Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Мы увидим, что gn отрицательно, так что решение есть

Вычисление (20.7.5) в стационарной точке приводит при n → ∞ * ê

выражению

** Здесь символ «d» следует интерпретировать как означающий «асимптотически равно с точностью до постояннûõ ìножителей и степеней n». Эти множители возникают от множителя 12πn в формуле Стирлинга для (n + 1)!, от отношения (n + 1)! и n!, и от интеграла по флуктуациям g и ϕ(x)

вокруг стационарной точки. Поскольку мы не собираемся вычислять множители, возникающие от последнего источника, не имеет смысла удерживать и множители от первых двух источников.

Поэтому ведущей особенностью B(z) является полюс при z = z1, ãäå

Поскольку это выражение отрицательно, оно не препятствует проведению интегрирования в формуле (20.7.3). Чтобы вычислить положение полюса (20.7.15), заметим, что уравнение поля имеет решение

ãäå r = (xixi)1/2 и а — произвольный параметр. Это решение уравнения поля есть элементарный пример «инстантонного» решения, которое будет обсуждаться в разделе 23.5. (Такие решения называются инстантонами, поскольку вместо того, чтобы концентрироваться вдоль мировой линии, они концентрируются в окрестности точки в пространстве-времени, в данном случае — в окрестности начала координат.) К счастью, положение полюса не зависит от а:

Мы видим, что ряд теории возмущений для B(z) можно использовать в формуле (20.7.3), если g n 16π2. Åñëè g/16π2 порядка или

больше единицы, мы все еще можем вычислить B(z) с помощью ряда теории возмущений для (z + 16π2)B(z).

В разделе 23.5 мы увидим, что в неабелевых калибровочных теориях типа квантовой хромодинамики, существуют инстантонные решения, однако они приводят к сравнительно безобидным особенностям B(z) на отрицательной действительной оси. Реальная проблема в квантовой хромодинамике связана с другим классом особенностей, известных как ренормалоны 21. Они впервые были обнаружены после того, как стало понятно 22, что отдельные диаграммы 2n-го порядка, типа показанной на рис. 20.3, могут давать индивидуальные вклады, растущие как n!, и поэтому согласно выражени. (20.7.2) могут приводить к дополнительным особенностям B(z). (В данном конкретном случае особенность известна как инфракрасный ренормалон, поскольку он возникает от виртуальных

Рис. 20.3. Одна из класса N-петлевых диаграмм, вклад которых растет как N!. Сплошные линии — фермионы, волнистые линии — калибровочные бозоны

импульсов, много меньших тех, которые используются для определения бегущей константы связи gμ квантовой хромодинамики.) К

счастью, для определения положения инфракрасных ренормалонов можно использовать операторное разложение, не обращаясь к отдельным фейнмановским диаграммам.

В качестве простого, но важного примера рассмотрим сумму ∏αβμν (q) всех вакуумных диаграмм квантовой хромодинамики со вставками 4-векторных токов Jαμ è Jβν , вносящих в диаграмму и уносящих из нее 4-импульс q. (Величина Πμν(q) определяет адронный вклад

в электрослабую поляризацию вакуума, а ее мнимая часть связана с сечением аннигиляции е+å− и электрон−антинейтрино в адроны.)

Как мы видели в разделе 20.5, вклады в эту сумму оператора 1 ведут себя как q2 (фурье-образ x−6), вклады оператора FαμνFαμν ведут себя как q−2, вклады четырехфермионных операторов ведут себя как q−4, и т. д. (Например, вклад оператора FαμνFαμν возникает от

диаграмм типа рис. 20.3 с текущим по цепочке пузырей импульсом, много меньшим импульса q.) Из размерного анализа следует, что эти зависящие от импульса множители должны сопровождаться вакуумными матричными элементами, пропорциональными Λ0, Λ4, Λ6 и т. д. Но если вычислить фейнмановские диаграммы, используя бегущую константу, определенную на масштабе μ . Λ, ãäå êîí-

станты связи малы, то согласно формуле (18.7.7)