Файл: В.Д. Моисеенко Расчет статически неопределимых шарнирно-стержневых систем при растяжении-сжатии.pdf

2.1.3. Физическая сторона задачи

Полученное уравнение совместимости деформации (2.5) в таком виде не решается с уравнением равновесия (2.1), потому что входящие в них неизвестные величины разного характера.

Абсолютные деформации ∆lCТ и ∆lМ в уравнении (2.5) выразим

Получили уравнение совместимости деформаций, записанное через усилия в стержнях.

8

2.1.4. Синтез

Решим совместно уравнения равновесия (2.1) и уравнение совместимости деформаций (2.6).

NCТ +1,73NМ =45

0,67NСТ =0,95NМ .

Из второго уравнения системы выразим усилие NСТ:

и подставим в первое уравнение системы.

Положительный результат NСТ и NМ подтверждает наши предположения сжатия стального стержня и растяжения медного стержня, значит, усилия в стержнях будут:

2.1.5. Подбор поперечных сечений стержней

Подбор поперечных сечений стержней ведется по условию прочности при растяжении – сжатии:

NF ≤ [σ].

а) Требуемая из условия прочности площадь поперечного сечения стального стержня будет определена:

9

б) Требуемая из условия прочности площадь поперечного сечения медного стержня будет определена:

При этом, согласно заданному отношению площадей, площадь стального стержня должна быть равна:

FСТ = 43 FМ = 43 1,7 10−4 =1,275 10−4 м2 ..

Принимаем большие площади поперечных сечений стержней:

2.1.6. Напряжения в стержнях от внешних сил

При принятых площадях поперечных сечений медного и стального стержней определим напряжения в этих стержнях.

2.2. Температурный расчет статически неопределимой шарнирно-стержневой системы

Целью температурного расчета является определение дополнительных напряжений в медном и стальном стержнях от изменения температуры.

Допустим, система нагревается на ∆t = 20oC . Алгоритм решения остаётся прежним. Исходная расчетная схема представлена на рис. 7.

Рис. 7. Расчетная схема для расчета на температурные воздействия

2.2.1. Статическая сторона задачи

При построении плана сил направление усилия в одном из стержней предполагаем. Направление усилия во втором стержне принимаем в соответствии с принятым в первом, чтобы обеспечить равновесие балки. При этом надо помнить, что оба стержня одновременно растянутыми быть не могут (см. рис. 8). В рассматриваемом примере стержни сжаты.

NМ

Рис.8. План сил при температурном воздействии

Запишем уравнение равновесия:

∑mc = 0 ;

−NСТ 2 + N М sin 60o 4 =0

Полученное уравнение равновесия запишем через напряжения в стержнях, для чего разделим его на равноценные величины FСТ и

0,75FМ, (по условию задачи FСТ = 43 FМ =0,75FМ ):

11

После выполнения арифметических действий получим:

2.2.2. Геометрическая сторона задачи

Строим план перемещений, на котором изображаем заданную шарнирно-стержневую систему до нагрева и предположительное положение её после нагрева (рис. 9).

Рис. 9. План перемещений при температурном воздействии

На плане перемещений кроме полной, т.е. окончательной, деформации стержней (∆lм и ∆lст) показаны виртуальные деформации от нагрева (∆lt) и от усилий в стержнях (∆lN). Причем в сжатых стержнях температурная деформация выходит за пределы полной деформации, а в случае растянутого стержня эта деформация будет в пределах полной деформации.

Из плана перемещений составим уравнение совместимости деформаций.

Из подобия треугольников АА1С и СВВ1 запишем отношение перемещений точек:

где