ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1557
Скачиваний: 2
19.2. Голдстоуновские бозоны |
229 |
å |
∂V(ϕ)tnl + |
å |
∂2 V(ϕ) |
tnmϕm = 0 . |
(19.2.5) |
||||
|
|||||||||
n |
∂ϕ |
n |
n,m |
∂ϕ |
n |
∂ϕ |
l |
|
|
Рассмотрим случай, когда ϕn принимает значение в минимуме V(ϕ), т.е. значение, равное среднему по вакууму`ϕn. Òàê êàê V(ϕ)
стационарно в своем минимуме, первое слагаемое в (19.2.5) обращается в нуль, так что
å |
∂2 V(ϕ) |
|
|
|
tnmϕm = 0 . |
(19.2.6) |
|
||||||
n,m∂ϕn∂ϕl |
|
ϕ = ϕ |
|
|
||
|
|
|
||||
Из общих результатов раздела 16.1 следует, что вторая производная в (19.2.6) есть просто сумма всех связных одночастично неприводимых фейнмановских диаграмм в импульсном представлении с внешними линиями, помеченными индексами n и l и несущими нулевой 4-импульс. В конце раздела 16.1 показано, что эта производная связана с обратным пропагатором в импульсном пространстве равенством
∂2V(ϕ) |
= |
−1 |
(0) , |
(19.2.7) |
|
||||
∂ϕn∂ϕl |
|
nl |
|
|
|
|
|
|
так что из (19.2.6) следует
å |
−nl1 (0) tnmϕm |
= 0. |
(19.2.8) |
n,m
Таким образом, если симметрия нарушена, так что åm tnmϕm не равно нулю, тогда эта величина есть собственный вектор −nl1 (0)
с нулевым собственным значением. Из существования такого собственного вектора вытекает, что Dnl(q) имеет полюс в точке q2 = 0. Порядок вычета в полюсе при q2 = 0 равен размерности пространства векторов tϕ , где t пробегает по значениям всех генераторов
непрерывных симметрий теории. Грубо говоря, на каждую независимую нарушенную симметрию приходится один безмассовый бозон.
В классическом примере нарушенной симметрии лагранжиан включает набор N действительных скалярных полей ϕn è
имеет вид
19.2. Голдстоуновские бозоны |
231 |
голдстоуновских бозонов заключается в том, что O(N) нарушается до O(N – 1) (подгруппа O(N), оставляющая инвариантным`ϕ),
и поэтому число независимых нарушенных симметрий равно размерности O(N) минус размерность O(N – 1), т. е.
1 |
N(N - 1) - |
1 |
(N - 1)(N - 2) = N - 1. |
(19.2.14) |
|
|
|||
2 |
2 |
|
|
|
Приведем еще одно доказательство существования голдстоуновских бозонов, не использующее формализма эффективного действия. Как мы видели в гл. 7, любая непрерывная симметрия действия влечет за собой существование сохраняющегося тока Jμ:
∂J |
μ (x) |
= 0 , |
(19.2.15) |
|
∂xm |
||||
|
|
|||
с зарядом Q, индуцирующим связанное с этим преобразование симметрии:
Q = z d3x J0 (x,0) , |
(19.2.16) |
||||
Q, ϕn (x) |
|
|
= −å tnmϕm (x) . |
(19.2.17) |
|
|
|||||
|
|||||
|
|
||||
|
|
|
m |
|
|
Спонтанное нарушение симметрии не влияет на операторные соотношения типа (19.2.15)–(19.2.17), а проявляется в свойствах физических состояний. Рассмотрим теперь среднее по вакууму коммутатора тока и поля. Суммируя по промежуточным состояниям, находим
|
J |
l |
(y),ϕn |
(x) |
|
= (2π) |
-3 |
z d |
4 |
p |
|
l |
|
ip×(y-x) |
~l |
(p)e |
-ip×(y-x) |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ρn (p)e |
|
− ρn |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VAC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(19.2.18) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где, после использования трансляционной инвариантности, |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(2p)−3 irλn (p) = å áVAC| Jλ (0)| NñáN| jn (0)| VACñd4 (p - pN ) ,(19.2.19) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
~ |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
(2p) |
|
|
(p) = å áVAC| jn (0)| NñáN| J (0)| VACñd |
|
(p - pN ) .(19.2.20) |
|||||||||||||||||
|
|
irn |
|
||||||||||||||||||||
N
(&( |
E !"* ! " # |
3 Bλ ϕ -
% '!"*(*!") '!"*(*(#) -
% % %
λ |
[λN |
'1) |
'!"*(*(!) |
ρ |
'1) = − ρ |
3 % * 2 %ρ [ρ 9
ρλ '1) = 1λρ '−1()θ'1#) |
'!"*(*(() |
|||||||
[λ |
'1) = 1 |
λ[ |
'−1 |
( |
)θ'1 |
# |
) * |
'!"*(*(&) |
ρ |
ρ |
|
|
|||||
' θ'1#) G! #\ # %- %
12 < %
*) 3-
|
|
|
|
B |
λ |
'D)ϕ |
' ) |
|
|
|
= |
|
|
∂ |
|
|
|
|
( |
|
ρ 'µ |
( |
) + |
'D − P µ |
( |
) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Dλ |
,µ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BCD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'!"*(*(<) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
) |
|
+ ' − DP µ |
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ρ 'µ |
( |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
G7 % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 'EP µ() = '(π)−& ,<1θ'1#)δ'1( + µ()341 E * |
|
|
|
'!"*(*($) |
||||||||||||||||||||||||||||
; *$% |
'EPµ() |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
E µ( θ'E#)E(\ # 7 E( |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
µ(* + % |
|
' ?DP µ() |
'D? P µ() |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
?D% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
B |
λ |
'D)ϕ ' ) |
|
|
= |
|
∂ |
|
,µ |
( |
|
ρ 'µ |
( |
|
|
|
[ |
|
( |
) |
|
+ 'D − P µ |
( |
) *'!"*(*(,) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) + ρ 'µ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
BCD |
|
∂Dλ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − D% |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ 'µ |
( |
|
|
|
[ |
|
|
'µ |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'!"*(*(T) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = −ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
% '!"*(*(<) D% 9