Файл: И.А. Паначев Рабочая программа, контрольные работы и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения (сокращенные сроки обучения на базе среднего спец. образования).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.06.2024
Просмотров: 656
Скачиваний: 0
32
9.КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ
9.1.Крутящие моменты
Если нагрузка на прямолинейный стержень (вал) состоит только из моментов Мк, плоскости которых перпендикулярны к оси стержня, то
из шести внутренних усилий в любом сечении остаётся только крутящий момент Мкр.
Внутренний момент Мкр выражается через внешние Мк. Крутящий момент Мкр в сечении равен сумме внешних моментов Мк, расположенных по одну сторону от сечения :
Мкр = ∑Мк(лев) = ∑Мк(пр) . |
(9.1) |
Правило знаков: крутящий момент Мкр считается положительным, когда внешний момент Мк вращает отсечённую часть против часовой стрелки, если смотреть на него со стороны разреза.
9.2. Напряжения и деформации Основные допущения, принятые в теории кручения круглых валов,
выполненных из однородного, идеально упругого материала:
а) гипотеза плоских сечений – сечения плоские до кручения остаются плоскими и при кручении;
б) ось вала при кручении не искривляется; в) удлинение продольных волокон вала отсутствует;
г) радиусы поперечных сечений вала при кручении остаются прямыми, поворачиваясь на определённый угол;
д) в поперечных сечениях вала возникают только касательные напряжения.
Таким образом, кручение можно рассматривать как чистый сдвиг, вызываемый поворотом одного сечения относительно другого. При этом в поперечных сечениях возникают касательные напряжения (см.
рис. 9.1):
τ р = |
Мкр ρ |
, |
(9.2) |
|
Iк |
||||
ρ – рас- |
||||
где τ р – касательное напряжение в рассматриваемой точке; |
||||
стояние от исследуемой точки до оси стержня; Iк – момент инерции
сечения стержня при кручении.
Для круглого сечения Iк = πd4/32.
33
Для кольца Iк = πd4(1 – α)/32, где α = d/D.
Наибольшие касательные напряжения – у поверхности вала (см.
рис. 9.1, а, б):
τтах = |
Мкр |
, |
(9.3) |
W |
|||
к |
где Wк – момент сопротивления при кручении.
Рис.9.1. Касательные напряжения в поперечном сечении стержня: а) для круглого сечения; б) для кольцевого сечения
Для круглого сечения Wк = πd3/16 , при этом для кольцевого сечения Wк = πD3(1 – α4)/16. Для вычисления Iк и Wк можно пользоваться приближёнными формулами, делающими ошибку в 2%: Iк= 0,1d4;
Wк= 0,2d3 – для сплошного вала, Iк= 0,1D4(1 - α4); Wк=0,2D3(1–α4) – для
полого вала.
Углы закручивания при постоянном крутящем моменте на длине l определяют по формулам:
для сплошного вала
ϕ = |
Мкр 1 |
||||
, |
(9.4) |
||||
для полого вала |
GIк |
||||
Мкр 1 |
|||||
ϕ = |
|||||
. |
(9.5) |
||||
GIк( 1 −α4 ) |
|||||
34
9.3.Пример
Кстальному валу приложены три известных момента: М1, М2, М3 (рис.9.2). Требуется: 1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчёта на прочность и округлить его до ближайшего большего стандартного значения; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол
закручивания (на 1 м), если дано: |
а = 1,3 м, |
b = 1,2 м, с = 1,8 м, |
||||||||
М1 = 1300 Н·м, М2 = 1200 Н·м, |
М3 = 1800 Н·м, |
[ τ ] = 55 МПа. |
||||||||
Решение |
||||||||||
9.3.1. Составляем уравнение деформаций, выражающее мысль, что |
||||||||||
угол поворота правого концевого сечения равен нулю. |
||||||||||
X (2a + b + c) |
− |
M3 |
(a + b + c) |
− |
M 2 (a + b) |
+ |
M1 a |
= 0. |
||
GIk |
||||||||||
GIk |
GIk |
GIk |
||||||||
Подставив цифровые значения, получим |
||||||||||
X (2 1,3 +1,2 +1,8)− M3 |
(1,3 +1,2 +1,8)− M 2 (1,3 +1,2)+1,3M1 = 0 |
|||||||||
5,6X − 4,3M3 − 2,5M 2 +1,3M1 = 0,
отсюда Х = 1616 Н·м.
9.3.2. Для найденного значения Х строим эпюру Мкр. На основа-
нии метода сечений имеем, что крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения (формула (9.1)).
Мкр = ∑Мi(пр) = ∑Мi( лев)
Мкр1 = Х= 1616 = 1616 Н·м.
Мкр2 = Х – М3 = 1616 – 1800 = –184 Н·м.
Мкр3 = Х – М3 – М2 = 1616 – 1800 – 1200 = –1384 Н·м.
Мкр4 = Х – М3 – М2 + М1 = 1616 – 1800 – 1200 + 1300 = –84 Н·м.
35
9.3.3. По полученным значениям строим эпюру Мкр (см. рис.9.2). Условие прочности:
τтах = |
Мкр |
>[τ], |
||||||||||||||
W |
||||||||||||||||
=πd 3 |
к |
|||||||||||||||
где │М |
кр |
│mах = 1616 Нм, W |
к |
/16, |
||||||||||||
отсюда |
||||||||||||||||
d = 3 |
16 |
M кp |
max = 3 |
16 1616 |
= 0,0532 м. |
|||||||||||
π [τ] |
3,14 55 106 |
|||||||||||||||
Принимаем по ГОСТ 6636-69 d = 56 мм = 0,056 м.
9.3.4. Строим эпюру углов закручивания. Угол закручивания на участке (формула (9.4):
ϕi = M крili ,
GIк
36 |
||||||||||||
GIk |
= |
Gπd 4 |
= 8 104 106 3,14 0,0564 = 0,772 105 Н м2 , |
|||||||||
32 |
32 |
|||||||||||
где G = 8 104 МПа – модуль упругости при сдвиге. |
||||||||||||
ϕ |
= |
1616 1,3 |
= 27,21 10−3 рад. |
|||||||||
1 |
0,772 105 |
|||||||||||
ϕ2 |
= |
−184 1,8 |
= −4,29 10−3 рад. |
|||||||||
0,772 105 |
||||||||||||
ϕ3 |
= −1384 1,2 |
= −21,51 10−3 |
рад. |
|||||||||
0,772 105 |
||||||||||||
ϕ4 |
= |
−84 1,3 |
= −1,41 10−3 |
рад. |
||||||||
0,772 105 |
||||||||||||
Находим углы закручивания характерных сечений:
αлев = αпр + ϕi ,
αI = 0,
αII =αI +ϕ1−2 = 27,21 10−3 рад,
αIII =αII +ϕ2−3 = 27,21 10−3 − 4,29 10−3 = 22,92 10−3 рад,
αIV =αIII +ϕ3−4 = 22,92 10−3 − 21,51 10−3 =1,41 10−3 рад,
αV =αIV +ϕ4−5 =1,41 10−3 −1,41 10−3 =0 .
По данным значениям строим эпюру α (см. рис. 9.2)
9.3.5. Находим наибольший относительный угол закручивания
θ = ϕ = Мкр , l GIк
следовательно, наибольший угол закручивания будет на участке, где момент будет максимальным.
I участок: Мкр = 1616 Н·м,
θmax =θ1 = 0,7721616105 = 20,93 10−3 м−1.