Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

векторы состояний отличаются на фазу exp(–iE[J]T), накопившуюся за время Т:

Сравнивая с выражениями (16.1.1) и (16.1.3), находим:

Чтобы увидеть связь между этой энергией и эффективным действием, предположим, что мы ищем состояние Ωϕ, которое ми-

нимизирует среднее значение энергии

подчиненное условию, что квантовые поля Φn(x,t) имеют не зависящее от времени среднее значение ϕn(x):

Кроме того, удобно наложить на Ω условие нормировки:

Чтобы минимизировать среднее значение (16.3.3), удовлетворяющее ограничениям (16.3.4) и (16.3.5), используем метод множителей Лагранжа и будем искать минимум величины

Êàê α, òàê è βn(x) следует выбрать так, чтобы удовлетворя-

лись ограничения (16.3.4) и (16.3.5), поэтому эти величины функционально зависят от заданного среднего значения ϕn(x).

с нормированным собственным вектором ΨJ. Кроме того, поскольку

плавное включение тока переводит вакуум в данное собственное состояние с определенной энергией, можно предположить, что E[J ] есть низшее энергетическое состояние в присутствии этого тока. Таким образом, соотношения (16.3.4), (16.3.5) и (16.3.7) удовлетворяются следующими величинами:

ãäå Jϕ(x) — ток, для которого среднее значение Φ(x) в состоянии ΨJ равно ϕ(x).

Полагая в (16.3.8) J = Jϕ и беря скалярное произведение с ΨJ, находим минимальную энергию состояний, в которых поля Φn удовлетворяют условию, что их средние значения равны ϕn:

Вспоминая (16.3.2) и предполагаемый вид J (x), получаем:

Как отмечалось в предыдущем разделе, если поле ϕ(x) имеет постоянное значение ϕ в большом пространственно-временном объеме

V 4 = V 3T, эффективное действие можно записать, введя эффективный потенциал V(ϕ):

Это и есть главный результат: величина V(ϕ) есть минимум

среднего значения плотности энергии для всех состояний, удовлетворяющих условию, что средние значения скалярных полей Φn

равны ϕn. Одно из следствий этого утверждения заключается в

том, что в отсутствие внешних токов вакуумное состояние переходит в равновесное состояние, в котором потенциал V(ϕ) не только

стационарен (что требуется уравнениями поля (16.1.8)), но и минимален.

Полученный результат помогает решить проблему интерпретации квантового эффективного потенциала. Евклидовая версия формализма функциональных интегралов (описанная в Приложении А к главе 23) делает очевидным, что двухточечная функция положительна (в матричном смысле), так что в силу (16.1.2) это же верно для –Π = –1. С учетом (16.2.3) из этого следует, что эффективный потенциал V(ϕ) одного скалярного поля должен иметь положительную (или нулевую) вторую производную по ϕ. Более об-

щее утверждение гласи, что эффективный потенциал должен быть

выпуклым:5

Vbλϕ1 + (1 − λ)ϕ2 g ≤ λV(ϕ1) + (1 − λ)V(ϕ2 ) ïðè 0 ≤ λ ≤ 1.

Однако исследование соотношения (16.2.13) показывает, что при m2 < 0 и g > 0 в древесном приближении эффективный потенциал скалярной теории поля с действием (16.2.1) имеет отрицательную вторую производную, если ϕ находится межäó äâóìя минимумами эффективного потенциала в точках ± 6| m2 |/g . Ýòî

противоречие возникает из-за того, что вывод теории возмущений неявно предполагает существование стабильного вакуума, но когда V′′(ϕ) < 0, ïîëå ϕ имеет значение ϕ~ , в котором V(ϕ~) − Jϕϕ~ имеет не

минимум, а максимум, и это означает, что вакуумное состояние в присутствии тока Jϕ нестабильно.

Так что же является истинным эффективным потенциалом для такой скалярной теории, когда m2 < 0, à ϕ находится между двумя

минимумами потенциала? Результат этого раздела сводится к тому, что мы должны найти состояние с минимальной энергией, в кото-

ром среднее значение оператора F равно j. Äî òåõ ïîð, ïîêà j находится между двумя минимумами потенциала, можно придать F среднее значение j, выбрав состояние как подходящую линейную комбинацию дâóõ ñîñтояний, в которых j находится в точках минимумов ϕ g ± 6| m2 |/g . Энергия этого состояния равна энергии в ми-

нимумах, так что такое состояние действительно минимизирует энергию. (По причинам, объясненным в разделе 19.1, интерференционные слагаемые исчезают в пределе бесконечного объема.) Таким образом, эффективный потенциал между двумя минимумами потенциала есть константа, удовлетворяющая требованию неотрицательности второй производной. Те же рассуждения показывают, что в более общих теориях, в которых потенциал имеет два локальных минимума с разной энергией, потенциал между этими минимумами линеен 6.

16.4.Симметрии эффективного действия

Âнекоторых случаях симметрии действия I[j] автоматически являются симметриями эффективного действия G[j]. так, в разоб-

ранном в разделе 16.2 примере действие (16.2.1) симметрично относительно дискретного преобразования j ® –j. Из определения величин Z[j] è W[J] следует, что они четны относительно соответствующего отражения J ® –J. Тогда из соотношения (16.1.5) следу-

åò, ÷òî j–J = –jJ, и поэтому J–ϕ = –Jϕ, так что согласно формуле (16.1.6) эффективное действие G[j] является четным относительно замены j ® –j. Это подтверждается результатом однопетлевых

вычислений (16.2.15). В частном случае M(0) = 0 вклад фермионных петель в (16.2.16) также обладает симметрией относительно j ® –j,

так как в этом случае действие инвариантно относительно комбини-

рованного преобразования j ® –j, y ® g5y.

При доказательстве перенормируемости теории мы столкнемся с трудностями, если только нам не удасться показать, что сим-

метрии исходного классического действия остаются в силе и для эффективного действия. В приведенном выше примере, если I[j] считалось четным по j, à â G[j] эта оказалось не так, то коэффициенты при слагаемых в G, пропорциональные òd4xj è òd4xj3, будут

расходящимися, однако симметрия действия не позволит ввести контрчлены для поглощения этих бесконечностей.