Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

симметрию относительно преобразования j ® –j? Исходная симметрия относительно преобразования j ® –j означает, что ва-

куумные матричные элементы гамильтониана равны

áVAC,+|H|VAC,+ñ = áVAC,-|H|VAC,-ñ º a

(с действительным а) и

áVAC,+|H|VAC,-ñ = áVAC,-|H|VAC,+ñ º b

(с действительным b), так что собственные состояния гамильтониана равны |VAC,+ñ ± |VAC,-ñ, а энергии этих состояний равны a ± |b|. Такие собственные состояния с данной энергией инвариантны

(или инвариантны с точностью до знака) относительно преобразо- вания симметрии j ® –j. На самом деле, нечто подобное имеет

место и для стульев. Квантово-механическое основное состояние изолированного стула является на самом деле инвариантным относительно вращений. Это состояние с нулевыми значениями квантовых чисел углового момента, не имеющее по этой причине определенной ориентации в пространстве.

Спонтанное нарушение симметрии в действительности возникает только для идеализированных бесконечно больших систем. Нарушение симметрии для стула возникает из-за того, что у него имеется макроскопический момент инерции I, и основное состояние стула является частью пирамиды вращательных возбужденных состояний, энергии которых отделены друг от друга крохотными интервалами порядка $2/I. Поэтому вектор состояния стула становится необычайно чувствительным к внешним возмущениям. Даже очень слабые внешние поля сдвигают энергию стула на величину, намного превышающую разность энергий между вращательными уровнями. В результате, наложение любого вращательно несимметричного внешнего поля приведет к тому, что основное или любое другое состояние стула с определенными квантовыми числами углового момента очень быстро приобретет компоненты с другими квантовыми числами момента. Сравнительно стабильные относительно малых внешних возмущений состояния стула — не те, которые имеют определенные значения квантовых чисел углового момента, а те, которые обладают определенной ориентацией, и в которых нарушена вращательная симметрия исходной теории.

Для вакуума возможность спонтанного нарушения симметрии также связана с большими размерами системы, в частности, с большим пространственным объемом. В предыдущем примере симметрии относительно отражений недиагональный матричный элемент b гамильтониана включает интегрирование по полевым конфигурациям, которые туннелируют от минимума при j = `j к минимуму при j = –`j, так что этот матричный элемент мень-

ше, чем диагональный матричный элемент a, на коэффициент проницаемости барьера, который в случае пространственного объема V имеет вид exp(–CV ), где С — положительная константа*, зависящая от микроскопических параметров теории.

Таким образом, два собственных состояния энергии |VAC,+ñ ± |VAC,-ñ существенно вырождены для любого макроскопического объе-

ма и поэтому сильно перемешиваются любым возмущением, являющимся нечетным функционалом от j. Даже если такое возмущение Н¢ очень мало, его диагональные элементы áVAC,±|H¢|VAC,±ñ будут отличаться существенно сильнее, чем

экспоненциально подавленные недиагональные элементы как Н, так и возмущения. Следовательно, вакуумные собственные состояния возмущенного гамильтониана будут очень близки к одному из состояний с нарушенной симметрией |VAC,±ñ , которые диагонализуют возмущение, а не к инвариантным состояниям |VAC,+ñ ± |VAC,-ñ. В случае очень малых возмущений какое же из состояний |VAC,±ñ

является истинным вакуумом? Это зависит от возмущения, но поскольку два состояния связаны преобразованием симметрии исходного гамильтонианом, такая зависимость несущественна; если возмущение достаточно мало, ни один наблюдатель не сможет обнаружить разницу.

В случае пространства бесконечного объема обращение в нуль матричных элементов между вакуумными состояниями с разными средними значениями поля является точным утверждением 1. В случае бесконечного объема произвольное вакуумное состояние |vñ можно определить как состояние с нулевым импульсом

матричного элемента b, поскольку вскоре покажем в общем виде, что он обращается в нуль в случае бесконечного объема.

для которого это собственное значение импульса дискретно. (Таким образом, исключаются одночастичные или многочастичные состояния, для которых нулевое собственное значение импульса всегда есть часть континуума значений импульса в пространстве с бесконечным объемом.) В общем случае возможно существование нескольких подобных состояний. Обычно их можно разложить в дискретное множество, так что наши обозначения будут рассматривать эти состояния как дискретные. Они выбираются ортонормированными:

Любой матричный элемент произведения локальных эрмитовых операторов при равных временах, взятый между этими состояниями, можно выразить как сумму по состояниям:

u A(x)B(0) v = å u A(0) ww B(0) v

w

+ z d3på u A(0) N, pN, p B(0) ve-ip×x , (19.1.5)

N

ãäå |N,pñ — множество ортонормированных состояний континуума с определенным трехмерным импульсом р, которое вместе с |bñ ïî-

крывает все физическое гильбертово пространство. (Здесь N может включать как непрерывные, так и дискретные метки. Кроме того, мы опускаем временные аргументы.) Предположим без доказательства, что поскольку |N,pñ принадлежат непрерывному спект-

ру оператора импульса Р, зависимость матричных элементов от р достаточно гладкая (т.е. интегрируемая по Лебегу), и можно использовать теорему Римана–Лебега2, так что интеграл по р обращается в нуль при |x| ® ¥. Тогда в этом пределе имеем:

w

Аналогично,

w

Однако из соображений причинности следует, что коммутатор при равных временах [A(x),B(0)] обращается в нуль при x ¹

0 (см. раздел 5.1), так что матричные элементы (19.1.6) и (19.1.7) равны и поэтому эрмитовые матрицы áu|A(0)|vñ, áu|B(0)|vñ è ò. ä. äîë-

жны все коммутировать друг с другом. Отсюда следует, что все они могут быть одновременно диагонализованы. Переходя, если нужно, к этому базису, имеем для каждого эрмитового локального оператора A(x) теории:

ãäå av — действительное число, равное среднему значению А в состоянии |vñ. Итак, в случае бесконечного объема любой гамиль-

тониан, построенный из локальных операторов, будет иметь нулевые матричные элементы между разными вакуумами |vñ. Â îò-

сутствие недиагональных слагаемых в гамильтониане любые два состояния |vñ, связанные преобразованием симметрии, будут вы-

рожденными. Нарушающее симметрию возмущение, построенное из таких локальных операторов, будет в том же базисе диагональным, и поэтому будет приводить к основному состоянию, которое является одним из |vñ, а не их линейной комбинацией.

Радует и то, что вакуумные состояния |vñ, которые стабильны

относительно малых зависящих от поля возмущений, являются также теми вакуумными состояниями, для которых выпоняется условие кластерного разложения (см. гл. 4). Этот принцип требует, что для физического вакуумного состояния |VACñ

VAC A(x)B(0) VAC ¾¾¾¾®VAC A(x) VACVAC B(0) VAC.

|x|→∞

(19.1.9)

Это условие удовлетворяется, если взять вакуумное состояние |VACñ как любое из состояний |vñ в базисе, определенном выражением (19.1.8), но не как произвольную линейную комбинацию нескольких |vñ.

19.2. Голдстоуновские бозоны

Перейдем теперь к случаю спонтанно нарушенной непрерывной симметрии. В этом случае существует теорема, что (с одним

важным исключением, которое рассматривается в гл. 21) спектр физических частиц должен содержать по одной частице нулевой массы и нулевого спина для каждой нарушенной симметрии. Такие частицы, известные как голдстоуновские бозоны (или бозоны Намбу–Голдстоуна), впервые были рассмотрены в конкретных моделях Голдстоуном3 и Намбу4, а два общих доказательства их существования были представлены Голдстоуном, Саламом и мной5. В данном разделе мы приведем оба доказательства, а затем перейдем к рассмотрению свойств голдстоуновских бозонов.

Предположим, что действие и мера инвариантны относительно преобразований непрерывной симметрии, при которых набор эрмитовых скалярных полей ϕn(x) (элементарных или составных)

подвергается линейным бесконечно малым преобразованиям

ãäå itnm — конечная действительная матрица. Тогда, как мы показали в разделе 16.4, эффективное действие также инвариантно относительно этого преобразования:

Ограничимся рассмотрением случая трансляционно-инвари- антной теории с постоянными полями ϕn. Как было показано в раз-

деле 16.2, в этом случае эффективное действие имеет вид

где V — пространственно-временной объем, а V(ϕ) принято назы-

вать эффективным потенциалом. Теперь формула (19.2.2) может быть записана в виде:

Будем использовать это требование симметрии в виде, получающимся еще одним дифференцированием по ϕl: