Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

С другой стороны, dLjdxi = ml}ci и dL/di/г = т(г/г и поэтому в данном случае

Ф = V (tniXiyt — lUiyiXi) = Кг = COnst,

т.е. проекция кинетического момента на ось z сохраняется. Совершенно аналогично, рассматривая поворот системы коор-

динат вокруг осей х и у, устанавливаем сохранение во время движения проекций кинетического момента на оси х и у соответственно, т. е. полностью доказываем закон сохранения кинетического момента для замкнутой системы, движущейся в потенциальном поле.

Таким образом, для случая движения в потенциальных полях мы получили из теоремы Нётер все законы сохранения, которые были рассмотрены выше. Теорема Нётер вскрыла природу их возникновения, связанную с инвариантностью уравнений движения при различных преобразованиях координат и времени. Закон сохранения энергии является следствием инвариантности уравнений консервативной системы при сдвиге вдоль оси времени, закон

осей координат, а закон сохранения кинетического момента — результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к поворотам вокруг осей координат.

Теорема Нётер может быть использована и в тех частных случаях, когда удается найти иные преобразования, сохраняющие лагранжиан.

§7. Интегральные инварианты

В§ 5 были рассмотрены некоторые общие свойства прямого пути, отличающие его от прочих путей. В развитии такого подхода в этом параграфе будут рассматриваться некоторые общие свойства множества прямых путей. Все прямые пути этого множества принадлежат одной и той же динамической системе и отличаются один от другого выбором начальных данных.

Интегральным инвариантом называется интегральное выражение, зависящее от координат и импульсов и сохраняющееся неизменным на некоторым образом выделенных множествах прямых путей. Различные интегральные инварианты отличаются один от другого тем, какие множества прямых путей рассматриваются и как формулируются интегральные свойства, неизменные на этих множествах. Из интегральных инвариантов классической механики в этом параграфе будут рассмотрены лишь три: интегральный инвариант Пуанкаре —Картана, универсальный интегральный инвариант Пуанкаре и инвариант «фазовый объем».

294ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

1.Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Рассмотрим динамическую систему, движущуюся в потенциальном поле и

имеющую гамильтониан Н. В (2п -'г1)-мерном расширенном фазовом пространстве q, р, t этой системы выберем произвольный замкнутый несамопересекающийся контур С„ и выберем какуюлибо точку на этом контуре, скажем, точку А. Эта точка пол-

сматриваемом расширенном фазовом пространстве. Теперь возьмем

за начальную точку другую точку контура Со и тоже «выпустим» из нее прямой путь. Выполнив это построение для всех точек контура Со, получим множество прямых путей. Это множество образует трубку, составленную из прямых путей (рис. VII.6), короче гово-

точка в расширенном координатном пространстве. Разумеется, это преобразование не взаимно однозначно — различным точкам расширенного фазового пространства, которые отличаются лишь значениями импульсов р, будет соответствовать одна и та же точка расширенного координатного пространства.

Итак, контур Со и построенная выше трубка прямых путей отображаются из расширенного фазового пространства в расши-

поскольку значениям а = 0 и а = 1, как уже было указано, соответствует одна и та же кривая семейства, а значит, одно и то же значение функционала /. Интегралы в правой части равенства (84) представляют собой контурные интегралы по контурам Со и Сх соответственно. Поэтому равенства (84) можно переписать так:

С,

Вспомним теперь, что исходный контур Со и контур на трубке прямых путей С1 были выбраны совершенно произвольно. Отсюда сразу получаем, что контурный интеграл

(85)

взятый по любому контуру С, охватывающему трубку прямых путей, не зависит от выбора этого контура.

Интеграл (85) называют интегральным инвариантом Пуанкаре — Картана.

Обратим теперь внимание на следующую особенность интегрального инварианта Пуанкаре —Картана. Если вдифференциаль-

и разрешим второе из этих равенств относительно какого-либо импульса, например рг:

х) Для консервативных систем, когда гамильтониан совпадает с полной энергией, это означало бы, что в качестве «импульса, соответствующего координате U, берется полная энергия с обратным знаком.

Тогда интегральный инвариант (85) может быть представлен в форме

•] Pi dqf — К dqA = comi,

которая внешне совпадает с формой интегрального инварианта Пуанкаре — Картана (85), только здесь выбранная координата qx и время «поменялись местами». Роль гамильтониана в этом случае играет функция К. Таким образом, и в пределах классической механики можно устранить исключительность времени и записать уравнения движения так, что роль времени играет любая из координат. Это представление уравнения движения оказывается иногда удобным (например, для консервативных систем) и будет использовано в последнем параграфе этой главы.

чаются сечением этой трубки гиперплоскостями £=const (рис. VI 1.8).

Пуанкаре—Картана, рассматриваемый только на «одновременных» контурах, имеет вид

Особенность интегрального инварианта, взятого в такой форме, состоит в том, что в подынтегральное выражение уже не входит гамильтониан, и следовательно, этот интегральный инвариант оказывается одинаковым для всех динамических систем, движущихся в произвольных потенциальных полях. Последнее утверждение имеет следующий смысл. Рассмотрим какой-либо контур, лежащий