Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf

£= a cos -~-1 см.

Определить

величину

абсолют-

ного

ускорения точки при £—1 сек

и t — 2 сек.

Ответ:

wai = ак2 У5

см/сек2;

wa* = 0,44атс2

см/сек2.

23.30. Слержень ОА вращается

вокруг

оси

z,

проходящей

через

точку

О,

с

угловым

замедлением

К задаче23.28.

К задаче23.29.

10 сек~г. Вдоль стержня от точки О

скользит шайба М. Определить

абсо-

лютное ускорение шайбы в момент, когда

она находится на расстоя-

нии 60 см от точки

О

и имеет

скорость

и ускорение

в движении

вдоль стержня

соотве!ственно

120 см/сек и 90 см/сек2, если

в этот

момент угловая скорость

стержня

равна

5

сек~К

Ответ:

ге>а=1533 см/сек2 и

составляет

с

направлением

МО

угол

в 23°.

23.31. Шайба М движется по

горизонтальному

стержню

ОА,

так что ОМ = 0,Ы2

см. В то же

время

стержень вращается

вокруг

вертикальной оси, проходящей че-

рез

точку

О, по закону <p =

t2-\-t

К задачам 23.30 и 23.31.

Определить

радиальную

и транс-

версальную

составляющие

абсо-

лютной скорости и абсолютного

ускорения шайбы в момент t = 2 сек.

Ответ:

vr—2

см/сек, г>9=10

см/сек; wr = ~ 49 см/сек2,

•a>f=24 см/сек2.

23.32. Круг

радиуса

г вращается с постоянной угловой скоростью

t» вокруг неподвижной

точки

О,

лежащей

на его окружности. При

вращении

круг

пересекает

неподвижную

горизонтальную

прямую — ось

х,

про-

ходящую

через

точку

О. Найти

ско-

рость

и ускорение

точки

М пересече-

ния

круга

с

осью

х

в движениях

этой

точки

по

отношению

к

кругу и по от-

ношению

к

оси

х.

Выразить

искомые

к задаче 23 32.

величины

через

расстояние

0М=х.

Ответ:

По отношению к прямой Ох

точка

М движется

со ско-

ростью — ш ]/Чг2—Xs

и ускорением

—ш2лг. По отношению к кругу

точка движется в сторону, противоположную

вращению круга,

с по-

стоянной

скоростью 2<ог

и ускорением

4м2г.

23.33.

Горизонтальная

прямая АВ перемещается

параллельно

самой

себе по вертикали

с постоянной

скоростью

и и пересекает

при этом

неподвижный

круг

радиуса г. Найти

скорость

и ускорение

точки М

пересечения

прямой с окружностью

в движениях

этой точки относи-

тельно круга

и относительно

прямой

АВ в

функции от угла

<р (см.

чертеж).

Ответ:

1) В движении по окружности

точка

М имеет

скорость

-Д- и касательное

ускорение

—

?°д? , нормальное ускорение

" 2 ,

2) По

отношению

к

прямой АВ

точка М движется со

скоростью

" c.os ? и

ускорением

^—.

яп 9

г

sin3 ср

перемещается

точка

М. В момент, когда полупрямая

совпадала с

осью

лг, точка М находилась в начале координат.

Определить

движение точки

М

относительно

полупрямой

ОА,

если известно,

что

абсолютная

скорость

v точки

М постоянна по

, величине.

Определить

также

абсолютную

траекторию

и абсолютное

уско-

рение точки

М.

Ответ:

Точка

М

движется

по ОА

со скоростью

vr=vcos<at.

Абсолютная

траектория

точки

М—окружность,

ее уравнение

в полярных

координатах

r=—sin<p> в

декартовых

координатах

х*-\-\У — <г)

=

\ 2 / • Абсолютное

ускорение

точки М даа =

Ответ:

wa

= «> ]/72ш2 + 4г>8.

23.36.

Шарик Р

движется

со скоростью

120 см/сек от А к В

по

хорде

АВ

диска,

вращающегося вокруг

оси, проходящей через

^его

центр

перпендикулярно к

плоскости диска. Найти абсолютное

Ответ: wa=l0\8 см/сек*.

23.37. Решить предыдущую

задачу

в предпо-

ложении, что диск вращается вокруг диаметра,

параллельного

хорде.

Ответ:

wa

=

361,2

см]сек1.

23.38. Решить

задачу 23.36 при условии, что

осью вращения диска является диаметр, перпенди-

кулярный к

хорде.

Ответ: wa

= 720 см/сек*.

К задаче

23.36.

23.39. Корабль, находящийся на экваторе,

идет

курсом северо-восток. Скорость движения корабля

равна 20

узлам. Найти абсолютную

скорость и кориолисово ускоре-

ние

корабля с учетом

вращения Земли, считая радиус Земли равным

R =

6378

км

(наименование

курса

указывает,

куда

идет

судно;

узел = 1 морская

час

Ответ: va

= 470,4 м/сек;

wc

=

1,06 • 10 3 м)секъ.

23.40. В условиях

предыдущей

задачи найти

абсолютное

ускоре-

ние корабля, считая его скорость постоян-

ной.

Ответ: wa = 347,766 • 10~4м/сек*.

23.41. По ободу диска

радиуса R,

вра-

щающегося

вокруг

своего

диаметра

с

по-

~Z> стоянной угловой скоростью о),

движется

с

постоянной

по модулю

скоростью

V

точка

М. Найти

абсолютное

ускорение

точки

М

К задаче 23.41.

как функцию угла

<р> составленного

радиус-

вектором

точки с осью

вращения диска.

Ответ: wa = j / i £ + ш*#*sin*<P + 2 t o V

0 + cos2?)•

Найти абсолютную

траекторию,

абсолютную

скорость и абсолютное

ускорение

точки М.

Ответ:

Если начальное

положение точки

М принять

за начало

координат,

а ось у

направить

по

начальному

положению

диаметра,

по которому движется точка

М, то

уравнение

траектории

будет

(окружность

половинного

радиуса

с центром на середине

радиуса).

Абсолютная

скорость

va

= taR. Абсолютное ускорение

wa — 2u>2R.

23.43. Диск вращается

с постоянной угловой

скоростью

ю вокруг

оси, проходящей

через

его центр

перпендикулярно

к

плоскости

диска. По

хорде

АВ

из ее середины D движется

точка М с постоян-

ной относительной скоростью и. Хорда

отстоит

от центра

диска

на

расстоянии

с.

Найти

абсолютную

скорость и абсолютное

ускорение

точки

М

в функции

от

расстояния

DM=x.

Ответ:

va

= ]/"(о3х2 -f (а + »с)а ;

wa

= w j / ш 2 * 2 + (2а + ше)*.

К

задаче 23.42.

К задаче 23.43.

К

задаче 23.44.

23.44. По подвижному радиусу диска от

центра

к

ободу дви-

жется

точка

М

с постоянной скоростью

vr. Подвижный радиус

пово-

рачивается

в

плоскости

диска

с

постоянной угловой

скоростью шх.

Плоскость

диска вращается вокруг своего диаметра

с постоянной

угловой

скоростью

щ.

£=

0

Найти

абсолютную

скорость

точки

М,

считая,

что

при

точка

М находилась в центре диска, а подвижный радиус

был направ-

лен по

оси

вращения

диска.

Ответ:

va = vr

УI

+1% (S + К s i n 2 "ЧО-

23.45.

Точка движется со скоростью 2 м/сек

по

окружности

обода диска диаметром 4 м. Диск вращается

в

противоположном

направлении,

имея

в

данный

момент

угловую

скорость

2 сек"1

к

угловое ускорение 4 сек'2.

Определить

абсолютное

ускорение

точки.

Ответ:

ге»о=8,24

м!,сек2 и направлено под углом 76°

к радиусу.

23.46. Диск

вращается

вокруг

оси,

перпендикулярной

к плоско-

сти

диска

и

проходящей

через

его

центр,

по

закону

2

®=—t3.

Вдоль

радиуса

диска

начинает

двигаться

точка

по

закону

s = 4£2—lOt-j-8

(см).

Расстояние

s

измеряется

от

центра

диска.

Определить

абсолютную

скорость

и

абсолютное

ускорение

точки

в

момент

времени

t =

1

сек.

Ответ:

г»о =

4,47

см/сек; wa = 0.

23.47

(479). Полое кольцо радиуса r-жестко соединено с валом АВ,

и

притом

так, что ось вала расположена в

плоскости

оси кольца.

Кольцо

заполнено

жидкостью,

движущейся

в

нем

в

направлении

стрелки

с

постоянной

относительной скоростью и. Вал

АВ

вращается

1

а

8

—

Ответ: гг) = гш —

=3го>

-}- —; «е>8= и>4

=

h?

fiwa

К задаче 23.47.

К задаче 23.48.

К задаче 23.49.

23.48 (480). По условиям предыдущей задачи,

измененным лишь

в

том отношении, что плоскость оси кольца будет

перпендикулярна

к

оси вала АВ, определить

те же величины в двух

случаях:

Ответ: 1) Wi = ra>8 — 2мш;

w3 = Згш2 + — шгг;

2) Wi= гша — у + 2мсо;

та>3

=

~ — 2сод;

-

2wu)

скоростью v/, угол МОА —а. В момент

£=

0 расстояние

0М<,=а.

Конус равномерно вращается вокруг

своей оси с угловой скоростьюи>.

Найти абсолютное ускорение точки М.

Ответ: Ускорение лежит

в

плоскости,

перпендикулярной к оси

вращения, и представляет собой

гипотенузу

треугольника с катетами

wm = ш2(a -}-vrt) sin a

и

wc =

2tv« sin a.

23.50 (482). Определить в предыдущей задаче

величину

абсолют-

ного ускорения точки М в момент

t =

1 сек в

том случае, когда

она движется по образующей

конуса

с

постоянным относительным

ускорением wr, направленным

от

вершины конуса к основанию, при

следующих данных: a = 30°, а=\5см,

wr

=

10 см\секг,

ш = 1 сек'*,

в момент t = 0 относительная скорость

точки vr

равна

нулю.

Ответ: 10=14,14 см/сек*.