Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

разложение произведения “ψ(0)ψ(0) с коэффициентными фун-

кциями, которые (как можно судить на основании теории возмущений) сингулярны и не исчезают при x → 0. Опишите, как

вы стали бы вычислять эти коэффициентные функции в однопетлевом приближении.

2.Рассмотрите квантовую хромодинамику с N безмассовыми кварками, и определите спектральные функции скалярных и псевдоскалярных билинейных ковариантов формулами

å áVAC| y(0)lα y(0)| VACñáVAC| y(0)lβy(0)| VACñ*

N

= (2π)−3 θ(p0)ραβS (−p2) ,

å áVAC| y(0)g 5lα y(0)| VACñáVAC| y(0)g 5lβy(0)| VACñ*

N

= (2π)−3 θ(p0)ραβP (−p2) ,

ãäå lα — полный набор бесследовых эрмитовых матриц N × N, нормированных так, что Tr{lαlβ} = 2δαβ. Какие правила сумм

для спектральных функций удовлетворяются линейными комбинациями ραβS (μ2 ) è ραβP (μ2 ) ?

3.Выведите соотношение (20.6.8) в партонной модели из формул (8.7.7) и (8.7.38) для комптоновского рассеяния.

4.Перечислите калибровочно инвариантные бесследовые тензоры твиста четыре в квантовой хромодинамике.

5.В безмассовой скалярной теории поля с взаимодействием −gϕ4/24 (g > 0) определите, где в комплексной плоскости мож-

но ожидать появления у функции (20.7.3) особенностей типа ренормалонов?

Список литературы

1.Wilson, K., Phys. Rev. 179, 1499 (1969).

2.Zimmermann, W., in Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory — 1970 Brandeis University Summer Institute in Theoretical Physics, eds. S. Deser, H. Pendleton, and M. Grisaru (MIT Press, Cambridge, 1970).

3.Weinberg, S., Phys. Rev., 118, 838 (1960).

4.Bernard, C., Duncan, A., LoSecco, J., and Weinberg, S., Phys. Rev., D12, 792 (1975).

5.Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 18, 507 (1967). Общий случай см. [4].

6.Kawarabayashi, K. and Suzuki, M., Phys. Rev. Lett., 16, 255 (1966); Riazuddin and Fayyazuddin, Phys. Rev., 147, 1071 (1966).

7.Ademollo, M., Veneziano, G., and Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 22, 83 (1969).

8.Donoghue, J.F. and Golowich, E., Phys. Rev., D49, 1513 (1994).

9.Этот результат был доложен на Рочестерской конференции 1968 г. в Вене и опубликован в работах: Bloom, E.D. et al., Phys. Rev. Lett., 23, 930 (1969); Breidenbach, M. et al., Phys. Rev. Lett., 23, 935 (1969).

10.Bjorken, J.D., Phys. Rev., 179, 1547 (1969).

11.Feynman, R.P., Phys. Rev. Lett., 23, 1415 (1969); Photon-Hadron Interactions (Benjamin, New York, 1972).

12.Callan, C.G. and Gross, D.J., Phys. Rev. Lett., 22, 156 (1969). Следует предупредить читателей, что символ ω в работе Каллана и Гросса в используемых здесь обозначениях есть 2/ω.

13.Gross, D.J. and Treiman, S., Phys. Rev., D4, 1059 (1971).

14.Christ, N., Hasslacher, B., and Mueller, A.H., Phys. Rev., D6, 3543 (1972).

15.Altarelli, G. and Parisi, G., Nucl. Phys., B126, 298 (1972).

16.Georgi, H. and Politzer, H.D., Phys. Rev., D9, 416 (1974).

17.Gross, D.J. and Wilczek, F., Phys. Rev., D9, 980 (1974).

18.Dyson, F.J., Phys. Rev., 85, 631 (1952).

19.См. , например: Hardy, G.H., Divergent Series (Oxford University press, Oxford, 1949).

20.Lipatov, L.N., Leningrad Nuclear Physics Institute report, 1976 (unpublished); Proc. of the XVIII Int. Conf. on High Energy Physics at Tbilisi, 1976.

21.′t Hooft, G., in The Whys of Subnuclear Physics — Proc. of the

1977 Erice Summer School, ed. by A. Zichichi (Plenum, New York, 1978). Сборник работ по ренормалонам и высоким порядкам терии возмущений см.: Large Order Behavior of Perturbation Theory, eds. J.C. Le Guillou and J. Zinn-Justin (North Holland, Amsterdam, 1990). Дальнейшие работы по инфракрасным ренормалонам: Mueller, A.H., Phys. Lett., B308, 355 (1993); Nucl. Phys., B250, 327 (1995), Duncan, A. and Pernice, S., Phys. Rev., D51, 1956 (1995) и цитированные там работы.

22.Lautrup, B., Phys. Lett., 76B, 109 (1977).

21

Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Поначалу казалось, что доказанная в 1961 году теорема 1 о том, что нарушенная симметрия влечет появление безмассовых голдстоуновских бозонов спина нуль, является серьезным основанием для поиска нарушенных симметрий в природе. Несколькими годами спустя рядом авторов было отмечено уже упоминавшееся в разделе 19.2 исключение из этой теоремы: если нарушенная симметрия не глобальна, а локальна, то голдстоуновские бозоны отсутствуют 2. Соответствующие степени свободы проявляются как связанные с нарушенной локальной симметрией состояния векторных частиц нулевой спиральности, приобретающие поэтому массу. Это явление, общеизвестное сейчас как механизм Хиггса, не было сначала сразу использовано в какой-то реалистической теории, возможно, потому, что в середине 1960-х годов стало ясно, что пион является голдстоуновским бозоном спонтанно нарушенной приближенной симметрии, и поэтому попыткам избежать появления голдстоуновских бозонов стали уделять меньше внимания. Однако вскоре оказалось, что спонтанно нарушенные локальные симметрии обеспечивают естественную основу для понимания слабых и электромагнитных взаимодействий элементарных частиц 3.

21.1. Унитарная калибровка

Мы видели в гл. 19, что в теории с глобальной группой симметрии G, которая спонтанно нарушается до подгруппы Н, для каждой независимой нарушенной симметрии существует безмассо-

соответственно условия ∂μAμ = 0 или С•A = 0, но с тем же успехом можно выбрать калибровку, наложив условие на ϕ, например, потребовав, чтобы ϕ было действительным, или, иначе говоря, повернув 2-вектор {Reϕ, Imϕ} в направлении первой оси.)

Калибровка, определенная условием (21.1.2), называется унитарной калибровкой 3à, т. к. в этой калибровке будет очевидно, что в теории отсутствуют любые степени свободы с отрицательной вероятностью типа времениподобных калибровочных бозонов. Выражаясь более общо, унитарная калибровка делает очевидным меню физических частиц в теории.

Из условия (21.1.2) видно, что в унитарной калибровке нет полей голдстоуновских бозонов. Поскольку теория калибровочноинвариантна, это означает, что в любой калибровке, какую бы мы не выбрали, отсутствуют физические голдстоуновские бозоны. Что можно сказать о векторных бозонах? Если ϕn — элементарные канонически нормированные скалярные поля ϕn, лагранжиан бу-

дет содержать слагаемое

ãäå tα принимает значения всех генераторов калибровочной группы

G. (С этого момента будем опускать тильды, понимая при этом, что везде в данном разделе мы работаем в унитарной калибровке.) Мы предполагаем, что симметрия G нарушена вакуумным средним vn ïîëÿ ϕn, поэтому, чтобы понять происхождение спектра частиц, определим сдвинутое поле ϕ′:

(Иногда удобно задавать vn в формулах (21.1.2) и (21.1.4) как среднее по вакууму в древесном приближении. Чтобы породить приемлемую теорию возмущений, необходимо всего лишь, чтобы vn согласовывалось с истинным средним по вакууму в низшем порядке.) Разлагая выражение (21.1.3) до второго порядка по ϕ′ и А, имеем