Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

284 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

В этом порядке по q можно приближенно записать нуклонный пропагатор в первых двух слагаемых в квадратных скобках в виде

Выражение (19.5.67) можно дополнительно упростить, используя

соотношения qq/ / = q2 = 0,`ugμu = –p × q/mN è [ta,tb] = ieabctc. Кроме

того, в лабораторной системе (которая при малых q совпадает с системой центра масс) имеем p × q = –mNw, ãäå w º q0 – энергия

пиона в системе покоя нуклона. Наконец, стандартно нормированная амплитуда рассеяния вперед (квадрат модуля которой равен дифференциальному сечению рассеяния вперед) дается выражением (3.6.9) как f º –4p2wM. Собирая все эти результаты, получаем, что амплитуда рассеяния вперед пиона c энергией w дается в слу- чае w n mN выражением:

В частности, для p+-протонного рассеяния следует свернуть (19.5.68)

ñ vb*1va, ãäå vr – нормированный изовектор (1, i,0) / 2 , и положить t3 = + . Тогда амплитуда p+-протонного рассеяния вперед при низких

энергиях равна:

оставляющих инвариантными все вакуумные средние: для h Î Í

(Íå âñå èç y должны быть скалярами, но, конечно, только у скаля-

ров будут отличные от нуля вакуумные средние.) В примере, приведенном в начале предыдущего раздела, группой G была группа SO(4), поля yn реализовали 4-векторное представление этой груп-

пы, а их вакуумные средние нарушали SO(4) до подгруппы вращений H = SO(3), которые оставляли инвариантной четвертую ось. В общем случае поля yn могут реализовать не только неприводимое,

но и приводимое представление G, как это было в том случае, когда мы ввели нуклонные поля в предыдущем разделе.

Представим далее произвольную «точку» yn в полевом пространстве как преобразование G, действующее на поля ψ~ n , èç êî-

торых исключена безмассовая голдстоуновская мода:

m

Например, в предыдущем разделе g было SO(4) вращением, которое мы назвали R, а условие, которому удовлетворяли ψ~ n , заклю-

чалось в том, что первые три компоненты 4-вектора должны обращаться в нуль.

Чтобы сформулировать это условием в более общем виде, предположим, что мы имеем дело с вещественным представлением G. (В данном случае не происходит потери общности, т. к. мы не настаиваем на неприводимости представления, так что, если исходить из множества полей, образующих комплексное представление G, можно всегда взять yn равными действительным и мнимым

частям этих комплексных полей.) Как показано в разделе 19.2, безмассовые собственные векторы массовой матрицы являются просто независимыми линейными комбинациями векторов åm[tα]nmáym(0)ñVAC, ãäå tα — генераторы G. (Вещественность представления означает, что itα действительны, а тот факт, что группа

G компактна, означает, что представление можно выбрать унитарным, а, следовательно, ортогональным, так что генераторы tα мнимые и антисимметричные.) Тогда условие, что ψ~ n не содержит гол-

дстоуновских мод, можно сформулировать в виде

nm

Число независимых условий равно разности размерностей группы G и той подгруппы Н, генераторы которой обращают в нуль áym(0)ñVAC.

Как и в предыдущем разделе, те голдстоуновские бозоны, поля которых устраняются указанным образом, вновь появляются в dim(G) - dim(H) полях, необходимых для параметризации преобразования gnm(x). В общем случае, поля ψ~ n включают все тяжелые поля в

теории, в том числе те (типа нуклонов в предыдущем разделе), которые имеют иные по сравнению с голдстоуновскими бозонами свойства относительно пространственно-временных симметрий.

Необходимо показать, что мы всегда можем выбрать преобразование gnm(x) так, чтобы удовлетворить условию (19.6.4). Для

этого рассмотрим величину

где g пробегает по всей группе G в вещественном ортогональном представлении, реализованным полями yn. Очевидно, что эта вели-

чина есть непрерывная действительная функция g, и поскольку группа компактна, Vψ(g) к тому же является ограниченной функцией g. В каждой пространственно-временной точке x величина Vψ(x)(g)

достигает поэтому максимального значения для какого-то элемента группы, который мы назовем g(x). Ïðè g = g(x) функция Vψ(x)(g)

должна быть стационарной по отношению к произвольным вариациям g. Но любой бесконечно малый сдвиг элемента группы g можно всегда записать как линейную комбинацию

δg = iå εαgtα ,

α

с действительными инфинитезимальными коэффициентами eα, которые могут зависеть от g. Следовательно, условие, что Vψ(x)(g) стационарно по отношению к вариациям dg ïðè g = g(x) имеет вид

0= dVψ(x) bg(x)g = iå eα å yn (x) g nl (x) tlmα ym (0) VAC

αnml

288 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

Это должно выполняться для всех вариаций, следовательно, для

тельной и мнимой частей. Если множество полей c(x) преобра-

зуется по какому-то комплексному представлению группы G с эрмитовыми генераторами Tα, то в действительном представлении

Тогда условие (19.6.4) можно непосредственно записать через Tα è c(x) â âèäå

Imd~c(x)†Tα ác(0)ñVAC i = 0.

Поскольку предполагается, что лагранжиан всего лишь инвариантен относительно независящих от пространственно-временных координат преобразований G, оказывается, что после преобразования (19.6.3) он становится зависящим от g(x) è îò ψ~(x) , хотя всегда в каждом зависящем от g слагаемом есть по меньшей мере одна

производная. Как отмечалось, зависящие от пространственно-вре- менных координат параметры, необходимые для конкретизации g(x),

играют роль полей голдстоуновских бозонов. Теперь нам следует рассмотреть, как параметризовать g(x).

С самого начала следует заметить, что выбор g в (19.6.3) в общем случае неоднозначен. Так как áyn(0)ñVAC инвариантно относительно Н в смысле выражения (19.6.2), величина Vψ(g), определен-

ная соотношением (19.6.5), инвариантна относительно правого умножения g на любой элемент h ненарушенной подгруппы Н: