Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1526

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

96

Глава 16. Методы внешнего поля

жим для простоты, что мы хотим вычислить Γ[ϕ0] для независящего от координат поля ϕ0. Тогда каждое слагаемое в Γ[ϕ0] содержит

множитель, равный объему пространства-времени

V 4 = z d4x = δ4 (p − p)(2π)4 ,

(16.2.2)

возникающий из дельта-функции закона сохранения импульса. Поэтому при постоянном ϕ0 можно записать

Γ[ϕ0 ] = −V 4 V(ϕ0 ),

(16.2.3)

ãäå V(ϕ) — обычная функция, которую называют эффективным

потенциалом. В этом разделе мы вычислим эффективный потенциал в однопетлевом приближении. Впервые это было сделано Коулменом и Ю. Вайнбергом3 при изучении проблемы спонтанного нарушения симметрии, которая будет предметом обсуждения в гл. 19 и 21. Полученные результаты они использовали в одном из первых приложений ренормализационной группы, которое мы опишем в разделе 18.2.

Сдвигая ϕ íà ϕ0, получим выражение для действия *:

 

 

 

 

L

1

 

 

1

 

O

 

 

 

 

 

 

 

I[ϕ + ϕ0 ] = −V

4 Mλ +

m2ϕ02 +

gϕ04 P − [m2ϕ0

+ 1 gϕ03 ]

d4xϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

N

2

 

 

24

 

Q

 

6

 

z

 

 

−

z

d4xL∂

ρ

ϕ∂ρϕ + 1 μ2 (ϕ

 

)ϕ2 O

−

z

d4xL 1 gϕ

ϕ3

+

1

gϕ4 O

,(16.2.4)

0

 

 

M

 

 

 

 

P

 

M

0

 

 

 

P

 

 

N

 

 

2

 

 

Q

 

N 6

 

 

24

Q

 

ãäå μ2 — зависящая от поля масса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ2 (ϕ0 )

= m2 +

1

gϕ02 .

 

 

 

 

 

(16.2.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что помимо слагаемых, имеющих ту же структуру, что и в исходном действии, возникли новые взаимодействия, пропорциональные ϕ (они не влияют на одночастично неприводимые диаграммы) и ϕ3.

* Ïðè m2 < 0 существуют ограничения на применимость теории возмущений, которые обсуждаются в следующем разделе.

16.2. Вычисление эффективного потенциала

97

Рис. 16-1. Древесные, одно- и двухпетлевые диаграммы для квантового эффективного действия в теории нейтрального скалярного поля ϕ с взаимодействием ϕ4

На рис. 16.1 показаны фейнмановские диаграммы для Γ[ϕ0]

вплоть до двухпетлевого порядка. Слагаемое без петель в амплитуде перехода вакуум–вакуум дается просто постоянным слагаемым в I[ϕ + ϕ0]:

 

 

 

(0 петель)

F

 

1

2

 

 

2

 

g

 

4 I

 

 

 

 

 

 

iΓ

 

 

[ϕ0 ] = −iV 4 G

λ +

 

 

m

ϕ0

+

 

ϕ0 J .

 

 

 

(16. 2. 6)

 

 

 

2

24

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

 

Однопетлевое слагаемое определяется выражением

 

 

 

expdiΓ

(1 петля)

[ϕ0 ]i =

Y ∏ dϕ(x) expS−

1

iz d

4

xM∂ρϕ ∂

ρ

ϕ +

1

μ

2

(ϕ0 )ϕ

P

 

 

 

X

 

R

 

 

 

L

 

 

 

 

 

2 O

 

 

 

 

Z

x

T

2

 

 

 

 

N

 

 

 

 

2

 

 

 

Q

 

 

 

+

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слагаемые с εV.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16.2.7) В гл. 9 мы научились вычислять эти интегралы. Результат да-

ется выражением (9.А.18):

 

(1 петля)

 

F iK I −1/2

 

1

F iK I

 

iΓ

 

[ϕ0

] = ln Det G

 

J

= −

 

Tr ln G

 

J ,

(16.2.8)

 

 

 

 

 

 

 

H

π K

 

2

H

π K

 

где теперь

 

 

L

 

∂2

 

 

O

 

 

K

 

= M

 

 

+ μ2 (ϕ

 

) − iεP

δ4 (x − y) .

(16.2.9)

x,y

∂x

λ ∂y

0

 

M

 

P

 

 

 

N

 

λ

 

 

Q

 

 

Как обычно, для вычисления таких следов полезно диагонализовать «матрицу» K, перейдя в импульсное пространство:

X 4
Y d p ln
Z

98 Глава 16. Методы внешнего поля

 

X d4x

e-ip×x

d4y

eiq×y Kx,y

Kp,q

= Y

 

 

 

 

(2π)

2

(2π)

2

 

Z

 

 

 

(16.2.10)

 

= dp2 + μ2 (ϕ0 ) − iεi δ4 (p − q) .

Логарифм этой диагональной матрицы есть тоже диагональная матрица с логарифмами на главной диагонали:

L

F iK I O

L i

 

2

 

2

O

 

4

 

Mln G

 

J P

= ln M

 

dp

 

+ μ

 

(ϕ0 ) − iεiP

δ

 

(p − q) .

 

 

 

 

 

N

H

π K Qp,q

N π

 

 

 

 

Q

 

 

 

Отсюда

iΓ(1 петля) [ϕ0 ] = − 1

2

= − V 4

2(2π)4

X

4

L

F iK

Y d

p Mln G

 

Z

 

N

H π

 

 

L i

dp

2

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

N π

 

 

I O

J P

K Qp,q

+ μ

2

O

 

(ϕ0 ) − iεiP .

 

 

Q

(16.2.11)

(16.2.12)

Объединяя выражения (16.2.6) и (16.2.12), находим эффективный потенциал в однопетлевом приближении:

V(ϕ0 ) = λ + 1 m2ϕ02 +

1

 

gϕ04 + J dμ2 (ϕ0 )i ,

(16.2.13)

 

 

 

 

2

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

ãäå

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

−i

 

X

4

 

L i

 

2

 

2

O

 

J (μ

 

) ≡

 

 

Y d

 

p ln M

 

dp

 

+ μ

 

− iεiP .

(16.2.14)

 

2(2π)

4

 

π

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

N

 

 

 

 

Q

 

Видно, что эта формула для эффективного потенциала содержит, к сожалению, ультрафиолетовые расходимости. Однако, к счастью, они естественным образом поглощаются перенормировкой параметров теории. Хотя интеграл16.2.14) расходится, простой под- счет индекса расходимости показывает, что его можно сделать сходящимся, трижды продифференцировав по μ2:

I ′′′(μ2 ) = −

i

z d4p (p2

+ μ2 − iε)-3 .

 

(2π)4

 

 

 

16.2. Вычисление эффективного потенциала

99

И опять слагаемое –iε показывает, что следует поворачивать

контур в плоскости p0 против часовой стрелки, так что p0 = ip4, ãäå ð4 изменяется от –∞ äî +∞:

I ′′′(μ2 ) =

1

X∞ 2π2k3dk

=

1

.

 

Y

 

 

 

(2π)4

 

+ μ2 )3

 

 

Z (k2

 

32π2μ2

 

 

0

 

 

 

 

 

Трижды интегрируя, находим

I (μ2 ) = μ4 ln μ2 + A + Bμ2 + Cμ4 . 64π2

Постоянные А, В, С не определяются данным методом вычислений, что едва ли является серьезной трудностью, поскольку оче- видно, что они все равно бесконечны. Мы устраняем эти константы, определяя «перенормированные» значения λ, m2 и g следующим

образом:

λR ≡ λ + A + Bm2 + Cm4 ,

mR2 ≡ m2 + gB + 2gm2C,

gR ≡ g + 6g2C .

Окончательный результат для потенциала в однопетлевом приближении имеет вид

V(ϕ0 ) = λR

+

1

mR2 ϕ02 +

g

ϕ04

+

μ4 (ϕ

0

) ln μ2

(ϕ

0

)

 

 

 

R

 

 

 

 

,

(16.2.15)

2

24

 

64π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ãäå μ(ϕ0) — зависящая от поля масса, определенная выражением

(16.2.5). В данном порядке ее можно вычислять *, заменяя m и g на mR è gR

μ2 (ϕ) = m2

+

1

g

 

ϕ2 .

 

R

R

2

 

 

 

 

 

 

* Имеется в виду данный (первый) порядок разложения по петлям, т.е. по петлевому параметру, который выше также обозначен буквой g (см. (16.1.12)).

— Ïðèì. ðåä.

100

Глава 16. Методы внешнего поля

Аналогичные результаты верны в случае, когда теория содержит комплексное фермионное поле со спином 1/2, взаимодействующее со скалярным полем ϕ. Например, если гамильтониан этого взаимодействия имеет простой вид Gϕψψ , то масса M(ϕ0) фермиона в присутствии постоянного скалярного фонового поля ϕ0 имеет вид:

M(ϕ0 ) = M(0) + Gϕ0 .

Легко видеть, что потенциал (16.2.1) в этом случае получает добавочное слагаемое

V(ϕ

 

) = λ

 

+

1

 

ϕ2

+

g

ϕ4

+

μ4

(ϕ

0

) ln μ2

(ϕ

0

)

 

 

 

 

m2

R

 

 

 

 

 

 

0

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

R

0

 

24

0

 

 

 

64π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

M4

(ϕ0 ) ln M2 (ϕ0 )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(16.2.16)

 

 

 

 

 

 

32π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Численный коэффициент в новом слагаемом вдвое больше того, который стоит перед слагаемым μ4lnμ2 в (16.2.15), что связано с двумя спиновыми состояниями фермиона, описываемого полем ψ, à

знак этого коэффициента противоположен по той причине, что (как показано в гл. 9) фермионные функциональные интегралы от гауссианов пропорциональны детерминанту матричного коэффициента в экспоненте, а бозонные интегралы — обратной величине этих детерминантов.

16.3. Энергетическая интерпретация

Важное значение имеет интерпретация действия Γ[ϕ] и потенциала V[ϕ] с помощью понятий энергии и плотности энергии,

соответственно.4 Чтобы увидеть это, предположим, что мы вклю- чаем ток Jn(x,t), который плавно растет от нуля при t = –∞ äî

конечного значения Jn(x), которое не изменяется в течение долгого времени Т, после чего вновь плавно уменьшается до нуля при t = +∞. Влияние такого возмущения заключается в превращении

вакуума в состояние с определенной энергией E[J] (функционал от Jn(x)), которое сохраняется в течение времени Т, после чего опять возвращается в состояние вакуума. Однако, хотя аутвакуум — то же самое физическое состояние, что и ин-вакуум,

Смотрите также файлы