Файл: И.А. Паначев Рабочая программа, контрольные работы и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения (сокращенные сроки обучения на базе среднего спец. образования).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.06.2024
Просмотров: 182
Скачиваний: 0
27
Задача № 9 В опасном сечении вала действует крутящий момент Мкр и изги-
бающий момент Мизг. Коэффициент асимметрии цикла R , материал
вала, тип концентратора и нормативный коэффициент запаса прочности даны в табл. 10. Определить диаметр вала из условия статической прочности и усталостной выносливости.
Таблица 10
№ |
Мизг, |
Мкр, |
n0 |
Rи |
Материал |
Тип концентратора |
Rкр |
стр |
КНм |
кНм |
|||||
1 |
4 |
2 |
2,95 |
0,5 |
Ст.35ХГТ |
I, a=0,12; K=1,35 |
0,9 |
2 |
4,5 |
2,1 |
1,8 |
1,5 |
Сталь 70 |
V (втулка) |
-0,8 |
3 |
4,6 |
2,2 |
2,55 |
-1,6 |
Ст.40ХГТ |
IV, напрессовка |
-0,7 |
4 |
4,7 |
2,3 |
3,45 |
0,4 |
Сталь 40 |
I, a=0,21; K=1,5 |
2,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3,5 |
2,4 |
2,75 |
-0,6 |
Сталь 55 |
III, b=0,1 |
-2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3,6 |
2,5 |
1,95 |
2,5 |
Ст.20ХН3А |
II, b=0,13 |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
3,4 |
3 |
3,25 |
-2,4 |
Ст.20ХГР |
V, без втулки |
-0,4 |
8 |
3,3 |
3,1 |
2,35 |
0,7 |
Сталь 30Г |
I, a=0,15; K=1,8 |
1,6 |
9 |
3,2 |
3,2 |
1,5 |
0,8 |
Ст.15Г2 |
III, b=0,25 |
-1,5 |
0 |
3 |
3,3 |
3,5 |
-0,9 |
Ст.30ХН3А |
IV, напрессовка |
-0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
б |
в |
г |
д |
е |
а |
28
8. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ
8.1. Виды напряжённого состояния Напряжённым состоянием в точке называют совокупность напря-
жений, действующих по возможным площадкам, проведённым через точку.
Для изучения напряжённого состояния в точке рассматривается элементарный параллелепипед dXхdYхdZ, вырезанный в окрестности этой точки. В зависимости от того, испытывает ли параллелепипед растяжение (сжатие) в одном, двух или трёх взаимно перпендикулярных направлениях, различают три вида напряжённого состояния: линейное или одноосное (рис. 8.1,а), плоское или двухосное (рис. 8.1,б), объёмное или трёхосное (рис. 8.1.в).
Рис.8.1.Виды напряжённого состояния, одноосное (а), двухосное (б), трёхосное (в)
8.2. Главные напряжения Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, назы-
ваются главными. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, достигают экстремальных значений и называются главными нормальными напряжениями. Они обозначаются σ1, σ2, σ3. Причём
σ1 > σ2 > σ3.
8.3. Плоское напряжённое состояние Плоским называется такое напряжённое состояние, при котором
напряжения на любой площадке параллельны одной и той же плоскости, при этом σ1 ≠ 0, σ2 ≠ 0, σ3 = 0 (см. рис. 8.1,б).
29
8.3.1. Свойство парности касательных напряжений Касательные напряжения, действующие на двух взаимно перпенди-
кулярных площадках, равны по величине и противоположны по знаку:
|
τх = −τ у. |
|
|
|
(8.1) |
||||
|
8.3.2. Главные напряжения |
|
|
||||||
σ1.2 |
= σ x +σ y ± |
|
1 |
(σ x −σ y)2 |
+4 τ 2x . |
(8.2) |
|||
2 |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
8.3.3. Направление главных площадок |
|
||||||||
|
|
tgα0 = − |
2τ y |
. |
(8.3) |
||||
|
|
σx −σ y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Положительное значение угла α0 откладываем против часовой стрелки, отрицательное – по часовой.
8.3.4. Экстремальные касательные напряжения действуют на площадках, наклонённых под углом 45˚ к главным площадкам:
τ |
max .min |
= ±1 |
(σ |
1 |
−σ |
3 |
). |
(8.4) |
|
2 |
|
|
|
|
Наибольшие и наименьшие касательные напряжения могут быть выражены через исходные напряжения
τ |
max .min |
= ±1 |
(σ |
x |
−σ |
y |
)2 +4 |
τ 2 |
(8.5) |
|
2 |
|
|
|
x |
|
8.3.5. Зависимости между напряжениями и деформациями в пределах упругости. Обобщённый закон Гука.
Компоненты упругой деформации через напряжения выражаются
так:
ε x = |
1 |
[σ x −µ (σ y +σ z)], |
|
|||
|
E |
|
||||
|
|
|
|
|
||
ε y = |
|
1 |
[σ y − µ (σ x +σ z)] |
(8.6) |
||
|
|
|||||
|
|
E |
|
|
||
εz = E1 [σ z −µ (σ x +σ y)].
8.3.6.Относительное изменение объёма
При упругой деформации объём большинства материалов увеличивается при растяжении и уменьшается при сжатии.
30
В общем случае напряжённого состояния относительное изменение объёма равно:
εv = |
1−2 µ |
(σ1 +σ 2 +σ 3). |
(8.7) |
|
E
8.3.7. Удельная потенциальная энергия упругой деформации Работа внешних сил при деформации переходит во внутреннюю
потенциальную энергию. Величина потенциальной энергии при упругой деформации зависит от конечной величины приложенных нагрузок.
Удельная потенциальная энергия деформации (в единице объёма) изотропного тела выражается следующим образом через главные на-
пряжения : |
1 |
[σ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)]. |
|
|
U = |
+σ 2 |
+σ 2 |
−2µ(σ |
1 |
σ |
2 |
+σ |
2 |
σ |
3 |
+σ |
3 |
σ |
(8.8) |
||||
|
||||||||||||||||||
|
2E |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.4. Пример Стальной кубик находится под действием сил (рис. 8.2), создающих
плоское напряжённое состояние (одно из трёх главных напряжений равно нулю). Требуется найти: 1) главные напряжения и направления главных площадок; 2) максимальные касательные напряжения, равные наибольшей полуразности главных напряжений; 3) относительные деформации εX, εY, εZ; 4) относительное изменение объёма; 5) удельную потенциальную энергию деформаций, если дано σX= 20 МПа,
σY= 40 МПа, τX= 30 МПа.
Рис.8.2.Схема нагружения элемента и положения главных площадок Решение
В соответствии с рис 8.2 имеем:
σX = -20 МПа, σY = 40 МПа, τX =- 30 МПа, τY = 30 МПа.
31 8.4.1. Находим главные напряжения :
σ |
|
= |
1 |
|
|
+σ |
|
+ |
(σ |
|
−σ |
|
2 |
+4τ |
2 |
|
= |
1 |
2 |
σ |
x |
y |
x |
y |
) |
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=21 ( −20 +40 + ( −20 −40 )2 +4( −30 )2 ) = 52,43 МПа,
σ3 = 21( −20 +40 − ( −20 −40 )2 +4( −30 )2 ) = −32,43 МПа,
Направления главных площадок : |
|
|
|
|
|
||||
tg2α0 |
= − |
|
2τ y |
= |
−2 |
30 |
=1 |
, |
|
σx −σ y |
−20 |
−40 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
2α0 = arctg1 = 45 o. |
|
|
||||||
|
|
α0 = 22 o30′. |
|
|
|
||||
Этот угол откладываем от вертикали (алгебраически большее из |
|||||||||
главных напряжений) против часовой стрелки и получаем направление σ1, направление σ3 перпендикулярно ему (см. рис. 8.2).
8.4.2. Находим максимальные касательные напряжения, которые будут действовать на площадках, наклонённых под углом 45º к главным
площадкам : |
|
σ1 −σ 3 |
|
|
52,43 −(−32,43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
τ max = |
= |
|
= |
42,43 МПа |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
8.4.3. Находим относительные деформации по формуле (8.6): |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
εx |
= |
|
1 |
|
( −20 −0,3 40 ) =16 10−5 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 105 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
εy = |
1 |
|
|
( −40 −0,3 ( −20 )) = 23 10−5 , |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 105 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εz = |
|
0,3 |
|
( −20 +40 ) = 3 10−5 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 105 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
8.4.4. Находим относительное изменение объёма: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
εv = |
1 − 2µ |
(σ1 +σ 2 + |
σ 3)= |
1 − 2 0,3 |
(53,43 + |
0 −32,43)= 4,2 10−5 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
8.4.5. Находим удельную потенциальную энергию деформаций: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
U = |
1 |
(σ |
1 |
2 +σ |
2 |
2 |
+σ |
3 |
2 −2µ(σ σ |
2 |
+σ |
2 |
σ |
3 |
+σ |
3 |
σ |
))= |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||
= |
1 |
|
(52,42 + |
(−32,43)2 −2 0,3(32,43 52,43))=12,05 10−3 МПа. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 2 105 |
|||||||||||||||||||||||||||||||