Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Задачи

1.Рассмотрите SU(N) калибровочную теорию со скалярным полемв фундаментальном представлении SU(N). Вычислите бета-функцию для константы связи в однопетлевом приближении, включая вклад склярной петли. (Совет: используйте калибровку фонового поля с постоянным фоновым полем.)

2.Пусть бета-функция b(g) для теории с положительной констан-

той связи g имеет простой нуль при g = g*, ãäå b(g) ® a(g* – g)

c a > 0. Каково асмптотическое поведение поправки к старшему слагаемому µ E−γ O (g* ) в множителе NEO −1, связанным с включе-

нием оператора O в среднее по вакууму.

3.Покажите, что в теории с b(g) = bg2 + b¢g3 + b¢¢g4 + ... можно

путем переопределения константы связи придать коэффициенту b¢¢ любое значение.

4.Вычислите эффективный электрический заряд, который следует использовать при изучении процессов при энергии 100 ГэВ, учтя при этом все известные заряженные кварки и лептоны с массами меньше 100 ГэВ.

5.Рассчитайте асимптотическое поведение электронного пропагатора в квантовой элеткродинамике при большом значении 4-импульса. (Можно воспользоваться однопетлевым значением Z2, вычисленным ранее, например, в разделе 11.4.)

6.Вычислите аномальную размерность n в первом порядке разложения по степеням e = 4 – d для O(N)-инвариантной теории

скалярных полей jn(x) с n = 1, ..., N, принадлежащих3 векторному представлению O(N), с взаимодействием g(ånjn2)2.

Список литературы

1. Gell-Mann, M. and Low, F.E., Phys. Rev., 95, 1300 (1954). Несколько ранее вопрос о свободе выбора определения перенормированных констант связи обсуждался в работе: Stueckelberg,

E.G.C. and Peterman, A., Helv. Phys. Acta, 26, 499 (1953) (именно в этой работе был введен неудачный термин «ренормализационная группа»), но без объяснения связи с вычислениями физических процессов при очень больших или очень малых энергиях. После работы Гелл-Манна и Лоу методы ренормгруппы были развиты в монографии: Н.Н. Боголюбов и Д.В. Ширков.

Введение в теорию квантованных полей (М., Физматлит, 1957), гл. VIII и ссылки в ней. Интерес к методам ренормгруппы в физике частиц оживился в 1970 г. в работах: Callan, C.G., Phys. Rev., D2, 1541 (1970); Symanzik, K., Commun. Math. Phys., 18, 227 (1970); Callan, C.G., Coleman, S., and Jackiw, R., Ann. Phys. (New York), 59, 42 (1970).

2.Wilson, K.G., Phys. Rev., B4, 3174, 3184 (1971); Rev. Mod. Phys., 47, 773 (1975).

3.Collins, J.C., Phys. Rev., D10, 1213 (1974).

3a. Jost, J. and Luttinger, J.M., Helv. Phys. Acta, 23, 201 (1950).

4. Это значение цитируется в таблицах Particle Data Group в 1994 году. Обзор более поздних расчетов см. в работе: Altarelli, G., CERN preprint CERN-TH-95/203. Более новое значение α–1(mZ) находится в интервале от 128,89 до 129,08.

4a. Coleman, S. and Weinberg, E., Phys. Rev., D7, 1888 (1973).

4b. Landau, L.D., in Niels Bohr and the Development of Physics

(Pergamon Press, New York, 1955) и цитированные там более ранние работы.

4ñ. Adler, S.L., Callan, C.G., Gross, D.J., and Jackiw, R., Phys. Rev., D6, 2982 (1972); Baker, M. and Johnson, K., Physica, 96A, 120 (1979).

4d. Дискуссии и ссылки см.: Glimm, J. and Jaffe, A., Quantum Physics

— A Functional Integral Point of View (Springer Verlag, New York, 1987), Section 21.6; Fernandez, R., Froelich, J., and Sokal, A.D., Random Walks, Critical Phenomena, and Triviality in Quantum Field Theory (Springer Verlag, Berlin, 1992), ch. 15.

5.Weinberg, S., in General Relativity, S.W.Hawking and W. Israel, eds. (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1979), p. 790.

6.Weinberg, S., Phys. Rev., D8, 3497 (1973).

7.Первое вычисление сделано в работе: Wilson, K.G. and Fischer, M.E., Phys. Rev. Lett., 28, 240 (1972); Wilson, K.G., Phys. Rev. Lett., 28, 548 (1972). Обзоры см.: Wilson, K.G. and Kogut, J.,

Phys. Rep., 12C,1No. 2 (1974); Fischer, M.E., Rev. Mod. Phys., 46, 597 (1974); Brezin, E., LeGuillou, J.C., and Zinn-Justin, J., in

Phase Transitions and Critical Phenomena, eds. C. Domb and M.S. Green (Academic Press, London, 1975).

8.См., например: Chaikin, P.M. and Lubensky, T.C., Principles of Condensed Matter Physics (Cambridge Univ. Oress, Cambridge, 1955), p. 231.

8a. Bre1zin, E., LeGuillou, J.C., Zinn-Justin, J., and Nickel, B.G., Phys. Lett., 44A, 227 (1973); Wilson, K.G. and Kogut, J., [7].

9.`t Hooft, G., Nucl. Phys., B61, 455 (1973); Nucl. Phys., B82, 444 (1973). Приведенный здесь вывод является несколько упрощенной версией вывода `т Хофта.

10.Greenberg, O.W., Phys. Rev. Lett., 13, 598 (1964); Han, M.Y. and Nambu, Y., Phys. Rev., 139, B1006 (1965); Bardeen, W.A., Fritzsch, H., and Gell-Mann, M., in Scale and Conformal Invariance in Hadron Physics, ed. by R. Gatto (Wiley, New York, 1973).

11.Gell-Mann, M., Phys. Lett., 8, 214 (1964); Zweig, G., CERN preprint TH401 (1964).

12.Gross, D.J. and Wilczek, F., Phys. Rev. Lett., 30, 1343 (1973).

13.Politzer, H.D., Phys. Rev. Lett., 30, 1346 (1973).

14.Bloom, E.D. et al., Phys. Rev. Lett., 23, 930 (1969); Breidenbach, M. et al., Phys. Rev. Lett., 23, 933 (1969); Friedman, J.L. and Kendall, H.W., Ann. Rev. Nuclear Science, 22, 203 (1972).

15.Zee, A., unpublished.

16.`t Hooft, G., unpublished.

17.Weinberg, S., Phys. Rev., D8, 605 (1973).

18.Gross, D.J. and Wilczek, F., Phys. Rev., D8, 3633 (1973); Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 31, 494 (1973).

19.Аналогичные идеи были высказаны еще до открытия асимптотической свободы в работе: Fritzsch, H., Gell-Mann, M., and Leutwyler, H., Phys. Lett., 47B, 365 (1973).

20.Hanson, G. et al., Phys. Rev. Lett., 35, 1609 (1975); Schwitters, R.F., in Proc. of the Int. Conf. on Lepton and Photon Interactions at High Energy at Stanford, 1975, ed. W.T. Kirk (SLAC, Stanford, 1975), p. 5; Hanson, G., SLAC Report SLAC-PUB-1814 (1976).

21.Sterman, G. and Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 39, 1436 (1977).

22.Ellis, J., Gaillard, M.K., and Ross, G.G., Nucl. Phys., B111, 253 (1976).

23.Eichten, E., Lane, K., and Peskin, M., Phys. Rev. Lett., 50, 811 (1983).

24.См. обзор: Hinchliffe, I., in Review of Particle Properties, Phys. Rev., D50, 1177 (1994), Sec. 25.

25.Altarelli, G., in Proc. of the Rencontres de Hanoi, CERN preprint CERN-PPE/94-71 (1994).

26.Abe, K. et al. (SLD collaboration), Phys. Rev., D51, 962 (1995). Обработка более ранних данных по распаду Z0 в адроны,

выполненная М. Шифманом (Minnesota preprint hep-ph/9501222

(1995)), давала значение αs(mZ) = 0,125 ± 0,005, соответствующее Λ ≈ 500 ÌýÂ.

19

Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

Многие достижения физики в нашем веке были основаны на принципах симметрии, прежде всего, на пространственно-вре- менных симметриях эйнштейновской частной теории относительности 1905 года, а также на внутренних симметриях, например, на открытой в 1930-е годы приближенной SU(2) изоспиновой симметрии. Поэтому, когда в 1960-е годы было обнаружено, что число внутренних симметрий больше, чем это можно было бы предположить на основании изучения спектра элементарных частиц, это стало волнующим открытием. Существуют точные или приближенные симметрии исходной теории, которые являются «спонтанно нарушенными», т. е. они не реализуются как преобразования симметрии физических состояний теории, в частности, не оставляют инвариантным вакуумное состояние. Прорывом стало открытие нарушенной приближенной глобальной SU(2) × SU(2) симметрии сильных взаимодействий, о чем

подробно будет говориться в разделе 19.3. Вскоре последовало открытие точной, но спонтанно нарушенной локальной SU(2) × U(1) ñèì-

метрии слабых и электромагнитных взаимодействий, которую мы рассмотрим вместе с более общими локальными симметриями в гл. 21. Однако в данной главе мы начнем с общего обсуждения нарушенных глобальных симметрий, а затем перейдем к физическим примерам.

19.1. Вырожденные вакуумы

Не нужно далеко ходить за примерами спонтанного нарушения симметрии. Рассмотрим стул. Уравнения, которым подчиняется поведение атомов стула, являются симметричными относительно