Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 5675

Скачиваний: 12

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

9.25(307). Две половины круглого однородного цилиндра соединены нитью, перекинутой через цилиндр, к концам которой подвешены гири весом Р кГ каждая. Вес цилиндра Q кГ. Плоскость соприкасания половин цилиндра вертикальна. Определить наименьшую величину Р веса гирь, при которой обе половины цилиндра будут находиться в покое на

горизонтальной плоскости.

Ответ:

Р = -7Г~

кГ.

3

л

к задаче 9.25.

9.26 (308).

Найти

предельную

высоту

h

цилиндра,

при

которой

тело,

состоящее из цилиндра и полушара

одинаковой плотности и одинакового радиуса

г,

теряет

устойчивость

в положении равновесия,

когда

оно опирается поверхностью полу-

шара на гладкую горизонтальную плоскость.

Центр

тяжести

всего тела

должен

совпадать

с центром полушара,

Рас-

стояние центра тяжести однородного полушара

от его основания равно

3

-=.- г.

о

Ответ: Л = -£=

9.27(309).

Найти предельную

высоту

h

конуса,

при

которой

тело, состоящее из конуса и полушара одинаковой плотности и

радиуса г,

теряет

устойчивость в

положении равновесия при условии

предыдущей задачи.

Ответ: h~

\

h

\ Jв

в

К

задаче 9.26.

К задаче 9.27.

К задаче 9.28.

9.28.

Тонкий

однородный лист изогнут в виде двух треугольни-

ков

и квадрата,

как показано на

рисунке: равнобедренный треуголь-

ник

ОАВ

лежит в плоскости ху,

прямоугольный треугольник ODE —

в плоскости yz (вершина прямого угла — точка Е), квадрат ОВКЕ — в горизонтальной плоскости. Определить координаты центра тяжести изогнутого листа.

Ответ: хс = 3,33 см, ус — 0,444 см, zc = 3,55 см.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ

КИНЕМАТИКА

ГЛАВА III

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

§10. Траектория и уравнения движения точки

10.1.По данному уравнению движения точки на произвольно выбранной траектории построить через равные промежутки времени

шесть положений точки, определить расстояние s по траектории от начала отсчета до конечного положения точки и пройденный его путь а за указанный промежуток времени (s и а — в сантиметрах, t — в секундах).

Ответ: s = 10 см, a = 13 см.

2) s = 1+ It —t%, 0 < t < 2,5.

Ответ: s = — 0,25 см, а —3,25 см.

3) s = 4sinl(W,

| L ^ < ^ .

Ответ: s — 0, о = 20 см.

10.2. По данным

уравнениям движения точки найти уравнения ее

траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения.

1) x = 3t — 5, y=*4 — 2t/

Ответ: Полупрямая 2х -f- Ъу — 2 = 0 с началом в точке х = — 5,

у= А.

2)x = 2t, y = 8t*.

Ответ: Правая ветвь параболы у = 2лт2 с начальной точкой

х= 0, у = 0.

3)х = 5 sin \0t, у = 3 cos 10£.

Ответ:

Эллипс

^. -J- ~ = 1 с

начальной точкой

х = 0, _у = 3.

4) л; = 2 — 3 cos 5*, у = 4-stn 5£ — 1.

Ответ:

Эллипс

v

; -f-

| 6

= 1 с начальной

точкой

дг =

=

_l,j,=

-l.'

Ь)х=±

(е'+ е-% у = |

{е'- е-').

Ответ:

Верхняя часть правой ветви гиперболы

х2 —у2

= 1

с

начальной

точкой

х=1,

у — 0.

4 И, В, Мещерскив

97

10.3. Построить траекторию точки, радиус-вектор которой изменяется согласно уравнению (г0 и е — постоянные заданные векторы,

iи j — координатные орты): - 1) r = n-\-t-e.

Ответ: Полупрямая, проходящая через начальную точку УИО(ГО) параллельно вектору е.

2) r =

r0-f-cos£-e.

проходящей через

точку

Ответ:

Отрезок

М^М\ прямой линии,

М(Го) параллельно вектору е. Начальная

точка Ж0 (i*o-f-е);

вторая

крайняя точка М\(Гъ — е). При t-+oo

конец радиус-вектора пройдет

бесчисленное число

раз через каждую

точку

траектории.

3) r =

^ i

+

*s i

X*

У2

Ответ:

Отрезок

верхней

части

эллипса - I - T T 5 =

1.

Точка начи-

нает

движение

от

левой

вершины

эллипса, монотонно приближаясь

к

его

правой вершине.

10.4

(312).

По

заданным

уравнениям

движения

точки

найти

уравнение

ее

траектории,

а

также

указать

закон движения

точки

по

траектории, отсчитывая

расстояние

от

начального

положения

точки:

1)

х=Ы\

y =

U*.

5£3.

Ответ:

Полупрямая 4дг—Зу =

О; s =

2)

je =

3sin£, _y= 3cos£

Ответ:

Окружность х*-\-у* =

9; s =

3f.

3)

x — acos^t,

y =

asinit.

Ответ:

Отрезок

прямой

х^\-у—а

=

0,

причем

4)

V

=

J

jf

Ответ:

Окружность х*-\-у* =

2Ь; s = '.

10.5

(313).

Мостовой

кран

движется

вдоль

мастерской согласно

уравнению x=t\

по крану катится в поперечном направлении тележка

согласно

уравнению

у=1,Ы

(х

и у — в

метрах,

t — в секундах).

Цепь

укорачивается

со

скоростью

г> = 0,5 м/сек. Определить

траек-

торию центра

тяжести

груза; в

начальном

положении

центр тяжести

груза находился в горизонтальной плоскости Оху; ось Oz направлена

вертикально

вверх.

Ответ:

Траектория — прямая: у=

l,5x;

z =

0,5x.

10.6 (314). Движение

точки,

описывающей

фигуру Лиссажу, за-

дается

уравнениями x =

Zsint,

_y=

2cos2£

(t—в

секундах). Найти

уравнение траектории, вычертить

ее

и указать

направление движения

точки

в различные моменты времени. Указать

также ближайший после

начала

движения

момент

времени

tlt

когда

траектория

пересечет

ось Ох.

Ответ:

Часть

параболы 4л:2 -[-9у =

18,

вдоль которой

| J C | ^ 3 ,

*i = ^- сек.

98

10.7. При соответствующем выборе осей координат уравнения движения электрона в постоянном магнитном поле определяются равенствами

x = asinkt, y = acoskt, z —vt,

где a, k и v — некоторые постоянные, зависящие от напряженности магнитного поля, массы, заряда и скорости электрона. Определить траекторию электрона и закон движения его по траектории.

Ответ: Электрон движется по винтовой линии. Начальная точка дг = О, у = а, 2 = 0; шаг винта /z= T v . Закон движения электрона

по

винтовой линии: s = у cPk? -j- v21.

10.8. Гармонические колебания точки определяются

законом

x =

asin(kt-\-е),

где

а^>0 — амплитуда колебаний, k^>0 — круго-

вая

частота колебаний и s (— ic'^ е sg; я)— начальная фаза.

Определить

центр

колебаний а0, амплитуду, круговую-

частоту,

период

Т, частоту

колебаний /

в герцах и начальную фазу

по сле-

дующим

уравнениям

движения

(х— в сантиметрах, t — в секундах):

Уравнение

движения

10.9 (310). Груз, поднятый на4 упругом канате, колеблется согласно

уравнению

x = asin.(kt-)-у),

где а

— в сантиметрах, k — в сек'1.

Определить

амплитуду и круговую

частоту колебаний груза, если

период колебаний равен 0,4 сек и в начальный момент дг0= — 4 см. Построить также кривую расстояний.

Ответ: а = 4 см; £ = 5тс сек"1.

10.10 (315). Определить траекторию точки, совершающей одновременно два гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если колебания происходят подвум взаимно перпендикулярным осям:

Ответ: Эллипс

4»

98

10.11 (316). Найти уравнение траектории движения точки, получающегося при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разной частоты:

2) х =

a cos 2u>t,

у =

а cos

at.

Ответ:

1) jf*aa =

4y9

(a*— у9);

2) 2_y9—ax — a2 =

0, причем

\\

\\

10.12 (317). Кривошип ОА

вращается

с постоянной угловой ско-

ростью

( « = 1 0

сек'1.

Длина

ОА =

=

АВ^=80

см.

Найти

уравнения дви-

жения и траекторию

средней

точки М

шатуна,

а

также

уравнение

движения

-х

ползуна

В,

если

в

начальный

момент

ползун

находился

в

крайнем

правом

к задаче ю.12.

положении;

оси

координат

указаны

на

чертеже.

Ответ:

1) Траекторией точки М

является

эллипс

120я

~1 ~40а

'

2)уравнение движения ползуна В

10.13(318). Уравнения движения точки обода колеса, катящегося

без скольжения по прямолинейному рельсу, имеют вид

x =

a(kt

— sin kf),

_y=a(l—coskt).

Определить

моменты

времени, когда точка занимает

низшее, среднее

и высшее положения

на

траектории,

считая,

что

ось у

направлена

вверх.

Ответ: 1) ~Х

сек;

2)

U^ +

у Ч

сек;

3)

\T-\-J4

сек,

где

Х=

0, 1, 2,

3 , . . .

10.14 (319). Определить уравнения движения и траекторию точки

обода колеса радиуса/?= 1 л автомобиля, если автомобиль

движется

по

прямолинейному

пути

с постоянной

скоростью

20 м/сек. Принять,

что

колесо

катится

без

скольжения; за начало

координат

взять

на-

чальное положение

точки на

пути,

принятом

за

ось

Ох.

Ответ:

Циклоида x=20t

— sin20£; _ y = l — c o s 2 0 £

10.15. Даны уравнения движения снаряда:

где

т>о— начальная

скорость

снаряда,

a — угол

между

щ

и гори-

зонтальной

осью х,

g — ускорение

силы тяжести.

Определить траекторию движения снаряда, высоту

Н, дальность

L

и время Т полета

снаряда.

100

Смотрите также файлы