Файл: И.А. Паначев Рабочая программа, контрольные работы и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения (сокращенные сроки обучения на базе среднего проф. образования).pdf

30

В общем случае напряжённого состояния относительное изменение объёма равно:

8.3.7. Удельная потенциальная энергия упругой деформации Работа внешних сил при деформации переходит во внутреннюю

потенциальную энергию. Величина потенциальной энергии при упругой деформации зависит от конечной величины приложенных нагрузок.

Удельная потенциальная энергия деформации (в единице объёма) изотропного тела выражается следующим образом через главные на-

8.4. Пример Стальной кубик находится под действием сил (рис. 8.2), создаю-

щих плоское напряжённое состояние (одно из трёх главных напряжений равно нулю). Требуется найти: 1) главные напряжения и направления главных площадок; 2) максимальные касательные напряжения, равные наибольшей полуразности главных напряжений; 3) относительные деформации εX, εY, εZ; 4) относительное изменение объёма; 5) удельную потенциальную энергию деформаций, если дано σX= 20 МПа,

σY= 40 МПа, τX= 30 МПа.

Рис.8.2.Схема нагружения элемента и положения главных площадок

32 8.4.5. Находим удельную потенциальную энергию деформаций :

9.КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ

9.1.Крутящие моменты

Если нагрузка на прямолинейный стержень (вал) состоит только из моментов МК, плоскости которых перпендикулярны к оси стержня, то из шести внутренних усилий в любом сечении остаётся только крутящий момент МКР.

Внутренний момент МКР выражается через внешние МК. Крутящий момент МКР в сечении равен сумме внешних моментов МК, расположенных по одну сторону от сечения :

Правило знаков: крутящий момент МКР считается положительным, когда внешний момент МК вращает отсечённую часть против часовой стрелки, если смотреть на него со стороны разреза.

9.2. Напряжения и деформации Основные допущения, принятые в теории кручения круглых валов,

выполненных из однородного, идеально упругого материала:

а) гипотеза плоских сечений – сечения плоские до кручения остаются плоскими и при кручении;

б) ось вала при кручении не искривляется; в) удлинение продольных волокон вала отсутствует;

г) радиусы поперечных сечений вала при кручении остаются прямыми, поворачиваясь на определённый угол;

д) в поперечных сечениях вала возникают только касательные напряжения.

Таким образом, кручение можно рассматривать как чистый сдвиг, вызываемый поворотом одного сечения относительно другого. При

33

этом в поперечных сечениях возникают касательные напряжения (см.

рис. 9.1):

где τρ – касательное напряжение в рассматриваемой точке; ρ – расстояние от исследуемой точки до оси стержня; IK – момент инерции сечения стержня при кручении.

Для круглого сечения IK = πd4/32.

Для кольца IK = πd4(1 – α)/32, где α = d/D.

Наибольшие касательные напряжения – у поверхности вала (см.

рис. 9.1, а, б):

где WK – момент сопротивления при кручении.

Рис.9.1. Касательные напряжения в поперечном сечении стержня: а) для круглого сечения; б) для кольцевого сечения

Для круглого сечения WK = πd3/16, при этом для кольцевого сечения WK = πD3(1 – α4)/16. Для вычисления IK и WK можно пользоваться приближёнными формулами, делающими ошибку в 2%: IK= 0,1d4; WK= 0,2d3 – для сплошного вала, IK= 0,1D4(1 - α4); WK= 0,2D3(1 – α4) –

для полого вала.

34

Углы закручивания при постоянном крутящем моменте на длине l определяют по формулам:

9.3.Пример

Кстальному валу приложены три известных момента: М1, М2, М3 (рис.9.2). Требуется: 1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчёта на прочность и округлить его до ближайшего большего стандартного значения; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол

Решение 9.3.1. Составляем уравнение деформаций, выражающее мысль, что

угол поворота правого концевого сечения равен нулю.

Подставив цифровые значения, получим

X(2 1,3 +1,2 +1,8)− M3 (1,3 +1,2 +1,8)− M2 (1,3 +1,2)+1,3M1 = 0, 5,6X − 4,3M3 − 2,5M2 +1,3M1 = 0,

отсюда Х = 1616 Н.м.

9.3.2. Для найденного значения Х строим эпюру МКР. На основании метода сечений имеем, что крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения формула (9.1).

Мкр = ∑Мi(пр) = ∑Мi(лев).

35

Мкр1 = X =1616 Н м,

Мкр2 = X − М3 =1616 −1800 = −184 Н м,

Мкр3 = X − М3 − М2 =1616 −1800 −1200 = −1384 Н м,

Мкр4 = X − М3 − М2 + М1 =1616 −1800 −1200 +130 = −84 Н м.

9.3.3. По полученным значениям строим эпюру Мкр (см. рис.9.2). Условие прочности:

τmax = Мкр [τ], Wк

где│МКР│МАХ = 1616 Нм, WK= πd3/16,

отсюда

36

Принимаем по ГОСТ 6636-69 d = 56 мм = 0,056 м.

9.3.4. Строим эпюру углов закручивания. Угол закручивания на участке (формула (9.4) :

ϕ= Mкрili ,

iGIк

Находим углы закручивания характерных сечений :

αлев = αпр + ϕi ,

α1 = 0,

αII = αI + ϕ1−2 = 27,21 10−3 рад,

αIII = αII +ϕ2−3 = 27,21 10−3 −4,29 10−3 = 22,92 10−3 рад,

αIV = αIII +ϕ3−4 = 22,92 10−3 −21,51 10−3 =1,41 10−3 рад,

αVI = αIV +ϕ4−5 =1,41 10−3 −1,41 10−3 = 0 .

По данным значениям строим эпюру α (см. рис. 9.2)

9.3.5. Находим наибольший относительный угол закручивания

θ = ϕ = Мкр , l GIk