (x)dx = |
∫ |
x4dx = |
= |
; |
|||||||||||||||||||||||||
8 |
8 |
5 |
0 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
3 |
2 |
3 x |
6 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
ν3 = |
∫ x3 f (x)dx = |
∫ |
x5dx = |
= 4; |
||||||||||||||||||||||||||
8 |
8 6 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
3 |
2 |
3 x |
7 |
2 |
48. |
||||||||||||||||||||||||
ν4 = |
∫ x4 f (x)dx = |
∫ |
x6dx = |
= |
||||||||||||||||||||||||||
8 |
8 |
7 |
||||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
0 |
0 |
7 |
|||||||||||||||||||||||||||
29
Найдём центральные моменты.
µ2 |
=ν2 −ν12 = |
12 |
− |
3 |
2 |
= |
12 |
− |
9 |
= |
3 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
5 |
4 |
20 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
µ |
=ν |
−3ν ν |
+2ν3 =4−3 |
12 |
3 |
3 3 |
1 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
+2 |
=− |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
1 2 |
1 |
5 |
2 |
2 |
20 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
µ |
=ν |
−4ν ν |
+6ν ν2 −3ν |
4 |
48 |
3 |
3 |
2 |
12 |
3 |
4 |
39 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
= |
−4 |
4 |
+6 |
−3 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
3 1 |
2 1 |
1 |
7 |
2 |
2 |
5 |
2 |
560 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда математическое ожидание равно |
M (x)=ν1 = |
3 , дисперсия |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
µ3 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равна D(x)=µ |
= |
3 |
. |
Асимметрия A= |
=− 1 20 |
20 ≈−0,86 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
20 |
(D(x))3 |
20 3 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и эксцесс E = |
µ4 |
−3 = |
39 |
400 −3 = |
2 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(D(x))2 |
560 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
21 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20. Равномерное распределение О.1. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное
распределение на интервале [a;b], если на этом интервале плотность распределения постоянна, а вне его равна нулю,
0; |
x < a, |
|
f (x)= |
c; |
a ≤ x ≤ b, где с-const. |
x > b, |
||
0; |
Найдём значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице и все значения случайной величины принадлежат интервалу [a;b], то должно выпол-
няться равенство b∫ f (x)dx =1, или
a |
|||||
cx |
b =1 c(b − a)=1 c = |
1 |
. |
||
a |
b − a |
||||
b
∫cdx =1, отсюда
a
Следовательно, плотность распределения можно записать в виде