Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf

Ответ:

Траектория —парабола у —tg а. • х —9 2 g

2• -лга; высота

tf

^ a

; L

a ;

Ответ: y =

fg-§^x\

10.19. Точка движется по винтовой линии

х = a cos kt, y = a sin kt, z =s v£.

Определить

уравнения движения точки в цилиндрических координатах.

Ответ:

г = а, y = kt, z — xt.

10.20. Даны уравнения движения точки:

x = 2acos2 y,

y^asmkt,

где а

и k — положительные постоянные. Определить

траекторию и

закон

движения

точки по траектории, отсчитывая расстояние от на-

чального положения точки.

Ответ:

Окружность (х — а)2 -{-у2 = a2; s = akt.

10.21. В условиях предыдущей задачи определить

уравнения дви-

жения точки в полярных координатах.

Ответ:

г — 2а cosу ; ф= -„-.

(

р \2

ра

х

J -j-j/2 — _ , Уравнения движения в сферических координатах:

,r = R, ф= у , ®= Y-

10.23.

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди-

кулярных

затухающих колебаниях, уравнения

которых имеют вид

х = Ae~ht cos(kt + е), у = Ae~ht

sin {kt -\- г),

где Л^>0, h^>0,

k~^>0 и s — некоторые

постоянные.

Определить

уравнения движения в полярных координатах

и

найти

траекторию

точки.

Ответ:

r = Ae~M,

<p =

kt-\-e;

траектория — логарифмическая

_ - (<р - е)

спираль г = Ае

*

.

• .

§ 11. Скорость

точки

11.1 (325). Точка совершает

гармонические

колебания по закону

x — asinkt.

Определить

амплитуду

а и круговую

частоту k

колеба-

ний,

если

при х = Х\ скорость

v = Vi,

а при х = дга

скорость v = г/4.

Ответ: а =

11.2 (327). Длина линейки эллипс'о-

-х

графа АВ = 40 см,

длина

кривошипа

ОС = 20

см,

АС = СВ.

Кривошип

к задаче П.2.

равномерно

вращается

вокруг

оси О

с угловой

скоростью

ш. Найти

урав-

нения траектории

и годографа

скорости

точки М линейки, лежащей

на расстоянии AM = 1 0 см от конца А.

х^

v^

jc?

л1^

Ответ:

ГШП +

Т Ж = ^ ' 900(ла

'

100w2

•

11.3 (328). Точка

описывает

фигуру

Лиссажу

согласно

уравне-

ниям

(х, у — в сантиметрах,

t — в

секундах).

Определить

величину и на-

правление скорости точки, когда она находится на оси Оу.

Ответ:

1)

v=2

см/сек;

cos(г», х) =

— 1 . 2)

г> = 2 см/сек;

cos(i>, х)=

1.

11.4 (329). Точка движется согласно

уравнениям

{t — в секундах,

х, у — в сантиметрах).

Определить

величину

и на-

правление

скорости точки при £=

0; t=\

сек; t=2

сек.

Ответ:

1) Ъъ — ^ъ

см/сек; cos(vo, x) = -^; cos(vo,у) =

~.

2 ) ^ = 0.

3) vi

= Y'K

см/сек; cos(t>a, х) =

— -=-;

cos(t>2, y) = — = - ,

ного

механизма и скорость ползуна В в зависимости от времени,

если

ОА = АВ = а (см. чертеж к задаче 10.12).

г»0, g и «о<С"о

величины постоянные. Найти: 1) траекторию точки,

3) u*= t»0 cos a9;

vy

= z t г>0 sin a0,

моменту

времени, а

причем верхний знак

соответствует начальному

нижний — момеяту

,

2w0 sin a0

11.7 (364). Движение

точки

задано теми же

уравнениями, что и

в предыдущей задаче, причем i>

0 = 20 м/сек, a0 =

60°, g = 9 , 8 l м/сек*.

Найти, с какой скоростью

Vi должна

выйти из начала координат в

момент £=

0 вторая

точка

для того, чтобы, двигаясь

равномерно

по оси Ох,

она встретилась

с первой

точкой, и определить расстоя-

ние Xi до места встречи.

Ответ:

t»i = 10 м/сек; Xi =

35,3

м.

11.8 (365). Определить высоты Нъ

Л2 и /г3 над поверхностью

воды

трех пунктов отвесного берега,

если

известно, что три пули,

выпу-

внимание только

ускорение силы

тяжести

g = 9 , 8 1 м/сек*. Опреде-

лить также

продолжительность

Т

полета

пуль и их скорости vi, %

и v3 в момент

падения в воду.

Ответ:

/г1 =

/г2 = /г3= 19,62

м;

Т =

2 сек;

1*1=

53,71

м/сек,

г»а =

77,52 м/сек,

f 3

= 101,95 м/сек.

11.9 (366). Из орудия, ось

которого образует

угол 30°

с гори-

зонтом, выпущен

снаряд со скоростью

500 м/сек. Предполагая, что

снаряд имеет

только ускорение силы

тяжести g = 9 , 8 l

м/сек*, найти

^граф.

Ответ: Годограф — вертикальная

пряма», отстоящая

от

начала

•координат на 432 м; -Dj= 9,81 м/сек1.

11.10 (332). Определить уравнения движения и траекторию

точки

колеса электровоза радиуса R=l

м, лежащей на

расстоянии

а = 0,5

м от

оси,

если

колесо

катится без скольжения по гори-

зонтальному

прямолинейному участку

пути;

скорость

оси

колеса

г»= 1 0

м/сек. Ось. Ох

совпадает

с рельсом,

ось Оу—

с

радиусом

точки

при

ее начальном низшем

положении. Определить также ско-

рость

этой точки вте

моменты

времени, когда

диаметр

колеса, на

котором она

расположена,

займет

горизонталь-

ное

и вертикальное

положения.

Ответ:

Укороченная циклоида

х=\Ы—0,5sin

10/,

у = 1— 0,5 cos 10/.

Скорость:

1) 11,18

м/сек;

2) 5

м/сек;

15 м/сек.

V/////V///////////.

(333).

Скорость

электровоза

vo=

11.11

= 72

км/час;

радиус колеса его

R=l

м; колесо

катится

по

прямолинейному

рельсу

без

сколь-

жения.

1) Определить

величину

и направление

ско-

рости v точки

М на ободе колеса втот

момент,

к аадачё~и.п.

когда

радиус

точки

М составляет

с направлением

скорости va

уголтс/2-f-a-

2)

Построить годограф

скорости

точки

М и определить

скорость

г^

точки, вычерчивающей

годограф.

Ответ:

1) Скорость

v — 40 cos ^ м/сек

и направлена

по

пря-

мой

МА.

2) Окружность

p= 2t»0cosS, где

9 =-9"'

РаДиУса

г — ^ о

(см. чертеж);

t i 1 = | ~ = 4 0 0

м/сек2.

11.12 (334). Определить уравнения движения и траекторию точки

М

колеса

вагона радиуса ft.= 0,5

м, отстоящей от оси на расстоянии

а = 0,6 м и лежащей

в начальный

момент

на

0,1

мниже

рельса,

если

вагон

движется

по прямолинейному

пути

со скоростью

v = 1 0

м/сек. Найти также

моменты

времени, когда

эта

точка

будет

проходить

свое нижнее и верхнее

положения, и проекции ее скорости

на

оси Ох,

Оу вэти моменты времени. Ось Ох

совпадает

с рельсом,

ось Оу проходит через начальное нижнее положение точки.

Ответ:

Удлиненная

циклоида

х = 10/—0,6 sin 20*; у = 0,5 - 0,6 cos 20£

при

nk

сек— нижнее

положение

точки,

vx=

— 2 м/сек,

i/j, = 0;

t=TQ

при t=£(\-\-2k)

сек —верхнее

положение

точки,

г»л = 22

м/сек,

Vy= 0, где

& = 0,

1, 2,

3,..,

11.13. Точка участвует одновременно вдвух взаимно перпендику-

лярных затухающих колебаниях согласно уравнениям

X = Ае'ш

cos (kt + 8),

у = Ae'ht

sin (kt -\- e).