ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1527
Скачиваний: 2
92 |
Глава 16. Методы внешнего поля |
кого действия I[ϕ]. Поэтому (16.1.8) можно рассматривать как уравнение движения для внешнего поля ϕ с учетом квантовых поправок.
Величина Γ[ϕ] не только позволяет получить уравнения поля с
учетом квантовых поправок. Эта величина является также эффективным действием в том смысле, что iW[J] можно вычислить как сумму связных древесных диаграмм для амплитуды перехода вакуум–вакуум с вершинами, вычисляемыми так, как будто действием является не I[ϕ], à G[ϕ]. Древесными называются диаграммы,
которые становятся несвязными при разрезании любой внутренней линии. При использовании G[ϕ] вместо I[ϕ] учитываются все эффек-
ты петлевых диаграмм.
Чтобы убедиться в этом 2, рассмотрим величину WG[J,g], которая получится вместо W[J], если использовать действие g–1Γ[ϕ] вместо I[ϕ]:
l |
Γ |
q |
Y |
∏ dϕr (x) exp |
o |
Γ[ϕ] + |
z |
d4x ϕr (x)J |
r |
|
|
exp |
iW |
[J, g] |
≡ X |
ig−1 |
|
|
(x) |
|
|||
|
|
|
Z n,x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.1.9) |
|||
+слагаемые с ε },
ñпроизвольной константой g. Пропагатором в данном случае является величина, обратная коэффициенту в квадратичном по ϕ слагаемом действия g–1G[ϕ], и поэтому пропорционален g, в то время,
как все вершины дают вклады, пропорциональные 1/g, так что диаграмма с V вершинами (включая те, которые порождаются током J) и I внутренними линиями (включая те, которые присоединены к J-вершинам) пропорциональна gI–V. Для любой связной диаграммы число петель равно L = I – V +1, так что L-петлевое слагаемое в WG[J, g] зависит от g следующим образом *:
b |
W |
[J, g] |
|
gL−1. |
(16.1.10) |
Γ |
g |
L петель |
|
||
|
|
|
|
|
Эквивалентно, можно записать (по крайней мере формально):
* По этой причине параметр g в формуле (16.1.9) называют параметром разложения по петлям или петлевым параметром, а также параметром квазиклассического разложения, поскольку он входит так же, как входит постоянная Планка $ (см. ниже примечание автора в разделе 17.2). —
Ïðèì. ðåä.
16.1. Квантовое эффективное действие |
93 |
∞
WΓ [J, g] = å gL−1WΓ(L) [J] , (16.1.11)
L=0
где (как можно увидеть, положив g = 1) величина WG(L)[J] есть L- петлевой вклад в связную вакуумную амплитуду W[J,1], которую мы получили бы, если бы использовали Γ[ϕ] (без множителя g) вместо действия I[ϕ].
Нас особо интересует сумма древесных диаграмм, т. е. тех, которые не содержат петель, вычисленная с использованием вершин и пропагаторов, полученных так, как будто действием является не I[ϕ], à Γ[ϕ]. В теперешних обозначениях это WΓ(0)[J]. Чтобы выделить слагаемое с L = 0 в (16.1.11), рассмотрим предел g → 0. Â ýòîì
пределе функциональный интеграл (16.1.9) определяется доминирующим вкладом точки стационарной фазы:
exp iW [J, g] |
exp ig−1 |
Γ[ϕ] + |
z |
d4x ϕr |
(x)J |
r |
(x) |
t |
, |
(16.1.12) |
|||
l |
Γ |
q |
o |
|
J |
|
|
|
|||||
ãäå ïîëå ϕJ, которое по определению является полем, порожден-
ным током J, есть стационарная точка показателя экспоненты в том смысле, что
δΓ[ϕ] |
|
= −Jr |
(x) . |
(16.1.13) |
|
|
|
||||
δϕr (x) |
ϕ =ϕ |
||||
|
|
||||
|
|
J |
|
|
Множитель пропорциональности в (16.1.12) в общем случае является функционалом от J, но степенным рядом по g, начинающимся со слагаемых порядка g0. Поэтому, беря логарифм от обеих частей и выделяя слагаемые порядка g–1, получаем:
WΓ(0) [J] = Γ[ϕJ ] + z d4x ϕJr (x)Jr (x) . |
(16.1.14) |
Полагая ϕ = ϕJ в (16.1.6), видим, что правая часть выражения
(16.1.14) в точности равна W[J]:
WΓ(0) [J] = W[J].(16. 1. 15)
Повторим, это означает, что W[J] можно вычислить, используя Γ[ϕ] вместо I[ϕ] (это отмечает индекс Γ) и удерживая только
древесные (0-петлевые) диаграммы:
94 Глава 16. Методы внешнего поля
iW[J] = |
X L |
|
O |
R |
|
U |
Y M |
Õ dϕr (x)P expSΓ[ϕ] + iå z ϕr (x)Jr (x) d4x V. |
|||||
|
Y Mn,x |
P |
T |
r |
W |
|
|
Z N |
|
Q |
|
|
|
(16.1.16)
связные
древесные
Далее, всякая связная диаграмма для iW[J] может рассматриваться как древесная, вершины которой содержат одночастично неприводимые поддиаграммы. Следовательно, для того, чтобы выражение (16.1.16) было правильным, iΓ[ϕ] должно быть суммой
всех одночастично неприводимых связных диаграмм с произвольным числом внешних линий, причем каждая внешняя линия соответствует множителю ϕ, а не пропагатору или волновой функции. По этой причине коэффициенты в разложении Γ[ϕ] по степеням
полей и их производных в окрестности некоторого фиксированного поля ϕ0 можно рассматривать как перенормированные константы связи с «точкой» перенормировки, определенной полем ϕ0, à íå êà-
ким-то набором импульсов.
Эквивалентно, iΓ[ϕ0] для некоторого фиксированного поля ϕr0(x)
можно выразить как сумму одночастично неприводимых диаграмм для амплитуды перехода вакуум–вакуум, вычисленной со сдвинутым действием I[ϕ + ϕ0] :
iΓ[ϕ0 ] = |
X L |
∏ |
Y M |
||
|
Y Mn,x |
|
|
Z N |
|
O |
|
dϕr (x)P expmiI[ϕ + ϕ0 |
]r . |
P |
(16.1.17) |
Q |
|
1PI
Это верно потому, что каждое место, где ϕ0 возникает в лю-
бой из вершин или пропагаторов внутри одночастично неприводимых диаграмм в (16.1.17), есть также и то место, где можно подсоединить внешнюю линию поля ϕ. (Ограничение одночастично не-
приводимыми диаграммами играет существенную роль в (16.1.17). без этого ограничения можно было бы сдвинуть переменную интегрирования и получить интеграл, который был бы явно не зависящим от ϕ0.) Вместо (16.1.17) часто удобно писать
|
|
|
X L |
∏ |
exp |
iΓ[ϕ0 |
] |
= Y M |
|
|
|
|
Y Mn,x |
|
|
|
|
Z N |
|
O |
|
dϕr (x)P expmiI[ϕ + ϕ0 |
]r . |
P |
(16.1.18) |
Q |
|
1PI
16.2. Вычисление эффективного потенциала |
95 |
где вычисляется функциональный интеграл, включающий все диаграммы (связные или нет), каждая связная компонента которых является одночастично неприводимой.
* * *
Этот формализм обеспечивает простой способ суммирования древесных диаграмм. В качестве примера рассмотрим связь между полной двухточечной функцией rx,sy и ее одночастично неприводимой частью Prx,sy. Из выражений (16.1.5) и (16.1.7) находим:
rx,sy ≡ |
δ2 W[J] |
= |
δϕr (x) |
||||||
|
|
|
J |
, |
|
||||
|
|
|
δJr (x)δJs(y) |
|
δJs(y) |
||||
Πrx,sy |
≡ |
|
δ2Γ[ϕ] |
= − |
δJϕr |
(x) |
|||
|
|
|
|
|
. |
||||
δϕr (x)δϕs (y) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
δϕs (y) |
|||||
Отсюда немедленно вытекает, что «матрицы»
соотношением:
= −Π–1.
(16.1.19)
(16.1.20)
è Π связаны
(16.1.21)
Это есть аналог знакомого соотношения (10.3.15) между пропагаторами и собственноэнергетическими частями, с дополнительным слагаемым q2 + m2 в знаменателе (10.3.15), представляющим слагаемое нулевого порядка в одночастично неприводимой двухточечной функции.
16.2. Вычисление эффективного потенциала
Чтобы увидеть, как на практике работает описанный в предыдущем разделе механизм, рассмотрим простой пример — перенормируемую теорию одного действительного скалярного поля ϕ(x) ñ äåé-
ствием
I[ϕ] = −z d |
4 |
L |
1 |
|
ρ |
|
1 2 |
|
2 |
|
1 |
|
4 O |
|
|
|
xMλ + |
|
∂ρϕ ∂ |
|
ϕ + |
|
m |
ϕ |
|
+ |
|
gϕ |
P. |
(16.2.1) |
|
|
2 |
|
2 |
|
24 |
||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
(Мы здесь включили в лагранжиан «космологическую постоянную»
–λ по причинам, которые станут ясными в дальнейшем.) Предполо-