Файл: И.А. Паначев Рабочая программа, контрольные работы и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения (сокращенные сроки обучения на базе среднего спец. образования).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.06.2024

Просмотров: 185

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

37

10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Прочность, жёсткость и устойчивость элементов конструкций во многом определяются формой и размерами их поперечных сечений. В расчётной практике используют так называемые геометрические характеристики сечений.

Площадь сечения является одной из геометрических характеристик, используемых, главным образом, в расчётах на растяжение и сжатие. При расчётах на кручение, изгиб, а также на устойчивость используют более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления.

При изложении вопросов геометрических характеристик будем использовать систему координат, показанную на рис. 10.1.

Геометрическими характеристиками данного сечения являются: площадь F, статические моменты SX, SY, радиусы инерции iX, iY, iK,

момент сопротивления WX, WY, WK, моменты инерции

IX, IY, IK, IXY.

10.1. Площадь плоских сечений (фигур)

 

Площадь, ограниченная произвольной кривой, есть (рис. 10.2):

F = ∫dF

(10.1)

 

F

 

Для вычисления геометрических характеристик сложных сечений

они разбиваются на конечное число

n простейших частей. В этом слу-

чае

n

(10.2)

 

F =

∑Fi.

i=1

 

38

10.2. Статические моменты площади сечения. Центр тяжести сечения

Статическими моментами площади сечения, относительно осей Х и Y, лежащих в плоскости этой фигуры (рис.10.2), называются геометри-

ческие характеристики, определяемые формулами

 

Sx = ∫ ydF,

(10.3)

F

 

Sy = ∫xdF.

(10.4)

F

 

Если известно положение центра тяжести ХС и YC (рис. 10.2) и его площадь F, то статические моменты определяют по формулам

Sy = FXC ,

(10.5)

Sx = FYC .

(10.6)

Из формул (10.5) и (10.6) следует, что статический момент площади плоской фигуры (сечения) относительно любой центральной оси равен нулю. Обратное положение также справедливо: если статический момент сечения относительно какой-либо оси равен нулю, то эта ось является центральной, т.е. проходит через центр тяжести сечения С.

В зависимости от положения сечения относительно осей координат статический момент может быть положительным или равным нулю.

Из (10.5) и (10.6) могут быть определены координаты центра тяжести фигуры:

XC =

Sy

,

(10.7)

F

 

 

 

39

Sx

 

 

Y

=

.

(10.8)

 

c

 

F

 

 

 

 

Для вычисления статических моментов сложной фигуры её разбивают на простые части, для каждой из которых известна площадь Fi и положение центра тяжести (хi, yi). Статические моменты всей фигуры

относительно осей X и Y определяют по формулам

Sx = F1Y1

+ F2Y2 +.... + FnYn = ∑(FiYi ),

 

 

i=1

Sy = F1X1

+ F2 X2

+.... + Fn Xn = ∑(Fi Xi ).

 

 

i=1

Координаты центра тяжести сложной фигуры определяют:

 

 

 

Sy

 

 

∑(F X

)

 

Xc =

 

 

 

=

i i

 

,

 

F

 

∑Fi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

= Sx

=

∑(FiYi )

.

 

 

 

 

 

c

F

 

 

 

∑Fi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.9)

(10.10)

(10.11)

(10.12)

10.3. Моменты инерции сечений Осевые моменты инерции площади поперечного сечения бруса от-

носительно осей Х и Y (рис. 10.2):

Ix = ∫Y 2 dF,

(10.13)

F

 

I y = ∫ X 2 dF.

(10.14)

F

 

Полярный момент инерции относительно начала координат (полюса) (рис. 10.2) равен:

Iρ = ∫ρ 2 dF.

(10.15)

F

 

Если через полюс проведена система взаимно перпендикулярных

осей Х, Y, то ρ2 = х2 + y2 (рис. 10. 2) и, следовательно:

 

Iρ = Ix + I y.

(10.16)

40

Центробежный момент инерции площади поперечного сечения

бруса относительно осей Х и Y (рис. 10.2.) равен:

 

Ixy = ∫ X Y dF.

(10.17)

F

 

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, а центробежный в зависимости от положения сечения относительно осей координат может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Центробежный момент инерции фигуры относительно осей, включающих хотя бы одну ось симметрии, равен нулю.

В самом общем случае переход от любой старой к любой новой системе координат может рассматриваться как два последовательных преобразования:

1) путём параллельного переноса осей координат Х, Y в новое положение X′, Y′

 

 

I

 

′ =

n

 

 

+ a

2F ),

(10.18)

 

 

x

∑(I

xi

 

 

 

 

i=1

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

′ =

n

 

 

+b

2F ),

(10.19)

 

 

y

∑(I

yi

 

 

 

 

i=1

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

′ =

n

 

+ a b F ),

 

′

∑(I

xiyi

(10.20)

 

x y

i=1

 

 

i i

i

 

где Ixi, Iyi, Ixiyi – моменты инерции относительно центральных осей каждой из составляющих простейших фигур Fi; Ix′, Iy′, Ixy′ – моменты

инерции относительно новых осей; ai, bi – соответственно расстояния от старых осей Х и Y до параллельных им новых осей Х′и Y′, которые в

формулы (10.18), (10.19) и (10.20) входят со своими знаками;

 

2) путём поворота осей на угол α

 

 

 

Ix′

= Ix cos2 α + I y sin2 α − Ixy sin 2α,

(10.21)

I y′

= Ix sin2 α + I y cos2 α + Ixy sin 2α,

(10.22)

I

′

′ = 0,5(I

x

− I

y

)sin 2α + I

xy

cos2α.

(10.23)

 

x y

 

 

 

 

 

41 10.4. Положение главных осей и величина главных моментов

инерции

Угол поворота одной из главных осей относительно оси Х можно найти по формуле

tg2α0

= −

2Ixy

.

(10.24)

Ix

− I y

 

 

 

 

Положительный угол α0 откладывается против часовой стрелки, а отрицательный – по ходу.

Значения главных моментов инерции IU, IV можно найти по формуле

I

= I

max,min

= Ix + I y ±

1

(I

x

− I

y

)2 + 4 I 2 .

(10.25)

U ,V

 

2

2

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ось максимумов всегда составляет меньший угол с той из осей (Х или Y), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение.

10.5. Последовательность (алгоритм) определения положения главных центральных осей инерции и величин главных центральных моментов инерции

10.5.1.В произвольной системе координат по формулам (10.11) и (10.12) определяем положение центра тяжести для составных (сложных) сечений, разбивая их на простые.

10.5.2.Через центр тяжести сечения проводим вспомогательные

центральные оси ХС и YC, параллельные осям системы координат простых фигур.

10.5.3.Затем по формулам (10.18), (10.19) и (10.20) определяем осевые и центробежные моменты относительно центральных осей ХС и YC.

10.5.4.По формуле (10.24) определяем угол α0, характеризующий положение главных центральных осей инерции, и по формуле (10.25) - величину главных центральных моментов инерции.

10.5.5.После вычисления величин IU и IV рекомендуется проверить соблюдение равенства:

IU + IV = I Xc + IYc,

(10.26)

Смотрите также файлы