Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

284

ГЛ

VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

П р и м е р

1.

Рассмотрим

движение

материальной

точки

по

инерции на сфере (рис. VI 1.3);

известно, что траекториями

такого

движения

всегда служат дуги

больших

кругов. Выберем на сфере

произвольную

точку

А

и отметим диаметрально

противоположную

ей

точку

А'.

Через

точку

А и любую

иную

точку В

сферы,

не

совпадающую

с

А',

можно

провести

лишь один боль-

шой

круг, а через точки А и А' —

бесконечное

множество

больших

кру-

гов.

В

качестве

обобщенных

координат

возьмем

углы

ср

и

о|)— «долготу»

и

«широту». В расширенном

координатном

пространстве

ср, г|5,

t

отметим

в

момент

Рис. VII.3.

А) координаты

/0,

ерд,

$А

точки

А.

Будем

считать

далее,

что

в

момент

t0

материальной

точке

придана

на-

чальная

скорость

v0

и

что

в

момент

to-\-T

материальная

точка впервые

достигает точки А' с координатами to-\-T, (рд-, г|;д'.

Отметим

в

расширенном

координатном

пространстве

точки

(t0,

Фд,

•фд), (to + T,

фл-, г Ы .

('о-Ь27\

Фд, •фл), (to

+ 3T, ц>А', орд-)

и т. д.

Если

изменять

направление начальной

скорости

г»0, со-

храняя

ее величину, то в расширенном

координатном

простран-

стве

будет

определено

множество

прямых

путей,

проходящих

через все эти точки. Через

любую иную

точку

расширенного

координатного

пространства'

проходит

лишь

один

из

прямых

путей.

Теперь

непосредственно

видно,

что

точка

tn-\-T,

фд<, \рА> яв-

ляется

кинетическим фокусом

для

точки

t0,

ц>А, tyA.

Обратимся

вновь

к

рис. VI 1.3.

Из точки

А

в точку В ведут

два

прямых

пути — по

меньшей и

по

большей

дугам

большого

круга; выбор одного из них определяется направлением

началь-

ной скорости. Путь по меньшей

дуге не проходит через точку

А',

и на этом пути действие

по

Гамильтону достигает

минимума;

путь по большей дуге проходит через

кинетический фокус А', и

на этом

пути

действие

также

достигает

стационарного

значения,

но уже

не минимально.

П р и м е р

2.

Рассмотрим

линейный осциллятор, т. е. линей-

ную

колебательную

систему

с одной

степенью

свободы,

описы-

ваемую

уравнением

Если

в момент ^= 0

положить

д(0) = 0,

то

все возможные

пути q(t),

отличающиеся

значением начальной

скорости

сЦО),

пересекаются в моменты t = T/2,T,

3772, . . . ,

где

Т = 2л

Уа/с~

5 ВЛРИЛ11И0ННЫП ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА

285

период

колебаний

(рис.

VI 1.4).

Поэтому

точка

<7= 0,

t =

является кинетическим фокусом для

начальной точки q — О, /= 0;

если

прямой путь

выбирается,

исходя из краевых

условий q = 0,

( = 0

и

<7= <7'>O, ?= ^ < 7 7 2 ,

тоназтом

пути действие минимально (по сравнению

с окольными

путями);

если

же прямой

путь

определяется

краевыми

условиями

<7= 0, /= 0 и ?

= ^ < 0 ,

t =

tl,T/2<tl<

<Т,

ТО по-прежнему

прямой

путь

явля-

ется

единственным,

по-прежнему

на этом

пути

действие

достигает

стационарного

значения, но уже не минимума.

Этот

пример

легко

обобщить.

Рас-

Р и с -

VI 1.4.

смотрим малые колебания консервативной

системы, имеющей п степеней свободы, около положения

ус-

тойчивого равновесия. В

гл. VI

было показано,

что при движе-

нии

такой системы

<?= 2

Afv, sin со//+ 2 3/V/ cos со;/,

где Vy — амплитудные

векторы.

Рассмотрим два несовпадающих прямых пути, ведущих из

точки (q0, t0) в точку (qu

^). Этим двум прямым путям соответ-

ствуют

два несовпадающих

набора

чисел {А), В}}

и {А)1,

В}1}:

qi

— 2

Л/V/ sin со// +

£ В\\) cos (o,t,

Из условия

QU

= L АУ*1 s i n

<*>/* + X fi/4 cos d»,t.

получаем

ql(t0)

=

qlHio),

^ A)vf

sin co//0 + ^

B)vf COS «//о = S

^ " v / s i n

ш/^о+ 2

B)\/

cos со/^,

или

£ v, [(A) -

Л1/) sin co//o+ (B/ - B)1) cos co,/0] == 0.

Амплитудные

векторы

линейно независимы; поэтому все выра-

жения в квадратных скобках должны быть равны нулю:

(Л} — Л}1) sin со,/0 -г-(В^ —В'1) cos CD/^O= 0

(/=1

я).

Аналогично изусловия

получаем

II)

( 1

I ) ^ 1

- * 0

(/= 1, ...,

п).

Итак,

мы получили систему

из 2п уравнений

относительно

А\-А\[

и В)-ВУ (/ = 1, ...,

п). Пусть А) = А)1

и в ; = В ) '

288

ГЛ VII

ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

В

силу первого

условия,

т. е.

в силу

формул (67), пара-

метру

а = 0 соответствует

исходная

кривая, т. е. при а = 0

=

<?/('*)

(/ = 1

я).

|

, к, а]|

( / = 1 , -.., п), J и

( / = 1 , . . . . я), J

(71)

Примем

в

качестве

кривой

q(t)

отрезок

от t = t0

до t = tt

прямого пути

системы с лагранжианом L.

Рассмотрим

действие

по Гамильтону

на этом пути:

, q(t), t\dt.

(72)

Заменив

в

интеграле (72)

переменную

t

на /*,

получим

(см. стр. 281)

/ =

L*(q*,

dq*/dl*, t*)dt*,

где функция L* строится по формуле (64).

С учетом новых обо-

значений (см. условие

2°):

L* = L($, dqydijj,

y)d$/dt*.

(73)