Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 5185

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

430 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

gγ(ξ) = γ(f(ξ, g))h(ξ, g),

(21.4.11)

и h принадлежит ненарушенной подгруппе Н. Кроме того, нужно вывести закон преобразования для A~Aμ . Напомним, что, согласно

правилу (21.4.5), под действием этих локальных преобразований линейные комбинации калибровочных полей в выражении (21.4.2) преобразуются как

å T A μ →å T A′ μ

A A A A

AA

L O

= gMå TAAAμ − ig−1∂μgPg−1 .

N A Q

Умножая слева и справа на γ–1(ξ′) è γ(ξ′), соответственно, и исполь-

зуя формулы (21.4.7), (21.4.8) и (21.4.11), можно записать это в виде

å~ ′

i TAAAμ

A

L

~

= h(ξ, g)Miå TAAAμ

N

A

O

−1(ξ, g) .

+ γ −1

(ξ)[g−1∂μg]γ (ξ)P h

(21.4.12)

Q

Чтобы увидеть, как сокращается неоднородный член g–1∂μg, çàìå-

тим, что дифференцируя выражение (21.4.11) и умножая слева не обратную ему величину, мы получим

γ −1(ξ′)∂μ γ(ξ′) = h(ξ, g)γ −1(ξ)[g−1∂μg]γ(ξ)h−1(ξ, g)

(21.4.13)

+ h(ξ, g)[γ −1(ξ)∂μ γ(ξ)]h−1(ξ, g) + h(ξ, g)∂μh−1(ξ, g) .

Поэтому, чтобы сократить неоднородный член, следует вычесть выражение (21.4.12) из (21.4.13):

γ

−1

~

′

(ξ′)∂μ γ(ξ′) − iåTAAAμ

A

L

γ

−1

~

O

−1

(ξ, g)

= h(ξ, g)M

(ξ)∂μ γ(ξ) − iåTAAAμ P h

(21.4.14)

N

A

Q

− ∂μh(ξ, g) h−1(ξ, g) .

Определим поэтому новые калибровочно-ковариантные величины D и E равенством

21.4. Динамически нарушенные локальные симметрии

431

å iDaμxa + å iEiμti ≡ γ

−1

(ξ)∂μ γ (ξ)

~

(21.4.15)

− iå TAAAμ

a

i

A

со свойствами преобразования

′

′

(21.4.16)

Daμ → Daμ ,

E iμ → E iμ

ãäå

F

I

−1(ξ, g),

åD′aμxa = h(ξ, g)G

åDaμxa J h

(21.4.17)

a

H

a

K

åEi′μti

F

I

−1(ξ, g) + i

−1(ξ, g),

= h(ξ, g)G

åEiμti J h

∂μh(ξ, g)

h

(21.4.18)

i

H

i

K

точно так же, как в выражениях (19.6.26) и (19.6.27). Величину E можно использовать для построения полностью ковариантных производных полей материи:

~

~

~

(21.4.19)

Dμ ψ = ∂μ

ψ + iå tiEiμ ψ ,

i

а также высших производных типа

DνDμ ψ

. Из-за неоднородного

~

~

или ковариантные

члена в (21.4.12) невозможно сразу ввести AAμ

~

типа (21.4.19) в лагранжиан. Однако легко пост-

производные AAμ

роить «ротор», ковариантно преобразующийся под действием как локальных преобразований G, так и глобальных преобразований G. Именно,

~

−1

F

I

FAμν ≡ å DABdγ

G

∂μ ABν − ∂νABμ − å CBCDACμ ADν

J

.

(21.4.20)

(ξ)i

K

B

H

CD

Под действием формально локальных G-преобразований это выражение преобразуется как

~

~

′

=

å

D

~

.

F

→ F

h(ξ, g) F

(21.4.21)

Aμν

Aμν

AB b

g Bμν

B

432 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Поэтому лагранжиан инвариантен относительно формально локальных G-преобразований, если он построен как произвольная

~

~

~

функция ψ, Daμ , Dμ ψ,

FAμν и высших ковариантных производных,

удовлетворяющей глобальной Н-инвариантности.

Вернемся к реальности и рассмотрим Aμ как квантовое поле

A

ограниченной формы (21.4.3). Теперь формулы (21.4.15) и (21.4.20)

принимают вид

å iD aμxa + å iEiμti

a

i

= γ −1∂μ γ(ξ) − i åTADAB dγ −1(ξ)ieαBAαμ ,

(21.4.22)

ABα

è

~

−1

(ξ)ieαBFαμν ,

(21.4.23)

FAμν = å DABdγ

Bα

ãäå

Fβμν = ∂μ Aβν − ∂ν Aβμ − å Cβγδ Aγμ Aδν ,

(21.4.24)

γδ

причем Cβγδ — структурные константы калибровочной группы, свя-

занные со структурными константами группы G соотношением

å CBCDeγCeδD

= å ÑβγδeβB .

(21.4.25)

CD

β

В качестве кинематического члена этого поля мы включаем в лагранжиан обычное янг-миллсовское слагаемое

LA

= −

1

å FαμνFαμν ,

(21.4.26)

4

α

в котором, путем линейных преобразований Aαμ и, соответственно, eaA, мы подобрали коэффициент при FαμνFβμν равным просто δαβ.

Линейное слагаемое в Fαμν равно ∂μAαν – ∂νAαμ, так что смысл выражения (21.4.26) — в том, чтобы Aαμ было канонически нормиро-

ванным векторным полем. Поэтому эффективный лагранжиан должен выбираться как функция ψ~ , D μ ψ~ è Dαμ, которая инвариантна

21.4. Динамически нарушенные локальные симметрии

433

относительно глобальных H-преобразований, плюс возможные слагаемые, сохраняющие G, но не G, с коэффициентами, пропорциональными двум или более множителям eαA.

Посмотим теперь, какого типа теорию возмущений можно построить из таких ингредиентов. Мы знаем, что калибровочные бозоны становятся безмассовыми в пределе eαA ® 0, когда они отщеп-

ляются от полей материи, испытывающих спонтанное нарушение симметрии. Попробуем поэтому предположить, что их масса при малых еαÀ — порядка еМ, где е — типичное значение еαÀ (генера-

òîðû ÒÀ нормированы так, что структурные константы порядка единицы), а М — шкала энергий, типичная для динамики, приводящей к спонтанному нарушению симметрии. Рассмотрим произвольную фейнмановскую диаграмму, которая включает калибровочные и голдстоуновские бозоны энергии или импульса Q ~< eM, а все частицы более высокой энергии или импульса и все

более тяжелые частицы материи похоронены в поправках к константам связи в эффективной теории поля. Наша теория возмущений будет разложением по степеням е и Q/M. Осуществляя тот же анализ, что и разделах 19.4–19.6, получаем, что полное число степеней е и/или Q/M в любой такой диаграмме равно

ν = å Vi (di + ei − 2) + 2L + 2,

(21.4.27)

i

ãäå Vi — число вершин типа i, di è ei — число производных и множителей eaA, соответственно, во взаимодействии типа i, L —

число петель. С учетом ограничения (21.4.3) поле AAμ èëè

~

âíî-

AAμ

сит один множитель е. Изучение формулы (21.4.15) показывает, что каждая ковариантная производная Daμ голдстоуновского бозона вно-

сит +1 в сумму di + ei, а из выражений (21.4.19) и (21.4.15) следует, что каждая дополнительная ковариантаня производная Daμ вносит +1 в di + ei. У всех допустимых членов в лагранжиане di + ei ³ 2,

так что доминирующими будут вклады от древесных диаграмм (L = 0), построенных исключительно на основе взаимодействий с di + ei = 2. Единственными такими взаимодействиями являются кинематический член голдстоуновского бозона

L = - 1

å Fab2 D aμD bμ ,

(21.4.28)

2

ab

Смотрите также файлы