Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf

Определить проекции скорости точки на оси

декартовых и полярных

координат и найти модуль скорости точки

Ответ: 1)

vx

=

— Аё~ы

[h cos (kt +

e)+

k sin (kt-\-e)],

vy

=

— Ae'"'

[h sin (A* -f

e) — Acos (A* -f e)];

2)

ty =

—Л/»-*

p = i4Ag-";

3)

v=A

Yh* -f

А2 <ГЛ' =

г.

г = з а, • <p =

k t ,

z = vt.

Найти проекции скорости точки М на оси

цилиндрической

системы

координат,

уравнения

движения

точки

Мь

описывающей

годограф

скорости, и проекции скорости точки

Mi.

Ответ:

1)

vr~Q,

v9 =

ak,

vs =

r,

2)

г, — ak,

<pi=

|

+

kt>

z* —r>

3)

vri =

0,

v9l=ak\

vZl=0.

11.16. Точка М движется

по окружности

согласно уравнениям

o

kt

kt

r

2acos

<p

(r, <p — полярные координаты). Найти

проекции скорости точки М на

оси полярной системы координат, уравнения

движения точки Mi, опи-

сывающей

годограф

скорости, и проекции скорости точки

yWj.

Ответ: 1) vr— —aksin у,

vv —ak cos у ;

2) ri=ak,

Ф! = у + «;

3) vri = 0,

4)<H = ak\

11.17. Точка

движется по линии пересечения

сферы

и цилиндра

согласно

уравнениям

г.

kt

.

' kt

(г, <р, 9 —сферические координаты;

см, задачу

10.22).

Найти

модуль

и проекции

скорости точки на оси сферической

системы

координат.

г,

п

Rk

kt

Rk

Г

Ответ:

v

r = 0 ,

v v=T C

0 S

Y t

Vi==\'

W

=

=

F

11.18

(335). Найти в полярных координатах

(г, ср)уравнение кри-

вой, которую опишет корабль, сохраняющий постоянный угол пеленга

а

на неподвижную

точку (угол между направлением скорости инаправ-

лением на точку), если дано: а

и rf_0=r0.

Корабль принять за точку,

движущуюся на плоскости, и за полюс

взять

произвольную

непо-

движную

точку

в этой плоскости. Исследовать

частные

случаи

а= 0,

и/2 и те.

Ответ:

Логарифмическая

спираль

г = гое~ч>с1еа.

При а=тс/2

окружность

г = г0; при а = 0 или а. = %прямая.

§

12. Ускорение

точки

12.1

(336). Поезд движется

со скоростью 72 км/час,

при тормо-

жении

он получает

замедление,

равное

0,4

м[сек2.

Найти, за

какое

время

до прихода

поезда на станцию и на каком от нее расстоянии

должно

быть начато торможение.

Ответ:

50 сек; 500 м.

12.2

(337). Копровая баба, ударив

сваю, движется

затем

вместе

с ней в

течение 0,02 сек до

остановки,

причем

свая

углубляется

в

землю

на 6

см. Определить

начальную

скорость движения

сваи,

считая

его равнозамедленным.

Ответ:

6 м/сек.

12.3

(338).

Водяные

капли

вытекают

из отверстия

вертикальной

трубочки через

0,1 сек одна после

другой

и

падают

с

ускорением

9$1 см/сек2. Определить расстояние между

первой и второй каплями

через

1 сек после

момента

истечения первой капли.

Ответ:

93,2 см.

12.4

(339). Движение

трамвая по прямолинейному пути в

период

разгона

характеризуется

тем, что проходимый

трамваем

путь пропор-

ционален кубу

времени; в течение

первой

минуты

трамвай

прошел

путь 90 м. Найти скорость

и ускорение в моменты *= 0 и t = 5 сек.

Построить

кривые

расстояний, скоростей

и ускорений.

12.5 (341). Считая посадочную скорость самолета равной 400 км]час,

определить

замедление его

при

посадке

на

пути / = 1200

м, считая,

что

замедление

постоянно.

Ответ:

w = 5,15 м/сек2.

12.6 (342). Копровая баба падает с высоты 2,5 м, а для ее под-

нятия на

ту же высоту требуется втрое

больше

времени, чем на

падение.

Сколько ударов

она

делает

в

минуту,

если

считать,

что свободное падение копровой бабы

совершается

с ускорением

9,81

м/сек2?

Ответ:

21

удар.

12.7

(344).

Ползун движется по прямолинейной направляющей

с ускорением wx = — n2sm-^-t

м/сек2.

Найти уравнение

движения

12.8

(343).

Поезд, имея начальную скорость

54 км/час,

прошел

600

м

в

первые

30

сек.

Считая

движение поезда равнопеременным, ^

определить

скорость

и ускорение поезда в конце 30-й секунды,

если

рассматриваемое

движение

поезда

происходит

на

закруглении

радиуса

R—

1

км.

Ответ:

г)= 25 м/сек; w =

0,708

м/сек2.

12.9 (372). При отходе от

станции

скорость

поезда

возрастает

равномерно

и

достигает

величины

72

км/час

через

3

мин

после

отхода;

путь

расположен, на закруглении

радиуса

800

м.

Определить

касательное, нормальное и полное ускорения поезда через

2

мин

после момента

отхода

от

станции.

1

2

Ответ:

wt

= -^ м/сек2; wn

=

-g- м/сек2; w — 0,25

м/сек2.

12.10 (345). Поезд движется равнозамедленно

по дуге

окружно-

сти

радиуса

/?= 800 м и проходит

путь

s = 800

м, имея

начальную

скорость

г>0= 54

км/час

и

конечную

г»= 18 км/час.

Определить

полное ускорение поезда в начале и в

конце

дуги,

а

также

время движения по

этой

дуге.

Ответ:

Щ — 0,308

м/сек2;

w = 0,129

м/сек2;

7 = 80

сек.

12.11 (346). Закругление трамвайного

к задаче i2.ii.

пути

состоит

из двух

дуг

радиусов

pj =

= 300

м

и р2

= 400

м. Центральные углы а 1 = а

2 = 60°. Построить

график

нормального

ускорения

вагона,

идущего

по закруглению

со

скоростью

г> = 36

км/час.

12.12

(348). Точка движется по дуге окружности радиуса R=

20

см.

Закон ее

движения по траектории: s = 20sinjt£

(t — в

секундах, s —

нормальное

и полное ускорения

точки в момент t = b сек. Построить

также график

скорости,

касательного

и нормального ускорений.

ч

Ответ:

Скорость

равна

по величине

20п

см/сек и направлена

в сторону,

противоположную

положительному

направлению

отсчета

дуги s; wt

— 0; w=wn

= 20n,2

см/сек2.

12.13

(349). Прямолинейное движение точки происходит по закону

s = -S- (at -f e~ai),

где

а

и g — постоянные

величины. Найти

началь-

ную скорость

точки,

а также

определить

ее

ускорение

в функции

от

скорости.

Ответ:

vo

= 0; w-z=g—av.

12.14

(350). Движение точки

задано уравнениями

лт— 10cos2ftl r ,

j> = 10sin 2n-=-

о

о

(х,

у — в

сантиметрах,

t — в

секундах).

Найти

траекторию

точки,

величину

и направление

скорости,

а

также

величину и направление

ускорения.

Ответ:

Окружность

радиуса

10 см;

скорость

г> = 4я см/сек и

направлена

по касательной в

сторону

перехода

от

оси Ох

к оси О у

поворотом на 90°; ускорение w=

1,6л2

см/сек2

и направлено к центру.

12.15 (355). Уравнения движения

пальца кривошипа дизеля в пе-

риод пуска

имеют вид

х — 75 cos it2,

у = 75 sin it2

(х,

у

— в санти-

метрах, t — в

секундах).

Найти

скорость,

касательное и

нормальное

ускорения

пальца.

Ответ:

v = 6O0t см/сек;

wt

= 600 см/сек2; wn

= 4800t2

см[сек\

12.16 (352). Движение точки задано уравнениями

где

а и k — заданные

постоянные величины.

Найти

уравнение

траектории,

скорость

и ускорение

точки как

функции

радиуса-вектора

г =

У ^

2

Ответ:

Г

у

2

2

22

2

;

у

w =

k2r.

Гипербола

х

—_у

= 4а

u = £r;

12.17

(356). Найти

ускорение

и

радиус

кривизны

траектория

точки в

момент

^ = 1

сек, если

уравнения движения точки имеют вид

х =

4 sin ^

t>

У — 3 sin у с

К задаче 12.19.

К задаче 12.20.

Ответ:

Эллипс . „ 0 8 ~|~^j8 ==1> •У=80Л см/сек;

о>= 1600л2 см/сек*; р= 4 см.

12.21.

На проволочной

окружности

радиуса

10 см

надето

колечко М;

через

него

проходит

стержень

ОА,

который

равномерно

вращается

задаче 12.21.

вокруг

точки О, лежащей

на той же окружности;

угловая

скорость стержня

такова,

что он поворачивается на прямой

угол в 5 сек. Определить

скорость v

и ускорение w колечка.

Ответ:

v =

2тг см/'сек; w = 0,4п:2

смjсек1.

12.22 (367).

Движение

снаряда

задано уравнениями

уравнениям

х = dQOt, у = 400£ — Ы* (t — в секундах, х, у — в мет-

рах). Найти:

1) скорость и ускорение в начальный момент, 2) высоту

и дальность

обстрела, 3) радиус

кривизны траектории

в начальной

и в наивысшей точке.

Ответ:

vo = 500 м/сек; w$=

10 м/сек%, ft = 8 KM;

s = 24 км;

рв=41,67 км; р= 9 км,