Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

где u —дираковский спинор, нормированный условием`uu = 1. Напротив, диаграмма на рис. 19.3, в дает вклад в М порядка mπ. Эту амплитуду можно записать как 2 ´ 2 матрицу по нуклонным

изоспиновым индексам:

ãäå q¢ и q — конечный и начальный 4-импульсы пионов, b и a —

соответствующие изовекторные индексы. Используя (19.5.57) и урав-

имеет в1состояниях с полнымH изоспином Т собственные значения, равные1 [Ò(Ò +G 1) – 2 – ], так что в двух изоспиновых состояниях с Т = и Т = инвариантные амплитуды равны 30

M1/2 = 4mπ Fπ2 , M3/2 = -2mπ Fπ2 .

Обычно эти результаты выражаются через длины рассеяния, которые определяются как инвариантные амплитуды, деленные на

4π(1 + mπ mN):

Эти выражения находятся в разумном согласии с экспериментальными значениями12 a1/2 =(0,173 ± 0,003)mπ–1 è a3/2 = (–0,101 ± 0,004)mπ–1. (Предполагается, что результаты (19.5.59) и (19.5.60)

должны быть справедливы только в низшем порядке по отношению mπ/mN, но мы удерживаем множитель 1 + mπ/mN, òàê êàê îí

возникает просто от определения длин рассеяния.)

Поправки к длинам рассеяния следующего порядка по mπ

возникают из разных источников. Прежде всего, это диаграммы

борновского приближения рис. 19.3, а, б, которые номинально старшего порядка, но, как мы видели, подавлены на пороге дополнительным множителем mπ/mN. Есть дополнительные древес-

ные диаграммы, содержащие вершину с двумя производными. Особый интерес представляют древесные диаграммы, содержащие вершины без производных, которые возникают от нарушающего симметрию взаимодействия, пропорционального mπ2. Ñâîé-

ства киральных и пространственно-временных преобразований этих взаимодействий должны совпадать со свойствами операторов в (19.4.34), которые являются четвертой и третьей компонетами двух различных киральных 4-векторов Fn+ è Fn–. Åñòü äâà

очевидных кандидата в такие операторы, являющеся билинейными формами по нуклонным полям: F4+-слагаемое

вращения, так что они не могут смешивать скалярные и псевдоскалярные нуклонные билинейные формы. Следовательно реально су-

и два независимых F4– оператора

В следующем разделе мы покажем, что это единственные операторы со свойствами преобразований слагаемых в (19.4.34), которые билинейны по нуклонным полям. Операторы (19.5.62) и (19.5.64) оче- видно обеспечивают сохраняющие и нарушающие изоспин поправки к формуле Голдбергера–Треймана для пион-нуклонной константы связи. Два других оператора (19.5.61) и (19.5.63) непосредственно дают вклад как в массу нуклона, так и в пион-нуклонное рассеяние при низких энергиях. Из их вкладов в массу нуклона мы видим, что

эти последние слагаемые входят в эффективный лагранжиан в форме r

(с заменой z на стандартно нормированное пионное поле):

ãäå dmp è dmn — вклады слагаемых с кварковыми массами (19.4.34)

в массы протона и нейтрона. Это дает вклад в амплитуду пионнуклонного рассеяния (снова записанную как матрица в изоспиновом пространстве нуклона)

Первое слагаемое в (19.5.65) часто называют «s-членом». Второе слагаемое — нарушающая изоспин поправка к s-члену, прояв-

ляющаяся только в процессах с участием нейтральных пионов типапроцессов с перезарядкой p+ + n → p0 + p è p– + p ® p0 + n. Õîòÿ

и невозможно непосредственно измерить сдвиги масс нуклонов δmp,n,

мы увидим в раделе 19.7, что SU(3) симметрия позволяет вычислить их разность из разности масс гиперонов. Это дает δmp – δmn = –2,5

МэВ. К сожалению, мы до сих пор не имеем надежной теоретической оценки коэффициента δmp + δmn в первом слагаемом в (19.5.65).

Выражение (19.3.34) показывает, что в квантовой хромодинамике коэффициенты δmp + δmn è δmp – δmn в (19.5.66) пропор-

циональны соответственно mu + md è mu – md. В разделе 19.7 мы увидим, что mu è md совершенно не вырождены, так что эти коэффициенты примерно того же порядка величины; нарушающие изоспин поправки к σ−члену не многим меньше, чем сам σ-÷ëåí.

Мы опять видим, что причиной того, что сохранение изоспина является столь хорошим приближением в адронной физике, является совсем не то, что массы u- и d-кварков почти равны, а просто то, что они малы.

Использование лагранжианов типа (19.5.19) или (19.5.49) является одним из примеров применения метода эффективных теорий поля, уже введенного в разделе 12.3. Аналогичная техника использовалась для рассмотрения мезонных и баронных взаимодействий, включающих странные частицы (см. раздел 19.7), взаимодействий кварков и лептонов при энергиях ниже шкалы нарушения электрослабой симметрии (см. раздел 21.3), и даже для рассмотрения сверхпроводимости (см. раздел 21.6). Во всех этих случаях эффективные теории поля позволяют наиболее удобным способом рассматривать следствия симметрий и исходных общих принципов квантовой теории поля.

* * *

Комбинация низкоэнергетических теорем, следующих из нарушенных симметрий, с дисперсионными соотношениями позволяет получить полезные правила сумм. Покажем, как это происходит в случае киральной симметрии, если пренебречь малыми массами кварков u и d и массой пиона. Рассмотрим рассеяние вперед безмассового пиона с изовекторным индексом a и 4-импульсом q на нуклоне с 4-импульсом р, в результате которого возникает пион с изовекторным индексом b. Амплитуда рассеяния М, определенная

формулой Sfi = –2πiδ4(Pf – Pi)Mfi, в первом порядке по q опре-

деляется фейнмановскими диаграммами рис. 19.3: