Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 970

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

§ 6. ТЕОРЕМА ЭММЫ НЁТЕР

289

Таким образом, если выполнены условия теоремы

Нётер, то

интеграл (72) можно записать следующим

образом:

 

/ =

$ L{q*, dq*ldt*, t*)dt*.

(74)

Рассмотрим теперь

интеграл (74) как

функционал, заданный

на однопараметрическом семействе

кривых

q* (t*, а). В равенстве

(74) левая часть не

зависит от

а. Это

очевидно, так как при

замене переменной интегрирования значение определенного интег-

рала

не меняется. Поэтому в рассматриваемом

случае

интеграл

(74)

имеет одно и то же значение на всех кривых из семейства

q* (t*, а) и, следовательно, при всех а

 

 

 

 

6/ = 0.

 

 

Интеграл (74) имеет

вид действия по Гамильтону, заданного

на однопараметрическом

семействе кривых, и

поэтому

можно

воспользоваться общей формулой (60) для вариации действия б/. В силу (60) имеем

 

 

(75)

Равенство (75) верно

при любом а, но мы воспользуемся им

лишь при а = 0.

В силу

условия 1° при а = 0 равенства (66)

превращаются в

тождества, т. е. q*(t*, 0) зависит от t* точно

так же, как q (t)

зависит

от t. Но q (t)—прямой путь и нанем

t

ldt)

UU

(l

~

П)

-

~did(dq

d^~

 

 

Следовательно, при а = 0 обращаются в нуль и все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формулах (75).

Поэтому

 

 

{ (2 Pi 6<7/- Я* Ы*)рДа_о

=0.

(76)

Напомним, что сначала надо подставить

пределы t*(d)

и t% (a)

в q*(t*, a), a затем выполнить операции б, т. е. дифференцирования по параметру. Но при а = 0

и в соответствии с формулами

преобразования (66)

<7*(Ма), a) = ((,f(q(t1), tlt а),

qf(to{a)s а) = <(/{q(tQ), t0, а).

10 М. А Айзерман

290 ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Поэтому

Щ (tf (а), а) =

да>. [а ил, tlt

a)

da,

^

 

& ( А ( ) 0

d

Учитывая при подстановке пределов эти равенства и тот факт, что (pJ)a-o = P/>a **(0) = ^i и ^о(0) = ^о' после сокращения на независимое приращение da из равенства (76) получаем

где верхний индекс указывает, берется ли соответствующая функ-

ция при t = t0 или t = tt.

Вспомним, что прямой путь и точки t0 и t1 на нем были выбраны произвольно. Отсюда следует, что функция (69) вообще не меняется вдоль кривой g(t), т. е. на любом прямом пути.

Теорема Эммы Нётер доказана.

Покажем теперь, как, используя только теорему Нётер, можно получить все законы сохранения (первые интегралы), которые были установлены выше из иных соображений.

З а к о н с о х р а н е н и я м е х а н и ч е с к о й

э н е р г и и для

к о н с е р в а т и в н о й системы . Рассмотрим

консервативную

(или обобщенно консервативную) систему. В качестве семейства преобразований (66) возьмем «сдвиг по времени»:

<7f = <7/ 0 = 1 . . . . . л); t* = t + a .

(78)

Непосредственно видно, что преобразование (78) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Лагранжиан (так же как и гамильтониан) консервативной системы не зависит явно от времени, a dt*—dt, т. е. функция dty/dt* в данном случае равна единице. Поэтому преобразование (66) заведомо не меняет вид лагранжиана (и, разумеется, гамильтониана) и из теоремы Нётер следует, что консервативная система должна иметь первый интеграл вида (69). Но в данном случае все функции <ру в силу преобразования (78) тождественно равны ду, т. е. не зависят от а, и, следовательно, производные от них по параметру а равны нулю, а д\1р/да=1 и формула (69) принимает вид

—Ф = Н = const.

Таким образом, из теоремы Нётер следует, что при движении обобщенно консервативной системы ее обобщенная энергия И не меняется. При движении же консервативной системы H —T-^-V и не меняется ее полная механическая энергия.

 

 

 

§ 6 ТЕОРЕМА ЭММЫ НЁТЕР

 

 

 

291

З а к о н с о х р а н е н и я и м п у л ь с а д л я

ц и к л и ч е с к и х

к о о р д и н а т .

Рассмотрим теперь

систему

с

циклической коор-

динатой <7Х и покажем, что импульс, соответствующий

цикли-

ческой координате,

не

меняется.

Для

этого

используем

«сдвиг

по циклической

координате»:

 

 

 

 

 

 

 

ql = <7i+ «,

 

q] = qj

(/ = 2, ... ,

л);

/* = t.

(79)

Непосредственно

видно,

что

это

преобразование

удовлетворяет

условиям 1°

и

2°.

Лагранжиан

(а

значит,

и

гамильтониан)

системы не зависит от циклических координат, и следовательно,

вид

этих

функций

не меняется

при преобразовании (79). Следо-

вательно,

в силу

теоремы

Нётер имеет

место

первый

интеграл

вида

(69).

Но

при

преобразовании

(79)

З ф 1 / 5 а = 1 ,

остальные

дфу/да = 0

(/ = 2 , . . . ,

п) и

dty/da = Q. Следовательно,

в данном

случае формула

(69)

принимает

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф = р1

= const.

 

 

 

Далее

мы получим два закона сохранения,

имеющие место

при

рассмотрении

замкнутых систем.

В

связи

с этим сделаем

следующее общее замечание. Требование замкнутости системы означает, что все силы, действующие на материальные точки

системы,

зависят лишь от

взаимного

расположения точек

и рас-

стояний между ними. В связи

с

этим

любые преобразования

координат, сохраняющие взаимное расположение точек и расстоя-

ния между ними, не изменяют

уравнения

движения,

т. е. не

меняют

вид лагранжиана.

 

 

 

 

 

 

 

 

З а к о н с о х р а н е н и я к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я

д л я

з а м к н у т ы х

 

с и с т е м .

Рассмотрим

теперь

замкнутую

систему,

движущуюся

в

потенциальном

поле. В

качестве

обобщенных

координат примем декартовы координаты точек и применим «сдвиг

вдоль одной

из

осей координат»,

например

вдоль оси

х:

 

 

xf

= Xi + a , tf! = y

h

z t = Zi 0 = 1 , 2 , . . . , N); t* =

(здесь

N — число точек

системы).

В связи с тем, что при сдвиге начала координат вдоль какойлибо оси расстояние между точками системы не меняется, не

меняется

и потенциальная

энергия системы, а значит, и функция

Лагранжа. Очевидно,

преобразование (80) удовлетворяет

условиям

1° и 2°.

Таким

образом,

все условия, которые теорема Нётер

накладывает

на

однопараметрическое

семейство

преобразований,

выполнены.

В

силу

этой теоремы имеет место

первый

интеграл

(69).

В

данном

случае все dq>i/da для

координат у

и

г, так же

как и dip/da, равны нулю,

а

функции ф; для координат х таковы,

что

d<Pi/d<x=l. Поэтому

в

формуле

(69) член,

содержащий

гамильтониан, обращается

в

нуль, а оставшаяся в

правой части

10*

292

ГЛ. VII. ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

сумма равна

но dLjdXi = triiXi, и поэтому первый интеграл (69) имеет вид

N

 

ф = ^ тА = 0.x = const.

(81)

Равенство (81) есть не что иное, как закон сохранения количества движения в проекции на ось х.

Совершенно аналогично, используя преобразования типа (80) для сдвига не вдоль оси х, а вдоль осей у я г, устанавливаем сохранение проекций количества движения на оси у и z соответственно. Таким образом, закон сохранения количества движения при движении замкнутой системы в потенциальном поле полностью доказан.

З а к о н с о х р а н е н и я

к и н е т и ч е с к о г о момента дл я

з а м к н у т о й

системы. Вновь рассмотрим замкнутую систему,

движущуюся

в потенциальном поле, которое получается в резуль-

тате взаимодействия точек

системы. Как и ранее, в качестве

обобщенных координат примем декартовы координаты точек и рассмотрим преобразование поворота системы координат вокруг, например, оси г:

х*—Xicosос + yi sin а,

 

 

у*—— X(Sina-f-f/(<:osa,

(82)

zf = z (i = \, 2 , . . . ,

N),

t* = t.

Непосредственно видно, что преобразование (82) удовлетворяет условию 1°, т. е. при а = 0 превращается в тождественное преобразование. Легко проверить, что оноудовлетворяет и условию 2°, т. е. что система уравнений (82) разрешима относительно «старых» координат, ибо определитель этой системы равен cos2a-f- sin2 a =

= 1=^0. При повороте

системы координат взаимное расположе-

ние и расстояние между

точками системы не меняются, и следо-

вательно, не меняется

потенциальное поле, а значит, не меняется

и L. Таким образом,

в силу теоремы Нётер и в этом случае

имеет место первый интеграл (69). В случае преобразования (82) для координат xt всех точек системы имеет место соотношение

f]»-о = [~Х' 5[па +У' c o s a ]«-o = У1-

Аналогично для всех координат yt

Смотрите также файлы