ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 5176
Скачиваний: 6
Приложение. Поток импульса: общий случай |
387 |
Приложение. Поток импульса: общий случай
В этом приложении мы рассмотрим асимптотическое поведение амплитуды в произвольной перенормируемой квантовой теории поля в ситуации, когда импульсы любого множества из двух или более внешних линий становятся большими, учтя при этом операторы, содержащие произведения произвольного числа полей и их производных с размерностью, ограниченной предельным значением N. Чтобы решить задачу, необходимо ввести более компактные, чем в разделах 20.1. и 20.2, обозначения. Буквы l, l′ и т. д. будут
обозначать множество внешних линий i определенных сортов, которые либо входят в фейнмановскую диаграмму или ее часть, либо выходят из нее. Буквы k, k′ и т. д. будут обозначать множество 4-
импульсов ki этих линий, подчиненных условию, что их сумма равна определенному фиксированному значению р. Амплитуда Γll′(k, k′, p) есть сумма всех диаграмм с множеством l входящих линий, несущих 4-импульсы k, и множеством l′ выходящих линий, несущих 4-импульсы k′, включая конечные голые пропагаторы для множества линий l, но не l′.
Как следует из теоремы об индексе диаграммы 3, упоминавшейся в разделе 12.1, та часть области интегрирования, в которой
импульсы порядка k протекают только через поддиаграммму с внешними линиями l и l′′, дает вклад в Γll′(k, k′, p) порядка kd(l,l′′), ãäå d(l, l′′) — (массовая или импульсная) размерность этой поддиаг-
раммы:
d(l, l′′) = 4 − å (1 + si ) − å(2 − 2si ) . |
(20.À.1) |
|
i l,l′′ |
i l |
|
(Последнее слагаемое в (20.А.1) возникает из-за пропагаторов для линий из множества l.) Удобно переписать формулу (20.А.1) в виде
d(l, l′′) = 4 − 4n(l) − N(l′) + N(l), |
(20.À.2) |
где n(l) — число линий в множестве l, а N(l) — полная размерность полей для этих линий:
n(l) ≡ å1, |
N(l) ≡ å (si + 1) . |
(20.À.3) |
i l |
i l |
388 |
Глава 20. Операторные разложения |
Здесь si — «спин» линии сорта i в смысле, использованном в разделе 12.3: размерность поля сорта i равна 1 + si, а голый пропагатор такого поля ведет себя как k−2+2si . (Для скаляров и калибровочных
бозонов si = 0, для частиц спина 1/2 si = 1/2.)
Учитывая асимптотическое поведение, связанное с этими поддиаграммами, мы хотим показать, что при k ® ¥ (все компоненты
устремляются к бесконечности вместе по общим направлениям) и фиксированных k¢ и р, асимптотическое поведение Gll′(k, k¢, p) â
каждом порядке теории возмущений имеет вид
(N) |
|
Gll′ (k, k¢, p) = å UOl (k)FO ,l′ (k¢, p) + ock4 |
− 4n(l) + N(l) − N h , (20.À.4) |
O |
где сумма берется по операторам O размерности N(O) £ N, функция UOl порядка k4+N(l)−4n(l)−N(O), à o(kA) означает слагаемые, обращающие-
ся в нуль быстрее (по крайней мере, на один множитель 1/k), чем степень kA.
Чтобы изолировать вклад операторов размерности £ N, определим «N-неприводимую» амплитуду IllN′ (k, k′, p) как сумму всех диаграмм для Gll′(k, k¢, p), в которых линии из множества l не могут быть отделены от линий множества l¢ путем разрезания любого множества l¢¢ внутренних линий с N(l¢¢) £ N. Поскольку разность G - IN
содержит диаграммы, которые можно разъединить указанным способом, то эту разность можно записать в виде
(N)
Gll′ (k, k¢, p) - IllN′ (k, k¢, p) = å z dk¢¢IllN′′ (k, k¢¢, p)Gl′′l′ (k¢¢, k¢, p) , (20.À.5)
l′′
ãäå å(lN′′ ) означает сумму по множествам l¢¢ линий частиц с N(l¢¢) £ N, à z dk¢¢ — интеграл по компонентам 4-импульсов частиц в множестве l¢¢, подчиненных ограничению, что сумма этих импульсов рав-
íà ð.
Асимптотическое поведение ядра IlN,l′′ (k, k¢¢, p) много проще, чем поведение Gll′′(k, k¢¢, p). Ïðè k ® ¥ и фиксированных k¢¢ è ð îíî
определяется той частью области интегрирования, где каждая внутренняя линия несет импульс порядка k, что приводит к асимпототическому поведению kd(l,l′′), поскольку слагаемые, в которых толь-
ко некоторая подобласть имеет такие большие импульсы, должны быть связаны с остальной частью диаграммы мостом l¢¢¢ линий
390 |
Глава 20. Операторные разложения |
||||
множителя на полином Pl′′ν (k′′) |
порядка ν ≤ N − N(l′′) |
обращается в |
|||
нуль быстрее, чем (k¢¢)4−4n(l′′) , что приводит к конечному интегралу |
|||||
ïî 4(n(l′′) − 1) |
независимым компонентам k¢¢ *. |
||||
Следовательно можно в этом слагаемом использовать форму- |
|||||
лу (20.А.6), и в результате |
|||||
Γll′ |
(k, k¢, p) → |
å |
IllN′ν (k)Pl′ν (k¢, p) |
||
ν:dν +N(l′)≤N |
|||||
(N) |
|||||
+ å |
å |
IllN′′ν (k)z dk¢¢Pl′′ν (k¢¢, p) |
|||
l′′ ν:dν +N(l′′)≤N |
|||||
L |
(N) |
O |
|||
´ MGl′′l′ (k¢¢, k¢, p) - å UOl′′ (k¢¢)FO ,l′ (k¢, p)P |
(20.À.8) |
||||
N |
O |
Q |
|||
(N) |
(N) |
||||
+ å FO ,l′ (k¢, p) å z dk¢¢IllN′′ (k, k¢¢, p)UOl′′ (k¢¢) , |
|||||
O |
l′′ |
||||
причем поправка меньше, чем выписанные слагаемые, на множитель 1/k. (Конечно, первое слагаемое в правой части (20.А.8) присутствует только при N(l¢) £ N.)
Далее, для каждого значения l и n, причем dν + N(l) £ N,
существует такой оператор O, содержащий произведения полей, отвечающих линиям в l, и dν производных, что в нулевом порядке
теории возмущений вершинная функция с входящим импульсом р, который несет оператор O, и исходящими импульсами k, уносимыми внешними линиями l, является полиномом Plν(k, p). Тогда соот-
ветствующая полная вершинная функция для перенормированного оператора O R = åO 'ZO,O 'O ' равна
FO ,l (k, p) = å ZO, O ′ ndlO ′ ,lPlνO ′ (k, p) + z dk¢PlO ′ νO ′ (k¢, p)GlO ′l (k¢, k, p)s , (20.À.9)
O ′
* Здесь не учтена возможность, что даже если подсчет индекса указывает на сходимость интеграла во втором слагаемом в правой части (20.А.7) по области, где все k¢¢ стремятся вместе к бесконечности, при n(l¢¢) ³ 3 подин-
тегрирования могут расходиться. По этой причине приведенные в приложении доводы не являются доказательством операторного разложения, за исключением рассмотренного в разделе 2.2 простого случая, когда импульсы только двух внешних линий устремлялись к бесконечности, и мы искали слагаемые в степенном разложении, связанные с операторами, квадратичными по полям.