Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

даментального масштаба ненарушенной калибровочной группы, состоящей из SU(3) × SU(2) × U(1) группы сильных и электросла-

бых взаимодействий, а также техницветовой калибровочной группы, причем со сравнимыми по величине малыми константами связи всех взаимодействий. Если техницветовые калибровочные взаимодействия асимптотически свободны, техницветовая константа связи, точно так же, как цветовая константа КХД, будет медленно расти с уменьшением энергии и станет сильной при энергиях, много меньших фундаментального масштаба. Та энергия, при которой техницветовая константа связи становится большой, будет устанавливать масштаб параметров Fab, входящих в формулу (21.4.32) для масс калибровочных бозонов, и поэтому предположительно должна быть порядка 300 ГэВ. Поскольку с уменьшением энергии константа растет логарифмически, небольшая разница в значении бета-функций для техницвета и цвета без труда может породить разницу в три порядка тех энергетических масштабов, при которых цветовые и техницветовые взаимодействия становятся сильными.

К сожалению, хотя техницвет дает очень привлекательную картину спонтанного нарушения SU(2) × U(1), îí ñàì ïî ñåáå íå

предлагает механизма придания масс кваркам и лептонам. По этой причине предлагалось добавить дополнительные калибровочные взаимодействия «расширенного техницвета» с преобразованиями, связывающими кварки и техникварки 31. У таких теорий существуют потенциальные проблемы с меняющими аромат нейтральными токами слабых взаимодействий. Хотя эти проблемы можно преодолеть, дополнительные усложнения сводят на нет привлекательность модели. Вопрос о том, что лучше — элементарные слабо связанные скаляры или динамическое нарушение симметрии — остается открытым.

21.5.Объединение электрослабых и сильных взаимодействий

Âразделе 15.2 мы видели, что для каждой простой или U(1) подгруппы калибровочной группы в калибровочную теорию входит

независимая константа связи. Таким образом, электрослабая теория, основанная на калибровочной группе SU(2) × U(1), содержит две независимые константы g и g′. Для того, чтобы уменьшить

SU(3)-генератор 1gsλ3 имеет собственные значения: +1gs äëÿ

красных1 кварковых дублетов и белых антикварковых синглетов;

– gs для белых кварковых дублетов и красных антикварковых синглетов; нуль для всех остальных левых фермионов. Поэтому след от квадрата этого генератора равен

SU(2)-генератор t3 имеет собственные значения: 11g для красных, белых и синих кварков зарядом 2/3 и нейтрино; – g для красных, белых и синих кварков зарядом –1/3 и заряженных лептонов; нуль для всех остальных фермионов. Поэтому след от его квадрата равен

Наконец,1 U(1)-генератор y = t3 – q имеет собственные значения: g′ для нейтрино5 и заряженных лептонов;B –g′ для заряженных антиB- лептонов;2 – g′ для кварков; g2′ для антикварков зарядом – ;

– g′ для антикварков зарядом + , так что квадрат этого генерато-

ра имеет след

Из соотношения (21.5.1) вытекает, что следы (21.5.2)–(21.5.4) равны друг другу, поэтому в данном классе моделей погружение SU(3) × SU(2) × U(1) в простую группу Ли влечет за собой соотношения между

константами:

Соотношения (21.5.5) находятся в разительном противоречии с наблюдаемыми значениями констант связи. Из полученного отношения g′2 / g2 = 3 / 5 следует значение электрослабого угла смешива-

442 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

ния, для которого sin2 θ ≡ g′2 / (g2 + g′2 ) = 38 ,, в то время как экспериментальное значение равно sin2θ = 0,231. Хуже того, сильная константа gs2, конечно, много больше чем g2 èëè g′2.

Решение этой проблемы 36 состоит в том, что соотношения между константами связи типа (21.5.5) применимы только к константам, измеренным при масштабе энергий, сравнимом с типич- ной массой М калибровочных бозонов 47, которые становятся массивными при спонтанном нарушении простой калибровочной группы до группы SU(3) × SU(2) × U(1). Если энергия Е, при кото-

рой измерены константы связи, много меньше М, то возникнут большие радиационные поправки к значениям констант, пропорциональные ln(M/E).

Как подчеркивалось в гл. 19, в соотношение, связывающее константы связи, измеренные при близких энергиях μ è μ – dμ, íå

входят большие логарифмы, поэтому, интегрируя это соотношение от М на верхнем пределе до Е на нижнем, мы можем вычислить константы при энергиях Е n М, не сталкиваясь с большими логарифмами. Чтобы сделать это, необходимо лишь, чтобы константы оставались малыми во всем этом интервале. Для SU(3) × SU(2) × U(1) констант с ng фермионными поколениями из соотноше-

ния (18.7.2) следует *:

* Второе слагаемое в скобках в уравнениях (21.5.6) и (21.5.7) определяется уравнениями (18.7.2) и (18.7.3) как равное –nf/6, ãäå nf — число фермионов в фундаментальном представлении соответствующих SU(N) калибровочных групп. Однако это было вычислено при предположении, что левые

èправые фермионы находятся в одном и том же представлении калибровочной группы. Если подсчитать только левые фермионы (и антифермионы), то второе слагаемое в скобках в (21.5.6) и (21.5.7) должно равняться –

nf/12. В случае SU(3) в каждом поколении имеются два левых кварковых и два левых антикварковых триплета, так что nf = 4ng, в то время, как в случае SU(2) в каждом поколении имеются три левых кварковых дублета

èодин левый лептонный дублет, так что опять nf = 4ng. Для U(1) бетафункция равна произведению g'/24π2 на сумму квадратов U(1) зарядов для

левых фермионов и антифермионов (ср. с (18.2.38)), что согласно (21.5.4) равно (g'/24π2) × (10ngg'2/3).