ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 935
Скачиваний: 3
|
§ 1. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ |
123 |
||
Выражая в |
уравнениях (2) |
при |
N — 1 старые |
переменные х, |
у, z через новые |
переменные х', |
у', z' |
при помощи формул (4)—(6), |
|
получаем |
|
|
|
|
(7,
где Fx-, Fy', |
FZ' — некоторые функции от |
новых координат х', |
у', |
||
z', новых скоростей х', |
у', |
г' и времени. По виду уравнения |
(7) |
||
существенно |
отличаются |
от |
уравнений |
(2) хотя бы потому, |
что |
уравнения (7) в отличие от (2) не разрешены алгебраически отно-
сительно старших |
производных. |
|
|
|
|
|
||||||||
Эти |
примеры |
поясняют понятие «ковариантная |
форма записи |
|||||||||||
уравнений |
движения», |
взеденное в |
гл. II: форма записи уравнений |
|||||||||||
называется |
ковариантной |
по |
отношению |
к некоторому |
семейству |
|||||||||
преобразований, если при |
любом преобразовании из этого |
семейства |
||||||||||||
форма |
записи уравнений |
не |
меняется, |
а меняются |
лишь содер- |
|||||||||
жащиеся в этой |
|
записи функции от |
новых (преобразованных) коор- |
|||||||||||
динат, |
первых производных и времени. |
|
|
|
|
|||||||||
|
Если иметь в виду преобразования вида (4), то этому опреде- |
|||||||||||||
лению |
удовлетворяют |
уравнения движения в форме (7) с соответ- |
||||||||||||
ствующим |
общим выражением функций Fx>, Fy>, Fz-. |
Однако такая |
||||||||||||
ковариантная форма уравнений движения неудобна, |
потому |
что |
||||||||||||
она |
содержит |
для |
каждой |
точки |
12 |
функций, меняющих |
свой |
|||||||
вид |
при преобразовании — ими являются функции /v, |
Fu>, Fz-, и |
||||||||||||
девять |
частных |
производных |
в правых |
частях уравнений (7), т. е. |
||||||||||
\2N |
функций |
для |
системы |
из N точек. Кроме того, функции, |
||||||||||
входящие в уравнения (7), лишены механического |
смысла. |
|
||||||||||||
|
Далее |
в этой |
главе будет |
введена более удобная |
запись урав- |
|||||||||
нений движения, ковариантная по отношению к произвольным
точечным преобразованиям1) |
вида (4). Эта запись для системы |
из N точек будет содержать |
только ЗЛ/ -|- 1 функций, меняющихся |
при преобразовании координат; выражения для этих функций сравнительно просты, и они имеют ясный механический смысл. Более того, в важном случае движения в произвольном потенциальном (в том числе и в нестационарном) поле уравнения, описывающие систему из N точек, будут содержать лишь одну такую функцию.
1) Преобразования называются точечными, если описывающие их формулы содержат только координаты точек и время и не содержат производных от координат и если время при этом не преобразуется. Случай, когда преобразуются не только координаты, но и время, будет рассмотрен далее (см. гл. VII).
124ГЛ IV КОВЛРИАНТНЛЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Для того чтобы в удобной форме получить эти уравнения, представим себе, что мы выбрали некоторую произвольную систему координат, т. е. выбрали три независимых числа таких, что они однозначно определяют положение точки в пространстве. В этих координатах положения N точек определяются 3N числами —
значениями |
координат |
всех |
точек. Сохраняя обозначения xh |
yh |
г( |
||||||
для |
декартовых |
координат, |
введем |
обозначения qlt |
qz,...,qn, |
||||||
где |
n = 3N, |
для |
новых |
координат (цилиндрических, |
сферических |
||||||
или каких-либо иных) |
и будем условно называть декартовы коор- |
||||||||||
динаты |
«старыми», а |
координаты |
qlt |
. . . , <7л —«новыми». |
Тогда |
||||||
в силу |
того, |
что новые |
координаты |
полностью определяют |
поло- |
||||||
жение всех точек системы, декартовы координаты точек являются функциями новых координат и, быть может, времени:
|
|
|
|
••-, ЧгГ,t), |
|
(8) |
|
|
|
|
••-.?»; 0 . |
|
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rt = r,(qlt |
. . . , qn; t). |
|
(9) |
Назовем |
преобразование (8) стационарным*), |
если все функ- |
||||
ции ftJ |
цц, ify |
не зависят явно |
от /. |
|
|
|
Дифференцируя |
выражения |
(8) с учетом |
того, |
что ^ — незави- |
||
симые |
переменные, |
получаем |
соотношения |
между дифференциа- |
||
лами |
старых |
и новых координат |
|
|
||
^dq,, |
(10) |
( i = l , 2 , . . . , N).
J ) В терминах, использованных в гл. I, не зависящие явно от времени (стационарные) преобразования координат означают переход от одной системы координат к другой в пределах той же «геометрической твердой среды»; зависящие явно от времени преобразования означают переход к некоторой системе координат, выбранной в другой «геометрической твердой среде», движущейся относительно «старой» среды.
§ 1 ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ |
125 |
ИЛИ
|
/ = |
1 |
|
(/=1, 2, .... tf). |
|
Введем |
в рассмотрение два знака дифференциала, обозначая |
|
их буквами |
d и б. Символ d будет |
испочьзоваться для обозна- |
чения обычного, общепринятого дифференциала; под операцией же вычисления &F(q,, ..., qn, t) понимается вычисление дифференциала функции F при предположении, чго t, явно содержащееся под знаком функции F, заменено константой, т. е.
6F= dF-(dF/dt)dt.
Таким образом, в соответствии с формулой (8)
Вслучае, когда преобразование стационарно, формулы (10) и
(12)совпадают.
Для |
независимых |
переменных |
символы d и б имеют один |
||||
и тот же смысл; поэтому далее |
в этой книге для дифференциалов |
||||||
независимых |
переменных |
qt, t |
и т. д. будут использоваться как |
||||
обозначения |
dqn |
dt |
и т. |
д., |
так |
и обозначения bqt, Ы и т. д. |
|
Хотя |
в системах, |
которые мы сейчас рассматриваем, п может |
|||||
быть равно лишь 3N, мы нигде далее в этой главе этим обстоятельством пользоваться не будем. Это позволит в конце главы сделать важное обобщение полученной ковариантной формы уравнений движения на системы с механическими связями. Имея в виду такое обобщение, мы будем считать, что п не обязательно равно ЗЛ^,
а удовлетворяет неравенству |
n^SN, |
причем если n<3iV, то |
среди 37V функций //, ф;, ify |
(t = l, ..., |
W) содержится по край- |
ней мере п независимых функций. Поскольку неравенство n^3N нестрогое (равенство допускается), все дальнейшие рассуждения относятся к интересующему нас сейчас случаю перехода от декартовых к «новым» координатам для системы без механических связей.
126 ГЛ IV КОВАРИАНТНЛЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Для упрощения записи условимся далее везде, где это не
п
может вызвать недоразумений, в суммах вида J, пределы сум-
п
мирования опускать, т. е. вместо У "^~^Я) писать просто У gJ^<7/.
/= i
§2. Вывод уравнений Лагранжа
Прежде чем приступить к выводу ковариантной записи уравнений движения— уравнений Лагранжа, получим два вспомогательных равенства.
Дифференцируя равенство (9) по t, получаем
Рассматривая q, как независимые переменные и дифференцируя по ним равенство (13), получаем первое вспомогательное соотношение
* L = * L |
( / - 1 . 2 , . . . . п). |
(14) |
Обратимся снова к формуле (13) и выпишем частную производную от левой и правой части этого равенства по qk
|
|
|
|
у |
&п |
• |
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
Ldq,dqk |
|
|
|
|
В |
силу |
формулы |
(9) частная |
производная от радиуса-вектора |
||||
по qk |
также |
является |
функцией |
всех |
«новых» координат <7i.•••>qk |
|||
и t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь |
полную производную |
по времени от этой |
||||||
частной производной — - : |
|
|
|
|
||||
|
|
dt |
dqk |
Zi dq, dqk Q> |
h dt dqk |
' |
||
Правые части формул (15) и (16) совпадают; следовательно, должны совпадать и левые их части:
дщ |
_ d |
дг, |
,._, |
„ , |
(17) |
dqk |
dt |
dqk |
|
|
|
|
|
|
Формула (17) и является вторым искомым вспомогательным соотношением.
Приступим теперь к выводу уравнений Лагранжа. Если «старая» система отсчета с декартовыми координатами х, у, г инер-
§ 2 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА |
127 |
циальна, то в ней верен второй закон Ньютона в его обычной записи
Выразим, используя соотношение (13), все ©,• через новые координаты, их производные и время, подставим полученные функции Vt(q, q, t) в равенства (18), скалярно умножим каждое 1-еиз этих равенств на частную производную dri/dq/ и сложим результаты:
dt dq,
Полагая |
j—l, |
2, ..., |
n, можно |
выписать п таких |
равенств. |
||
Обозначим |
через |
Qj |
скалярные функции в |
правых |
частях |
||
равенств |
(19): |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
r |
^ i |
(/ = 1.2,..., л). |
(20) |
|
Механический смысл функций Q/ будет выяснен далее. Левые части равенств (19) запишем так:
1=1 |
С=\ |
Воспользовавшись этой записью и полученными выше вспомогательными соотношениями (14) и (17), перепишем равенства (19) в следующем виде:
• |
1 л |
ч |
• 2 > • • • • " ) >
или
d д
В этих равенствах сумма
128 |
ГЛ IV КОВАРИЛНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ |
совпадает с выражением для кинетической энергии Т системы, записанной в «новых» координатах Поэтому окончательно получаем
|
|
|
|
dt |
|
|
дц, |
|
|
( 7 = 1 . |
|
|
|
|
(22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Левые |
части |
уравнений (22) и их ЕЫВОД СХОДНЫ Справыми частями |
||||||||||||||
равенств (17) |
из |
гл. |
|
I и их выводом. Это сходство не |
случайно. |
|||||||||||
Оно |
связано со следующей |
интерпретацией уравнений |
(22). |
|
|
|||||||||||
Введем |
в |
рассмотрение |
|
ЗЛ^-мерное |
пространство |
xt, |
y{, |
z, |
||||||||
(t = |
l, |
... , |
N). Каждому положению системы из N |
точек |
соответ- |
|||||||||||
ствует одна точка в этом ЗЛ/-мерном пространстве. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если в равенстве (9) зафиксировать все qj, кроме какой-либо |
||||||||||||||||
одной |
координаты qf, |
и изменять |
эту выделенную координату |
q*, |
||||||||||||
то в |
рассматриваемой |
точке |
|
ЗЛ^-мерного |
пространства |
будет |
по- |
|||||||||
строена (7*-кривая, а касательная к ней |
будет осью |
q*. |
Действуя |
|||||||||||||
совершенно так |
же, |
как и в гл. I для трехмерного |
пространства, |
|||||||||||||
можно |
теперь |
с |
каждой точкой ЗМ-мерного пространства связать п |
|||||||||||||
осей qj. |
Дословно повторяя вывод из гл. I (стр. 19, 20), можно полу- |
|||||||||||||||
чить |
вновь |
формулу |
(17) из |
гл. |
I, но теперь в ней надо индекс г |
|||||||||||
всюду |
заменить |
на |
/, |
при определении v2 |
= v • i) считать v |
ЗА/-мер- |
||||||||||
ным |
вектором v = |
|
а |
в |
коэффициентах Ламе Hi — |
дц, |
счи- |
|||||||||
тать |
г |
ЗЛ/-мерным |
вектором, |
г = |
= . |
Формула |
(17) |
из гл. |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' N |
|
|
|
71- |
||
определяет |
тогда проекции ЗЛ/-мерного вектора ускорения |
|||||||||||||||
на ось qt для этого ЗЛ/-мерного случая.
f \, |
|
|
|
Если представить второй закон Ньютона |
в |
ной |
записи |
N |
|
|
|
дг |
/I |
дг |
|
и, умножив его скалярно на орт т, ~~dq,I |
\ |
дц,оси qf, |
спроек- |
тировать его на ось qjt то, воспользовавшись указанным выше обобщением формулы (17) гл. I, легко получить уравнения (22). В этом смысле уравнения (22) представляют собой просто запись второго закона Ньютона в проекциях на оси qj.