Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 980

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 10 ДВИЖЕНИЯ В СТАЦИОНАРНОМ ПОЛЕ

337

В соответствии с формулами (156) находим

 

 

 

(1 6 4 )

= — \

f- \

...

, (loo)

J 2 V a 2 —af/sm2266

J

2 |/ 2ma3

+ 2my/r — a2 /r2

 

 

 

(166)

Всегда можно выбрать координаты так, чтобы начальная скорость лежала в меридиональной плоскости, т.е. чтобы dty/dQ = 0. Но тогда из формулы (164) следует, что at = 0, т е. что г|з = = —Pj = const и что движение плоское. Полагая 1/г= х, получаем из формулы (165) при ах = 0

i dx

J

где с —2та3/аг и & = ту/а2. Несложные вычисления приводят к равенству

arccos ^ ~ = 8+ р\

где р = п/2 -f- 2p2 У<х2. Таким образом,

или

 

1 а2

-. /", . с

щ Г,

. 2а2«з

где р=т

= ^ - ,

е= у 1 + _

= у

1 + ^ ф ^ . и мы приходим

к уравнению конических сечений в полярных координатах г, 9

(см. § 7

гл. III).

 

 

 

12 М. А. Айзерман

П р и л о ж е н и е

ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

ИЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В МЕХАНИКЕ

§1. Введение

Вмеханике приходится иметь дело с векторными объектами: скоростями, ускорениями, силами и т. д. При этом часто оказы-

вается удобным иметь дело не с отдельными векторами порознь,

а сразу

рассматривать и преобразовывать некоторое

множество

(систему)

векторов. Так, например, совокупность всех

сил, дей-

ствующих

на твердое тело, удобно рассматривать и преобразовы-

вать

как

некий единый объект —множество векторов, изображаю-

щих

эти силы.

 

В связи с задачами такого рода оказывается необходимым дополнить обычные законы векторной алгебры некоторыми новыми законами, связанными с преобразованием множеств (систем) векторов. Установление таких законов невозможно без некоторых ограничений на рассматриваемые множества. Эти ограничения должны быть достаточно широкими для того, чтобы охватить некоторые важные множества векторов, возникающие в задачах механики и достаточно жесткие для того, чтобы для выделяемого ими класса множеств можно было бы установить общие содержательные закономерности. Введение таких ограничений связано с понятием об эквивалентности двух различных множеств векторов.

Однако прежде чем ввести понятие об эквивалентности двух множеств векторов, мы в § 2 введем в рассмотрение две векторные характеристики —главный вектор и главный момент системы, — которые имеют смысл для любого множества векторов. Далее в § 3 дается определение эквивалентности систем векторов, и тем самым выделяется интересующий нас класс таких множеств. Наконец, в § 4 устанавливаются основные свойства множеств векторов выделенного класса.

Последний параграф посвящен приложениям полученных результатов к задачам механики.

§2. Главный вектор и главный момент системы векторов

Вэтом параграфе, говоря о векторе, мы имеем в виду обычное определение вектора как направленного отрезка, заданного длиной, направлением и точкой приложения. Любое число векто-

 

 

 

2 ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР II ГЛ \ВНЫЙ МОМЕНТ

 

339

ров,

приложенных

к разным

точкам пространства

или к одной

его

точке,

образует

множество

или систему векторов.

 

Рассмотрим произвольное множество (систему) векторов {F\ =

— \Flt

F2,

••• , Fn\.

Выберем произвольную точку

О и приложим

к этой

точке п векторов Fl, Ft, ... , Fn так, чтобы

каждый век-

тор

FT по величине был равен

F,,

параллелен

ему и направлен

в ту же

сторону.

Сложим эти векторы по обычным правилам

векторной

алгебры

(попарно, по правилу

параллелограмма), т. е.

построим

вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Легко

видеть, что при

изменении точки О построенный так

вектор

R —главный вектор

системы

векторов

{/•"} — как бы пере-

носится

в новую точку О:

параллельно

самому

себе (рис П.1).

 

 

 

 

 

 

 

В

этом

смысле

вектор R

 

 

 

 

 

 

 

не

зависит от выбора точ-

 

 

 

 

 

 

 

ки О и полностью опреде-

 

 

 

 

 

 

 

ляется

заданной

системой

 

 

 

 

 

 

 

векторов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим теперь век-

 

 

 

 

 

 

 

тор F,

из

системы {/"}.

 

 

 

 

 

 

 

Выберем

произвольно две

 

Рис П 1

 

 

 

 

Рис П2.

 

точки: точку А на линии

действия

вектора Ft и точку О вне этой

линии

(рис. П.2). Пусть

гА — радиус-вектор,

проведенный из

точки

О к точке А.

Рассмотрим

вектор,

определяемый

вектор-

ным произведением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тп (F,)= rAxF,.

 

 

 

Модуль этого вектора

ранен

 

 

 

 

 

(F,)

•=| F, 11гА

| sin аА

= <F

pni,

 

где poi —расстояние

от

точки О

до линии действия вектора Ft

(рис. П.2), т. е. удвоенной

площади треугольника ВОС, построен-

ного на векторе Ft

как

на основании

и имеющего

вершину

12*

 

 

 

 

 

 

 

 

340

ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

 

в точке

О. Вектор

т 0 (/"";) направлен перпендикулярно плоскости,

проходящей через

точку О и линию действия

вектора Ft, так,

что из конца вектора

mo(Fi)

поворот

вектора rt

на меньший

 

 

 

угол до совмещения

с

Fi представляется

 

 

 

происходящим против

 

вращения

часовой

 

 

 

стрелки

(рис. П.З).

 

 

 

 

 

 

 

 

Так

определенный

вектор т0

(/%•) со-

 

 

 

вершенно

не зависит

от выбора

точки

 

 

 

А — она

играла

лишь

 

вспомогательную

 

 

 

роль —и зависит

лишь

от

вектора Ft и

 

 

 

от

выбора

точки О.

 

 

 

 

 

Рис. П.З,

 

 

Точка

О называется полюсом, а вектор

 

то

{Fi)— моментом вектора Fi относитель-

 

 

 

но полюсаО.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим теперь

моменты всех векто-

ров системы {F} относительно

некоторого

полюса О, сложим их

по обычным правилам сложения векторов:

 

 

 

 

 

 

 

 

Л10 =

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор Жо называется

главным моментом системы {F} отно-

сительно

полюса

О.

Главный

 

момент — вектор,

приложенный

в точке

О; он зависит

не только от системы

векторов

{F}, но

и от выбора полюса О.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Естественно возникает вопрос: какизменяется главный момент

системы Мо при

изменении полюса 0? Ответ на этот вопрос дает

Т е о р е м а 1

(теорема о переносе полюса). Главный момент

системы векторов относительно нового полюса О' равен сумме перенесенного в новыйполюс главного момента системы,подсчитанного относительно старого полюса О, и момента главного вектора системы относительно нового полюса О' в предположении, что главный

вектор R приложен встаром полюсе:

 

 

 

 

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмот-

рим

вектор

Fi из системы

векто-

ров

{F} и

выберем

произвольно

два

полюса О и О', а

также

точ-

ку АГ на линии действия вектора Ft

(рис. П.4). Из построения следует, что Г; —/*г-{-О'О, где О'О — вектор, проведенный из О' к О.

По определению

§ 2 ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ

341

Подставим сюда выражение для г\:

= (r, +W6) xFi = riXFi + 0'Ъх Ft.

Просуммируем теперь полученные равенства по всем векторам

из \F}:

 

£ = 1

( = 1

 

 

 

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ ] ^ ,

(3)

где

векторное произведение

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

О'Ох 2

Fi =

mo{Ro)

 

есть

момент относительно О'

вектора /?, приложенного в О. Век-

тор

/Ио'(Я) приложен в точке О'.

Поэтому для выполнения опе-

рации сложения векторов, определяемого формулой (3), вектор Мо должен быть перенесен в О'. Теорема доказана.

Из теоремы 1 сразу вытекают

два важных следствия.

 

С л е д с т в и е

1. Если главный вектор

системы равен нулю, то

главный момент

не зависит от выбора полюса.

 

 

С л е д с т в и е

2. Две системы

 

векторов, имеющие одинаковый

главный момент

относительно

какого-нибудь полюса, имеют одина-

ковые главные моменты относительно любого полюса тогда

и только

тогда,

когда эти системы имеют

одинаковый главный

вектор.

Докажем

теперь следующую

теорему.

 

 

 

Т е о р е м а 2. Если через полюсы О и О', относительно

кото-

рых берутся

главные моменты,

провести прямую I, то проекции

главных моментов

на эту прямую

 

равны.

 

 

 

Доказательство . В силу теоремы 1

 

 

Умножим

скалярно обе части

этого

равенства

на

в —орт

прямой

/:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мо-• е = Мо

• е+(б'О

х R) • е.

 

 

Но О'0

и е

коллинеарны, следовательно,

 

 

(О'6х/?)-е =0.

Поэтому Мо' • е = Мо-е,

т. е. Пр2Л1<т =Пр/Л14>. Теорема доказана.

Доказанная теорема делает естественным следующее опреде-

ление: главным моментом

системы векторов относительно оси I

Смотрите также файлы