Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов специальности 230500 - Социальный сервис и туризм.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 255
Скачиваний: 0
|
|
|
|
-68- |
|||
S)2 = |
1 |
n |
(Xi − x)2 . Примем без доказательства тот факт, что слу- |
||||
∑ |
|||||||
|
|
||||||
|
|
n −1 i=1 |
|||||
|
|
|
|
)2 |
|
||
чайная величина |
nS |
имеет распределение 2 с k = n −1 степенями |
|||||
σ 2 |
|||||||
свободы. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
45. Понятие доверительного интервала. |
|||
|
|
|
|
|
Доверительная вероятность |
||
|
Оценку неизвестного параметра генеральной совокупности од- |
||||||
ним числом называют точечной оценкой. Наряду с точечным оцениванием статистическая теория занимается вопросами интервального оценивания. Задачу интервального оценивания в самом общем случае можно сформулировать так: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной точностью можно сказать, что внутри находится числовой параметр. Интервальное оценивание особенно необходимо при малом числе наблюде-
ний, когда точечная оценка мало надёжна.
[~(1) ~(2)]
О.1. Доверительным интервалом Θn ;Θn для параметра Θ
называют такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью p =1 −α , близкой к единице, утверждать,
что |
содержит неизвестное значение параметра Θ , то |
есть |
|
~ |
~ |
|
|
p{Θn(1) <Θ <Θn(2)}=1−α . |
~(1) |
|
|
|
~(2) |
, |
|
|
Чем меньше для выбранной вероятности разность Θn |
−Θn |
|
тем точнее оценка неизвестного параметра Θ , и на оборот, если этот
интервал велик, то оценка, произведенная с его помощью, мало при- |
||
~(1) |
~(2) |
за- |
годна для практики. Концы доверительного интервала Θn |
и Θn |
|
висят от элементов выборки, поэтому их значения могут меняться от выборки к выборке. Вероятность p =1−α принято называть довери-
тельной вероятностью, а число α - уровнем значимости.
46. Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии генеральной совокупности Пусть случайная величина Х распределена нормально, причём
среднее квадратическое отклонение σ этого распределения известно.
-69-
Требуется построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания µ с заданным уровнем значимости α . Ранее
показано, что выборочное среднее распределено нормально с пара-
метрами
(x − µ)n
σ
M (x −σµ)
отклонения
M (x)= |
µ, D(x)= |
σ 2 |
|
, |
|
нормированное |
отклонение |
|||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
распределено |
также |
|
нормально с |
параметрами |
|||||||
n |
|
|
|
|
− µ) |
n |
|
|
|
|
||
|
= 0 и |
(x |
|
=1. Поэтому вероятность любого |
||||||||
|
|
D |
σ |
|
|
|
||||||
|
|
x − µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
может |
быть |
вычислена |
по формуле |
||||||
|
|
|
||||||||||
p (x − µ) |
n < zкр = 2Ф(zкр). Для заданной доверительной вероят- |
|||||||||||||||||
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или Ф(zкр)= |
|
|
|
||||||
ности имеем p =1−α = 2Ф(zкр) |
|
1−α |
затем по таблице |
|||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
функции Ф(х) находим zкр. Преобразуем формулу к удобному виду |
||||||||||||||||||
|
|
|
z |
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p x |
− µ < |
|
кр |
= 2Ф(zкр)или |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
σ z |
|
|
n |
|
σ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
|
|
− x < |
кр |
|
= 2Ф(zкр), |
|
|
|
|
|
||||||
p − |
|
< µ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n |
|
|
|
n |
|
+σ zкр |
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда p x −σ zкр < µ |
< x |
= 2Ф(zкр). |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, с вероятностью (надёжностью) 1−α можно ут- |
|||||||||||||||||
верждать, |
что интервал |
|
|
z |
σ |
z |
σ |
|
||||||||||
x − |
|
кр |
; x + |
|
кр |
является доверитель- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ным для оценки математического ожидания.
Пример 43. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением σ =12. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания µ по выборочной средней x = 45 , если объём выборки n = 36 и
доверительная вероятность p = 0,95.
Решение. Используя соотношение Ф(zкр)=1−2α =0,295=0,475,
-70-
по таблице (см. приложение табл.2) находим zкр =1,96. Вычисляем zкрnσ =1,963612 = 3,92, следовательно, доверительный интервал имеет вид (45 −3,92;45 +3,92) или (41,08;48,92).
47. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии генеральной совокупности
Пусть случайная величина Х распределена нормально, причём среднее квадратическое отклонение σ этого распределения неизвестно. Требуется построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания µ с заданным уровнем значимости
|
(x − µ) |
|
|
|
α . Как показано ранее, случайная величина t = |
n |
|
распреде- |
|
S) |
|
|
лена по закону Стьюдента, поэтому, выбрав вероятность р и зная объём выборки п, можно по таблице найти такое tn, p , что
|
(x − µ) |
n ) < t |
|
=1−α . Проведём преобразование формулы, |
p |
|
|||
|
|
S |
n, p |
|
позволяющее оценить µ: |
|
|
< |
tn, pS |
|
=1−α |
|||||
p x − µ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
или |
|
tn, pS |
|
< µ − x |
< |
tn, pS |
|
|
=1−α |
|
|
p − |
|
n |
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
tn, pS |
< µ < x + |
tn, pS |
|
||||
p x − |
|
|
|
=1−α . Поэтому с вероят- |
||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
ностью (надёжностью) |
p =1−α можно утверждать, что интервал |
|||||||||
|
tn, pS |
|
|
tn, pS |
|
|
|
|
||
|
|
; x + |
|
является |
доверительным для оценки |
|||||
x − |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
неизвестного математического ожидания µ.
Пример 44. Пусть требуется построить доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания µ при
n = 9, p = 0,95, x = 6, S = 3.
|
|
|
|
|
|
|
-71- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. По таблице (см. приложение |
табл. |
3) |
значениям |
|||||||||||||
n = 9, p = 0,95 |
соответствует |
t9,0,95 = 2,31, |
|
поэтому |
|||||||||||||
x − |
Stn, p |
n |
< µ < x + |
Stn, p |
n |
или |
6− |
3 2,31 |
|
< |
µ <6 |
+ |
3 2,31 |
|
. |
||
|
|
|
|
9 |
|
9 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Окончательно, имеем 3,69 < µ <8,31.
48. Доверительный интервал для дисперсии Пусть случайная величина Х распределена нормально. Требует-
ся построить доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности σ 2 либо по выборочной дисперсии Sx2 , либо по S)2 .
То есть два случая: 1) математическое ожидание генеральной совокупности известно, 2) математическое ожидание генеральной совокупности неизвестно.
Построение доверительного интервала для дисперсии основыва-
ется на том, что случайная величина |
nS x2 |
имеет распределение |
|
σ 2 |
|
|
nS)2 |
|
2 с k = n степенями свободы, величина |
σ 2 имеет распределе- |
|
ние 2 с k = n −1 степенями свободы.
Подробно рассмотрим построение доверительного интервала для второго случая, так как именно он наиболее часто встречается на
практике. Итак, |
для выбранной вероятности p =1−α , учитывая, что |
||||
nS)2 |
|
|
2 с |
k = n −1 степенями свободы, |
|
σ 2 имеет |
распределение |
||||
можно записать |
p 2 |
< nS)2 |
< 2 |
|
=1−α . Далее по таблице 2 - |
|
|
σ 2 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
||
распределения (см. приложение таб. 4) нужно выбрать два значения12 и 22 , чтобы площадь, заключённая под дифференциальной функ-
цией распределения 2 между 12 и 22 , была равна 1−α . Обычно12 и 22 выбирают такими, чтобы p{ 2 < 12}= p{ 2 > 22}=α 2 . Так