ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 5211
Скачиваний: 6
276 |
Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии |
|||||||||
~ |
D/ |
+ mN + 2igAg |
r |
r |
~ |
|||||
LN,0 = -N |
5t |
× D/ |
N, |
(19.5.48) |
||||||
или в записи через пионное поле (19.5.17):
~ L |
2it |
× (p ´ ¶p/ ) |
2igAg 5t |
× ¶p/ |
O ~ |
||||||
r |
r |
||||||||||
r r |
r |
||||||||||
LN |
= - |
N |
M¶/ + mN + |
+ |
PN. (19.5.49) |
||||||
r |
r |
||||||||||
NM |
Fπ2 [1 + p2 / Fπ2 ] |
Fπ [1 |
+ p2 / Fπ2 |
]QP |
|||||||
Заметим, что мы включили произвольную константу gA в последнее слагаемое (19.5.48), так как это слагаемое само по себе кирально симметрично, и киральная симметрия не может определять коэффициент при нем. (В противоположность этому коэффициент при третьем слагаемом в (19.5.43) фиксирован условием, что это слагаемое вместе с первым образуют киральный инвариант.) Образуя дополнительное слагаемое в аксиальном токе, возникающее из нуклонного лагранжиана (19.5.48), можно проверить, что введенная здесь константа gA действительно является аксиальной константой в бета-распаде. Альтернативно, интегрируя по частям и используя уравнение Дирака, находим, что пион-нуклонное взаимодействие
~ |
t |
r |
~ |
|||||
-2ig Ng |
× (¶p/ |
)N / Fπ эквивалентно на массовой оболочке нуклона |
||||||
r |
||||||||
A |
5 |
r |
||||||
~ |
r ~ |
, соответствующему пион- |
||||||
взаимодействию -4imNgANg |
5t × pN / Fπ |
|||||||
нуклонной константе связи |
||||||||
GπN = 2mNgA / Fπ ,
что совпадает с соотношением Голдбергера–Треймана (19.4.33). Кстати, если бы мы использовали в этом вычислении лагран-
жиан (19.5.44), мы получили бы соотношение Голдбергера–Трейма- на с gA = 1. Однако этот результат есть на самом деле артефакт конкретного вида (19.5.39) того взаимодействия, с которого мы на- чинали. Мы могли бы включить неперенормируемое слагаемое со связью с производной *
* Левые и правые компоненты нуклонного дублета преобразуются по представлениям (1,0) и (0,1) группы SU(2) × SU(2), соответственно. Били-
нейная форма Nγ γ N является, таким образом, суммой слагаемых, квад-
μ 5 1 1
ратичных по членам ( ,0) или (0, ), т. е. она преобразуется как прямая сумма представлений (1,0), (0,0) и (0,1). В выражении (19.5.50) мы связали слагаемые (1,0) + (0,1) в Nγ μ γ 5N с антисимметричным тензором, образованным из SU(2) × SU(2) 4-векторов ϕn è ∂μϕn. Конечно, можно непосред-
ственно проверить инвариантность этого выражения относительно преобразований (19.5.40), (19.5.41).
19.5. Эффективные теории поля: пионы и нуклоны |
277 |
r |
r |
r |
||||||||||||
L ¢ |
= ig¢N |
r |
- j |
t × ¶/ |
r |
r |
r |
(19.5.50) |
||||||
(t × j¶j/ |
4 |
4 |
× j)g |
5 |
+ t × (j ´ ¶j/ |
) |
N . |
|||||||
N |
||||||||||||||
Непосредственно можно убедиться, что в записи через преобра- r
зованные поля s, |
~ |
è z |
это выражение принимает вид |
|||
N |
||||||
~ |
r r |
~ |
||||
L ¢ |
= -8is2g¢N t × D/ g |
|||||
5N. |
||||||
N |
||||||
Поскольку s имеет ненулевое вакуумное среднее, возника-
ет вклад в пион-нуклонную константу связи и в gA, пропорциональный g¢. Отсюда значение gA = 1 не диктуется самой нарушенной SU(2) ´ SU(2) симметрией; включив взаимодействие (19.5.50) и подобрав g¢, можно придать gA любое значение.
Рассмотрим теперь, как использовать этот лагранжиан для расчета амплитуд реакций, включающих как пионы, так и нуклоны. Мы должны уделить особое внимание нуклонным пропагаторам, так как нуклон никогда не может быть «мягкой» частицей, как пион. Входящая в диаграмму нуклонная линия с 4-импульсом р порядка mN на массовой оболочке, которая затем в результате взаимодействий с мягкими пионами поглощает суммарный 4-импульс q, компоненты которого много меньше mN, будет иметь пропагатор
−i(p + q) + m |
N |
−ip + m |
N |
|||||
/ / |
¾¾¾® |
/ |
. |
(19.5.51) |
||||
(p + q)2 + mN2 |
q |
→ |
0 |
2p × q |
||||
(Отброшенные слагаемые можно учесть, если включить в нуклонный лагранжиан слагаемые с высшими производными.) Предположим снова, что все 4-импульсы внешних пионов имеют компоненты порядка не выше Q, и определим все перенормированные констаны связи в точках перенормировки порядка Q, так что интегралы сходятся таким образом, что внутренние пионные линии также имеют 4-импульсы Q. Тогда выражение (19.5.51) показывает, что внутренние нуклонные линии дают вклад порядка 1/Q. Произвольная фейнмановская диаграмма такого процесса будет вносить вклад в инвариантную амплитуду порядка Qν, где теперь
ν = å Vi bdi + 2mi g − 2Iπ − IN + 4L. |
(19.5.52) |
i |
Здесь Vi — число вершин, связанных с взаимодействием типа i, di — число производных в каждом таком взаимодействии, mi —
278 |
Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии |
число множителей с массами кварков в каждом взаимодейстии, Iπ è IN — числа внутренних пионных и нуклонных линий, соответ-
ственно, а L — число петель в диаграмме. Используем знакомые топологические соотношения для связных диаграмм:
L = Iπ + IN − å Vi + 1 |
(19.5.53) |
i |
|
è |
|
2IN + EN = å Vini , |
(19.5.54) |
i |
ãäå ni — число нуклонных полей во взаимодействии типа i, а ЕN — число внешних нуклонных линий. После исключения IN è Iπ получа-
åì
F |
ni |
I |
||||||
n = å Vi G di |
+ 2mi |
+ |
- 2J |
+ 2L - EN |
+ 2 . |
(19.5.55) |
||
i |
H |
2 |
K |
|||||
Здесь важно отметить, что коэффициент di + 2mi + 1ni – 2 |
в первом |
|||||||
слагаемом всегда положителен или равен нулю. Мы видели ранее, что для чисто пионных взаимодействий с ni = 0 сумма di + 2mi ³ 2, а изучение выражения (19.5.49) показывает, что для пион-нуклонных взаимодействий с ni = 2 è mi = 0 величина di ³ 1. Ясно, что всякое взаимодействие с ni = 2 è mi ³ 1 èëè ni ³ 4 имеет di ³ 2. Отсюда при Q n 2pFπ старшими являются вклады древесных
диаграмм (у которых L = 0), для которых все взаимодействия имеют
di + 2mi + ni - 2 = 0 2
Взаимодействия, удовлетворяющие этому условию, — как раз те, которые явно выписаны в лагранжианах (19.5.23), (19.5.34) и (19.5.49), плюс возможные взаимодействия с di = 0 è ni = 4
eNGαNjeNG |
Nj , |
(19.5.56) |
||||
~ ~ ~ |
α ~ |
|||||
ãäå Ga è Ga — любые матрицы в спиновом и изоспиновом простран-
стве, которые приводят к четырехфермионным взаимодействиям, инвариантным относительно преобразований Лоренца, пространственной инверсии и изотопического спина. Эти последние взаимодействия важны для многонуклонных процессов29, которые мы здесь рассматривать не будем.