ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 5198
Скачиваний: 6
434 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии
янг-миллсовское слагаемое (21.4.26) и возможные нарушающие симметрию члены без производных второго порядка по eaA.
Чтобы понять физическое значение поля ξa, заметим, что линейное слагаемое в Daμ имеет вид
(Daμ)LIN = ∂μξa − å eαaAαμ . |
(21.4.29) |
α |
Как показано в приложении к этой главе, всегда можно выбрать «унитарную калибровку», в которой для всех α
å Fab2 ξaeαb = 0, |
(21.4.30) |
ab |
в результате чего перекрестное слагаемое в (21.4.28) исчезает. Чтобы прояснить важность этого условия, заметим что в частном слу- чае, когда все нарушенные симметрии являются калибровочными, любое ξa можно записать как линейную комбинацию калибровоч-
ных генераторов и ненарушенных генераторов:
xa = å caα Tα + å caiti
αi
F |
å eαbxb |
I |
+ å caiti , |
||
= å caα G |
+ å eαiti J |
||||
α |
H |
a |
i |
K |
i |
и поэтому
å caαeαb = δab .
α
Сворачивая условие (21.4.30) с cab, видим, что тогда ξa = 0: в такой
калибровке вообще нет голдстоуновских бозонов. В более общем случае условие (21.4.30) оставляет только те голдстоуновские бозоны, которые не соответствуют калибровочным симметриям. Некоторые из них связаны с элементами G, нарушающимися калибровочными взаимодействиями и поэтому имеющими массы второго порядка по калибровочным константам связи. Их называют псевдоголдстоуновскими бозонами.
21.4. Динамически нарушенные локальные симметрии |
435 |
Если выбрать ξ так, чтобы удовлетворялось условие уни-
тарной калибровки (21.4.30), то квадратичная часть лагранжиана (21.4.28) равна просто
(Lξ )QUAD |
= − 1 å Fab2 ∂μξa∂μξb |
− |
1 |
å μ2αβAαμ Aβμ , |
(21.4.31) |
2 ab |
2 |
αβ |
|||
ãäå |
μ2αβ = å Fab2 eαaeβb . |
||||
(21.4.32) |
|||||
ab |
|||||
Отсюда вытекают два важных вывода. Во-первых, заметим, что ξa можно выразить через канонически ортонормированное поле πa â âèäå
ξa = å Fab−1πb , |
(21.4.33) |
b |
ãäå Fab — положительный квадратный корень из положительной матрицы Fab2 . Это показывает, что Fab−1 — множители, аналогичные Fπ−1, которые сопровождают испускание и поглощение голдстоуновских бозонов низкой энергии. Во-вторых, поскольку Aαμ áûëî
определено как канонически нормированное векторное поле, из выражения (21.4.31) следует, что μαβ2 — квадрат массовой матри-
цы векторного бозона. Выражение (21.4.32) является универсальной формой для квадрата массовой матрицы векторного бозона, справедливой до второго порядка по калибровочным константам связи, но при этом во всех порядках по всем остальным взаимодействиям. Используя выражение (21.4.1) в формуле (21.1.7), легко увидеть, что наш предыдущий результат (21.1.7) есть частный случай формулы (21.4.32), в которой
Fab2 = − å (xa )nm (xb )nl vmvl .
nml
Формулу (21.4.32) можно также понимать на основе соображений непрерывности, обрисованных (в несколько иных обозначе- ниях) в конце раздела 21.1. Она гарантирует, что эффекты обмена калибровочным бозоном, выживающие в пределе нулевой калибровочной константы связи, совпадают с эффектами, которые возникли бы от обмена голдстоуновским бозоном, если бы не было калибровочных констант.
21.4. Динамически нарушенные локальные симметрии |
437 |
Согласно формуле (21.4.32), квадрат массовой матрицы калибровочных бозонов имеет, таким образом, неисчезающие элементы
μ2 |
= μ2 |
= g2F2 |
, |
μ2 |
= g2F2 |
, |
11 |
22 |
C |
33 |
N |
||
μ32y = gg′FN2 , |
μ2yy = g′2FN2 . |
|||||
Ее собственные значения равны |
|||||||||
m2 |
= g2F2 |
, |
m2 |
= (g2 |
+ g′2 )F2 |
, |
m2 |
= 0. |
(21.4.35) |
W |
C |
Z |
N |
A |
|||||
Чтобы продвинуться дальше, необходимо соотношение, связывающее FC è FN. Оно возникает при условии,1 что в пределе g = g′ = 0 теория инвариантна относительно большей, чем SU(2) × U(1),
глобальной группы симметрии G, которая спонтанно нарушается до подгруппы Н, включающей трехмерные вращения, относительно которых преобразуется как 3-вектор. Из наличия такой ненарушенной симметрии следовало бы, что пропорционально δab, è ïî-
этому
FC = FN.
Всякая подобная симметрия называется «скрытой». Следствием ее является то, что mZ/mW выражается через калибровочные константы связи обсуждавшейся в разделе 21.3 успешной формулой
mZ |
g |
′2 |
1 |
|||||||||
= |
1 + |
= |
. |
(21.4.36) |
||||||||
g |
2 |
sin θ |
||||||||||
m |
W |
|||||||||||
Например, в отсутствие калибровочных констант связи, лагранжиан (21.3.28) для скалярного дублета ϕ в простейшей версии SU(2) × U(1) электрослабой теории может быть записан в виде
1 |
∂μϕ |
μ2 |
λ |
|||||||||||||||||||||||
(L |
ϕ |
) |
g= g′ =0 |
= − |
∂ |
μ |
ϕ |
n |
n |
− |
ϕ |
n |
ϕ |
n |
− |
(ϕ |
n |
ϕ |
n |
)2 |
, |
|||||
2 |
2 |
4 |
||||||||||||||||||||||||
ãäå
ϕ1 ≡ Im ϕ+ , ϕ2 ≡ Re ϕ+ , ϕ3 ≡ Im ϕ0 , ϕ4 ≡ Re ϕ0 .
438 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии
Этот лагранжиан автоматически инвариантен относительно «слу- чайной» SO(4) ≡ SU(2) × SU(2) глобальной группы симметрии, которая спонтанно нарушается средним по вакууму от Reϕ0 до прибли-
женной ненарушенной «скрытой» SO(3) подгруппы 29. Результат (21.4.36) остается в силе и при наличии более одного скалярного дублета, поскольку, хотя в общем случае массовый член и член с взаимодействием в скалярном лагранжиане не обладают скрытой симметрией, при выводе соотношения используется только кинематический член, который всегда обладает полной SO(4) симметрией.
Скрытые симметрии можно обнаружить и в других теориях. Рассмотрим, например, теорию без скалярных полей, но с новыми сверхсильными векторными калибровочными взаимодействиями 30, называемыми техницветовыми взаимодействиями, которые действуют на новый SU(2) × U(1) дублет (Ur, Dr) «техникварков» Ur è Dr, где r —индекс техницвета. До тех пор, пока левая и правая компоненты Ur è Dr преобразуются одинаково относительно техницветовой калибровочной группы, лагранжиан в пределе обращающихся в нуль электрослабых констант остается инвариантным относительно группы SU(2) × SU(2) независимых SU(2) преобразований левых и пра-
вых техникварковых дублетов. Согласно рассуждениям раздела 19.9, подгруппа SU(2)V, состоящая из одновременных SU(2) преобразований как левых, так и правых техникварковых дублетов, не будет спонтанно нарушена. Разумно предположить, что техницветовые взаимодействия порождают спонтанное нарушение SU(2) × SU(2)
äî SU(2)V, точно так же, как цветовые взаимодействия приводят к спонтанному нарушению киральной SU(2) × SU(2) симметрии кван-
товой хромодинамики (при равных нулю массах u- и d-кварков) до
r
r
ее изоспиновой подгруппы. Электрослабый генератор T èëè x ïðå-
образуется относительно ненарушенной SU(2)V симметрии как 3-вектор, что опять приводит к соотношению FC =FN и последующему успешному предсказанию соотношения между массами W- и Z-бозонов.
Идея техницвета привлекательна, поскольку она предлагает естественный механизм нарушения электрослабой симметрии на характерном масштабе энергий, намного меньшем, чем часто предлагаемый фундаментальный масштаб в физике, величина которого обычно (как в теориях струн) выбирается по порядку величины равной планковской массе или 1018 ГэВ. Единственное, что требуется предположить, это существование в области сразу ниже фун-