Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов специальности 230500 - Социальный сервис и туризм.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 973

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

-77-

)

(n

−1) S)2 +(n

2

−1) S)

2

S 2

=

1

x

y

.

В

качестве

выборочной

оценки

n1 +n2 −2

D(x − y) обычно принимают оценку

)

2

1

1

)

2

S

. Извест-

+

S(x − y) =

что если случайная величина (x − y)

n1

n2

но,

подчиняется нормальному

закону, то статистика

(x − y)− M (x − y)

t =

(x − y)− M (x − y)

=

имеет t -

S)(x − y)

1

1

(n −1) S)2

+

(n

2

−1) S)2

+

1

x

y

n

n +n

−2

n

2

2

1

1

распределения Стьюдента с k = n1 + n2 −2 степенями свободы. Если

гипотеза

H0

справедлива,

то статистику t можно записать в виде:

t =

(x − y)

.

Выбрав

вероятность

1

1

(n

−1) S)2

+

(n

−1) S)2

+

1

x

2

y

n

n +n

−2

n

2

2

1

1

p =1−α ,

по таблице

t -распределения можно определить критиче-

ское значение tn +n −2;α ,

для которого P{t

> tn +n

−2;α }=α . Если

1

2

t p

> tn

1

2

вычисленное значение

+n

2

−2;α , то с надёжностью p =1−α

1

можно считать расхождение средних значимым (неслучайным).

Пример 46.

В результате двух серий измерений с количеством

измерений

n1 = 25 и

n2 = 50

получены

следующие выборочные

средние

x = 9,79

и

y = 9,60

а

также

исправленные

дисперсии

S)x2 = 0,28;

S)2y = 0,33. Можно ли с надёжностью p = 0,99 объяснить

случайными причинами?

Решение.

Вычислим

исправленную

дисперсию

)

(n −1) S)2 +(n

2

−1) S)2

=

24 0,28 + 49 033 ≈ 0,56 ,

вычисляем

S =

1

x

y

n1 + n2 −2

73

наблюдаемое

значение

статистики

t =

x − y

1

≈

9,79 −9,60

≈1,38 . Вероятности

p = 0,99 и числу

)

1

1

1

S

+

0,56

+

n

n

2

25

50

1

-78-

степей свободы k = 73 в таблице t – распределения (см. приложение табл.3) соответствует t73;0,01 = 2,649. Так как 1,38<2,649, то с на-

дежностью 0,99 нельзя считать расхождение средних значимым, или при уровне значимости 0,99, можно считать, что математические ожидания M (x)= M (y).

53.Сравнение выборочных дисперсий Гипотезы о дисперсиях имеют особенно большое значение в

технике, так как измеряемая дисперсией величина рассеяния характеризует такие важные показатели, как точность машин, приборов, технологических процессов.

Сформулируем гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Рассмотрим две случайные величины X и Y , каждая из которых подчиняется нормаль-

ному закону распределения с дисперсиями σ 2x и σ 2y . Пусть из генеральных совокупностей X и Y извлечены две независимые выборки объёмами n1 и n2 . Проверим гипотезу H0 о том, что σ 2x =σ 2y относительно альтернативной гипотезы H1, заключающейся в том, что σ 2x >σ 2y . Для оценки σ 2x используем исправленную выборочную

дисперсию S)x2 , а для оценки σ 2y - исправленную выборочную дис-

персию S)2y , следовательно, задача проверки гипотезы H0 сводится к сравнению дисперсий S)x2 и S)2y . Как показано ранее, случайные ве-

S)2

n

S)2y

n2

распределены по закону 2 с k

личины

x

1

и

= n −1 и

σ 2

σ 2

1

1

k2 = n2 −1 степенями свободы.

Случайную величину F , определяе-

S)2

n

n2

1

1

S)12

мую соотношением

F =

σ 2

=

, называют случайной вели-

)

)

n1

S22

n2

S22

σ 2

чиной с распределением Фишера-Снедекора. Заметим, что всегда

-79-

можно так ввести обозначения, что S)12 ≥ S)22, поэтому случайная ве-

личина F принимает значения, не меньшие единицы. Дифференциальный закон распределения случайной величины F не содержит неизвестных параметров (µ;σ ) и их оценок, а зависит лишь от числа

наблюдений в выборках n1 и n2 . Этот факт позволяет составить таб-

лицы распределения случайной величины F , в которых различным значениям уровня значимости и различным сочетаниям величин k1 и

k2 ставят в соответствие такие значения F(α;k1;k2), для которых справедливо равенство P{F > F (α;k1;k2 )}=α .

Сформулируем правило вычислив исправленные выборочные

)2 )2 S)2

дисперсии S x и S y , найдём их отношение Fp = )1 , причём в чис-

S22

лителе запишем большую из них. Затем, выбрав необходимый уровень значимости α , по таблице F -распределения находим число F (k1 ;k2 ;α), которое сравниваем с вычисленным F p . Если окажется,

что Fp > F (k1 ;k2 ;α), то проверяемая гипотеза отвергается (различие между дисперсиями значимо), если Fp ≤ F (k1 ;k2 ;α), то выбо-

рочные наблюдения не противоречат проверяемой гипотезе. Пример 47. На двух станках обрабатываются детали. Отобраны

две пробы: на первом станке n1 =10 , на втором станке n2 =15. По данным этих выборок рассчитаны исправленные выборочные дис-

персии

S)2 = 9,6 (для первого станка)

и

S)2

= 5,7 . Проверить при

1

2

уровне значимости α = 0,05 гипотезу о том,

что станки обладают

одинаковой точностью, или гипотезу H0: дисперсии равны.

S)2

9,6

Решение. Вычислим

значение Fp

=

1

=

≈1,68 .

Затем по

)

уровню

значимости

α = 0,05

S22

5,7

и

степеням

свободы

k1 = n1 −1 =10 −1 = 9;k2 = n2 −1 =15 −1 =14 по таблице (см. приложение табл. 6) находим число F (9;14 ;0,05)= 2,65 . Итак имеем

1,68<2,65, следовательно, предположение о равенстве дисперсий не противоречит наблюдениям, иными словами, нет оснований считать, что станки обладают разной точностью.

-80-

54. Проверка гипотез о законе распределения

Критерий согласия 2 (Пирсона)

До сих пор мы рассматривали гипотезы, относящиеся к отдельным параметрам распределения случайной величины, причём закон распределения предполагался известным. Однако во многих практических задачах закон распределения случайной величины неизвестен, т. е. является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу H0 о том, что случайная величина

подчиняется закону распределения F (x). Для проверки гипотезы

произведём выборку, состоящую из п независимых наблюдений над случайной величиной X . По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x) исследуемой случайной величины. Срав-

нение эмпирического F * (x) и теоретического распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины -

критерия согласия. Существует несколько критериев согласия: 2 Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Критерий согласия Пирсона - наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения.

Рассмотрим этот критерий. Разобьём всю область изменения X на l интервалов ∆1 ,∆2 ,L,∆l и подсчитаем количество элементов

mi , попавших в каждый из интервалов ∆i . Предполагая известным теоретический закон распределения F (x), всегда можно определить pi (вероятность попадания случайной величины X в интервал ∆i ), тогда теоретические частоты можно рассчитать по формуле n pi .

Если эмпирические частоты сильно отличаются от теоретических, то проверяемую гипотезу H0 следует отвергнуть, в противном случае -

принять.

Сформулируем критерий, который бы характеризовал степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами. В литературе по математической статистике доказывается, что стати-

2

(mi −n pi )2

имеет распределение

2

с k = l −r −1

стика = ∑

n pi

степенями свободы. Здесь r - число параметров распределения F (x).

Смотрите также файлы