Файл: В.Д. Моисеенко Расчет статически неопределимых шарнирно-стержневых систем при растяжении-сжатии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.06.2024

Просмотров: 44

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

АА1 = ∆l

ст

= ∆l t

ст

– ∆l N

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ст

 

 

 

 

 

ВВ

=

 

∆lМ

 

 

=

∆lМN - ∆lМt

,

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

1

 

sin60

 

sin60

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆lMN - ∆l tM

тогда зависимость (2.8) примет вид

t

N

∆l СТ −∆lCТ =0,5

0,866

 

 

 

 

 

∆l СТt − ∆lCNТ = 0,58( ∆lMN - ∆ l tM )

 

или

 

 

 

 

(2.9)

Это и есть уравнение совместимости деформаций при температурном воздействии на стержневую систему.

 

 

 

 

 

 

2.2.3. Физическая сторона задачи

 

 

 

 

 

Деформации в уравнении (2.9) по закону физики:

∆l t =α l ∆t

и закону Гука:

 

∆l N =

 

Nl

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем иметь:

EF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

CТ

l

∆t −

NCТ

lCТ

=0,58

(

NМ lМ

−α

М

l

M

∆t )

. (2.10)

 

 

 

 

 

 

 

СТ

 

 

 

ЕСТ

FCТ

 

 

 

ЕМ FМ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В уравнение (2.10) подставим числовые значения исходных дан-

ных и

NСТ

 

=σСТ

;

 

NМ

 

=σМ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СТ

 

 

 

 

 

 

 

М

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

125 10−7 1,2 20 −σCT 1,2

=0,58 ( σM 1,9 −165

10−7

1,9 20 )

 

 

 

 

 

 

 

2 105

 

 

 

1 105

 

 

 

 

 

 

После арифметических действий получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,6σCT +1,1σM =66,4

 

 

 

 

 

 

(2.11)

2.2.4 Cинтез

Решаем совместно уравнения (2.7) и (2.11)

σCT = 2,31σM

0,6σCT +1,1σM =66,4 .

13

Выразим σCT через σM первого уравнения системы и подставим во

второе уравнение системы:

0,6 2,31 σM +1,1 σM =66 ,4 , откуда

σM =

 

66,4

 

=

66,4

= 26,71 МПа

( 0,6

2,31+1,1)

2,486

 

 

 

тогда σCT = 2,31 26 ,71 =61,7 МПа.

Положительный результат подтверждает предположение сжатия обоих стержней. Следовательно, в стержнях действуют нормальные напряжения от нагрева системы:

σCTt = −61,7МПа и σMt = −26,71МПа.

2.3. Монтажный расчет

Целью монтажного расчета является определение дополнительных напряжений в стальном и медном стержнях. При монтаже стержневой системы очень часто допускаются отклонения от проектных размеров. Стержни могут быть заготовлены или длиннее, или короче заданных на некоторую величину ∆ (см. рис.10). Если величина ∆ незначительна по сравнению с длинами стержней, то, приложив определенные усилия, можно произвести монтаж стержневой системы.

∆

А

С

В

60°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2м

 

 

 

4м

 

ст

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

Рис.10. Статически неопределимая система с зазором в шарнире А

2.3.1. Статическая сторона задачи

При сборке стержневой системы, чтобы соединить узел А, необходимо растянуть стальной стержень. Построим план сил (рис.11).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ncт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nм

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.11. План сил

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение статики ∑M C = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NCT 2 − NM sin60o 4 =0

 

 

или

NCT =1,732 NM .

Полученное уравнение равновесия запишем через напряжения в стержнях, для чего разделим его на величину FCT и 0,75FM (по условию

имеем

FCT

=

3

, откуда

FCT =

3

FM

=0,75FM ):

 

F

 

4

 

 

 

4

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NCT

 

=

1,732 N M

 

или

 

 

 

σCT = 2,31 σM .

(2.12)

 

FCT

 

 

0,75 FM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.2. Геометрическая сторона задачи

Упругие свойства стального и медного стержней позволяют узлу А после сборки находится в пределах зазора ∆. Из этих соображений

строим план перемещений (рис.12) 60°

В1

В2

∆

∆lст

А

С

 

 

В

А1

 

60

°

∆lм

 

 

 

 

2 м

4 м

 

 

ст

 

 

 

м

 

 

 

 

Рис.12. План перемещений при монтажных ошибках

Запишем соотношение перемещений точек балки:

15

 

 

 

 

 

AA1

AC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

,

 

 

(2.13)

 

 

 

 

 

BB

 

CB

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

AA1 = ∆- ∆lCT ;

BB1

 

=

∆lМ

;

АС = 2 м; СВ = 4 м,

 

o

 

 

 

 

 

 

sin60

 

 

 

 

 

 

подставим в соотношение (2.14):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ∆ − ∆l

CT

)

sin60o

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

∆lM

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

после алгебраических действий получим:

 

(2.14)

 

 

 

( ∆− ∆lCT ) 0,866 =0,5∆lM .

 

Это и есть уравнение совместимости деформаций.

Полученное уравнение совместимости деформаций (2.14) не решается с уравнением равновесия (2.12), так как в них различные неизвестные.

2.3.3.Физическая сторона задачи

Вуравнение (2.14) деформации стержней выразим через усилия по

закону Гука: ∆l =

N l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NM lM

 

 

 

 

 

 

 

 

σM lM

 

 

∆−

NCT lCT

0,866

=0,5

или

 

∆−

σCT lCT

0,866

=0,5

.

 

E

CT

F

 

E

M

F

 

E

CT

 

E

M

 

 

 

CT

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проведем числовую подстановку согласно исходным данным.

 

−

σ

CT

1,2

 

0,866

=0,5

σ

M

1,9

0,001

 

 

 

 

 

 

 

2 105

 

 

 

1 105

После арифметических действий получим:

 

 

86 ,6 −0,52σCT =0,95σM

 

(2.15)

 

 

2.3.4. Синтез

 

Решаем совместно уравнения (2.12) и (2.15)

 

σCT = 2,31 σM

 

 

,6 −0,52σСТ =0,95σМ

 

86

 

Выражение σCT = 2,31 σM подставим во второе уравнение системы

уравнений:

 

86

,6 −0,52 2,31σM = 0,95σM , или

 

86

,6 =1,2σM +0,95σM , или

 

 

 

 

 

16

 

86,6 = 2,15σM , откуда

σM

=

86 ,6

= 40,3

МПа,

 

 

 

2,15

 

 

σCT =0,95 40,3 = 38,3 МПа.

Положительный результат подтверждает наше предположение растяжения обоих стержней. Следовательно, от монтажных ошибок в стержнях возникают напряжения:

σC∆Т = 38,3 МПа,

σM∆ =40,3МПа.

2.4.Определение суммарных напряжений

Встальном и медном стержнях определим суммарные напряжения от всех влияющих на них факторов: внешних нагрузок Р, q, от изменения температуры и неточности изготовления одного из стержней (например, стального).

σCT =σCTp +σCTt +σCT∆ = −112,4 −61,71 + 38,3 = −142,8 МПа

σM =σMp +σMt +σM∆ =63 − 26,31 + 40,3 =76 ,59 МПа

Подводя итог, можно отметить, что в стержнях с площадями поперечных сечений, подобранных из условия прочности от внешнего загружения, дополнительные факторы снижают или увеличивают напряжения.

Проверим прочность стержней.

σCT = −142,8 МПа > [σ]CT− = −120 МПа,

что недопустимо. Стальной стержень непрочен.

σM =76,59 МПа < [σ]M+ =84 МПа,

что отвечает требованию условия прочности. Медный стержень прочен.

2.5. Расчет по предельному состоянию

Метод расчета по предельному состоянию или по разрушающим нагрузкам при едином коэффициенте запаса прочности сводится к двум этапам:

I этап. В каждом случае необходимо установить, какое состояние конструкции должно быть принято за предельное. За предельное состояние принимаем превращение системы в механизм.

Смотрите также файлы