Файл: Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1.pdf

115

¨ â. ¯.,

¬¯«¨âã¤ã à áá¥ï­¨ï ¯à¥¤áâ ¢¨âì ç¥à¥§ ­®¢ãî

¬¯«¨âã¤ã Mfi, ®¯à¥¤¥-

«¥­­ãî ª ª:

Mfi

Tfi =

(5.11)

(2"1V:::2"0 V:::)1=2

1

£¤¥ ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥ ᮤ¥à¦¨âáï ¯® ®¤­®¬ã ¬­®¦¨â¥«î (2"iV ) ­ ª ¦¤ãî ­ ç «ì­ãî

¨ ª®­¥ç­ãî ç áâ¨æë. ç áâ­®áâ¨, ¤«ï ¢¥à®ïâ­®á⨠à ᯠ¤

¨¬¥¥¬:

4

2

1

Y

d3p0a

dw = (2 )

(Pf ; Pi)jMfij

2"

a

(2 )3

2"0a

(5.12)

ç⮡ë ãç¥áâì ¨å ¢®§¬®¦­ë¥ ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨.

áᬮâਬ ¯®¤à®¡­¥¥ á«ãç © à ᯠ¤

­

¤¢¥ ç áâ¨æë á ¨¬¯ã«ìá ¬¨ p0

1

, p0

2

¨ í­¥à£¨ï¬¨ "0

,

"20 . á¨á⥬¥ ¯®ª®ï à ᯠ¤ î饩áï ç áâ¨æë p01 = ;p02 p0, "10 + "20

1

= m. ®£¤

1

2

1

0

0

0

0

3

0

3

0

dw = (2 )2 jMfij

4"0

"0 (p

1 + p

2) ("1

+ "2 ; m)d

p

1d

p 2

(5.13)

2

2

¥à¢ãî -äã­ªæ¨î ¬®¦­® ãáâà ­¨âì, ¢ë¯®«­¨¢ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® d3p0

2

. «¥¥ ¯¥à¥¯¨è¥¬ d3p0

1

¢ ¢¨¤¥:

"0 "0 d("0

+ "0 )

3

0

0

2

0

0

jd

1

2

1

2

(5.14)

d

p

= jp

j

djp

jd = jp

"0

+

"0

1

2

çâ® ¯®«ãç ¥âáï á ãç¥â®¬ "10 2;m12 = "20 2

;m22 = jp0j2. ®£¤ , ¯à®¨­â¥£à¨à®¢ ¢ ¯® d("10 +"20 ), ãáâà ­¨¬

¨ ¢â®àãî -äã­ªæ¨î ¢ (5.13). ®®â¢¥âá⢥­­®, ¤«ï ¢¥à®ïâ­®á⨠à ᯠ¤

¢ í«¥¬¥­â ⥫¥á­®£® 㣫

d ¯®«ã稬:

1

dw =

jMfij2jp0jd

(5.15)

32 2

áᬮâਬ ⥯¥àì § ¤ çã ® á⮫ª­®¢¥­¨¨ ¤¢ãå ç áâ¨æ á ¨¬¯ã«ìá ¬¨ p1, p2 ¨

í­¥à£¨ï¬¨ "1 ¨ "2, á ¯à¥¢à 饭¨¥¬ ¨å ¢ ᮢ®ªã¯­®áâì ¨§ ­¥ª®â®à®£® ç¨á«

ç áâ¨æ

0a

a0

á ¨¬¯ã«ìá ¬¨ p

¨ í­¥à£¨ï¬¨ "

. ®£¤

4

2

1

Y

d3p0a

dw = (2 )

(Pf ; Pi)jMfij

4"1"2V

a

(2 )3

2"a0

(5.16)

¥âáï ¨§ (5.16) ¤¥«¥­¨¥¬ ­

[25]:

I

j =

£¤¥

I = q(p1p2)2 ; m12m22

(5.17)

V "1"2

á¨á⥬¥ 業âà ¨­¥à樨 ¨¬¥¥¬ p1 = ;p2 p, â ª çâ® I = jpj("1 + "2) ¨

p

1

1

v1 + v2

j = jV j

+

=

(5.18)

"1

"2

V

çâ® ¤ ¥â ¯«®â­®áâì ¯®â®ª

áâ «ª¨¢ îé¨åáï ç áâ¨æ (v1, v2 { ¨å ᪮à®áâ¨). ®£¤

®ª®­ç ⥫쭮:

1

Y

d3p0a

4

2

d = (2 )

(Pf ; Pi)jMfij

4I

a

(2 )32"a0

(5.19)

᪫î稬 -ä㭪樨 ¤«ï á«ãç ï, ª®£¤

¢ ª®­¥ç­®¬ á®áâ®ï­¨¨ ¨¬¥îâáï ¢á¥£® ¤¢¥ ç áâ¨æë.

஢¥¤¥¬ à áᬮâ७¨¥ ¢ á¨á⥬¥ 業âà

¨­¥à樨. ãáâì " = "1 + "2 = "10 + "20

{ ¯®«­ ï í­¥à£¨ï

116

d =

1

Mfi

2

jp0j

d 0

(5.20)

64 2 j

j

j

j

ç áâ­®¬ á«ãç ¥ ã¯à㣮£® à áá¥ï­¨ï ¨¬¥¥¬ jp0j = jpj. ¢¥¤¥¬ ª¨­¥¬ â¨ç¥áª¨© ¨­¢ ਠ­â:

t (p1 ; p2)2 = m12 + m10 2 ; 2(p1p10 ) = m12 + m10 2 ; 2"1"10 + 2jp1jjp01j cos

(5.21)

£¤¥ { 㣮« à áá¥ï­¨ï. á¨á⥬¥ 業âà

¨­¥à樨 jp1j jpj ¨ jp0

1j jp0j ¨ ®¯а¥¤¥«повбп в®«мª®

¯®«­®© í­¥à£¨¥© ", â ª çâ® ¯à¨ ¥¥ § ¤ ­­®¬ §­ 祭¨¨ ¨¬¥¥¬:

dt = 2jpjjp0jd cos

(5.22)

®®â¢¥âá⢥­­®, ¢ (5.20) ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:

d 0 =

;

d'd cos

=

d'd(;t)

(5.23)

2

p p0

j

j

jj

£¤¥ ' { §¨¬ãâ «ì­ë© 㣮« ¢¥ªâ®à

p01 ®â­®á¨â¥«ì­® p1

. «¥¥, ¤«ï ªà ⪮áâ¨, ¯¨è¥¬ d(

;

t) ª ª

dt ¨ ¯®«ãç ¥¬:

1

2 dt d'

d = 64 jMfij

I2 2

(5.24)

᫨ á¥ç¥­¨¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â §¨¬ãâ

', â®

1

2 dt

d =

64 jMfij

I2

(5.25)

¨§ з бв¨ж п¢«повбп ­ з «м­л¬¨, ª ª¨¥ ª®­¥з­л¬¨:

p1 + p2 + p3 + p4 = 0

(5.26)

(¤«п ª®в®але ¨¬¯г«мб ¬¨ п¢«повбп б®®в¢¥вбв¢гой¨¥

;

pa). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨

0

0

â ª®© § ¯¨á¨, ã ¤¢ãå ¨§ pa ¢à¥¬¥­­ ï ª®¬¯®­¥­â pa > 0,

ã ¤¢ãå pa < 0. ਠ§ -

117

¬¥­­ë¥ ª®¬¯®­¥­âë pa0 ¨ ®â §­ 祭¨© § à冷¢ ç áâ¨æ, ¬¯«¨âã¤

à áá¥ï­¨ï ¨á.5-1

¬®¦¥â ®¯¨áë¢ âì âà¨ à §­ë¥ ॠªæ¨¨:

(1)

1 + 2

!

3 + 4

(s-ª ­ «)

(2)

!

(t-ª ­ «)

(5.27)

1 + 3

2 + 4

(3)

1 + 4 ! 2 + 3

(u-ª ­ «)

£¤¥ ç¥àâ ®¡®§­ ç ¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî騥

­â¨ç áâ¨æë. ⨠¯à®æ¥ááë à áá¥ï­¨ï ­ §ë-

ª ¤à㣮© ¯à®¨á室¨â ¯à¨ ¨§¬¥­¥­¨¨ §­ ª

ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢à¥¬¥­­®© ª®¬¯®­¥­âë

¨¬¯ã«ìá p0

¢ (5.26):

a

p10 > 0 p20 > 0 p30 < 0 p40 < 0 (s-ª ­ «)

p10 > 0

p20 < 0

p30 > 0

p40 < 0 (t-ª ­ «)

(5.28)

p0 > 0

p0 < 0

p0 < 0

p0 > 0 (u-ª ­ «)

1

2

3

4

â ª¦¥ §­ ª

§ àï¤ . ᥠ­ ç «ì­ë¥ ¨ ª®­¥ç­ë¥ á®áâ®ï­¨ï ¢ (5.29) ¨¬¥îâ, ª®­¥ç­®,

118

t = (p1 + p3)2 = (p2 + p4)2

(5.29)

u = (p1 + p4)2 = (p2 + p3)2

¨¬¥­ã¥¬ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨ ­¤¥«áâ ¬ . ¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ®:

s + t + u = h m12 + m22 + m32 + m42

(5.30)

p1 = ("1; ps) p2 = ("2; ;ps)

p3 = (;"3; ;p0s)

p4 = ("4; p0s)

(5.31)

®£¤ ­¥âà㤭® ¯®«ãç¨âì:

s = "s2

£¤¥

"s = "1 + "2 = "3 + "4

(5.32)

4sp2

= [s

;

(m

+ m

)2][s

;

(m

1 ;

m )2

]

s

1

2

)2][s

2

4sp02

= [s

;

(m

+ m

;

(m

3 ;

m )2

]

(5.33)

s

3

4

4

t = ;(ps ; p0s)2 = ;2ps2(1 ; cos s)

u =

;2ps2(1 + cos s) + ("1 ; "2)2

(5.35)

£¤¥

{ 㣮« ¬¥¦¤ã

p

¨ p

, â.¥. 㣮« à áá¥ï­¨ï. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¨­¢ ਠ­â t

s

s

0s

¯à¥¤áâ ¢«ï¥â, ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥, ª¢ ¤à â ¯¥à¥¤ ­­®£® ¯à¨ á⮫ª­®¢¥­¨¨ 3-¨¬¯ã«ìá;.

à¥å®¤ ª t-ª ­ «ã ®áãé¥á⢫ï¥âáï § ¬¥­®© s

$ t, 2

$ 3, ¯¥à¥å®¤ ª u-ª ­ «ã § ¬¥­®©

s $ u, 2 $ 4.

᫨ ç áâ¨æë, ãç áâ¢ãî騥 ¢ ॠªæ¨¨ ­¥ ¨¬¥îâ ᯨ­ , â® ¬¯«¨â㤠à áá¥-

¬¯«¨â㤠à áá¥ï­¨ï ᢮¤¨âáï ª ®¤­®© ä㭪樨:

Mfi = f(s; t)

(5.36)

ª®â®àë¥ ¬®¦­® á®áâ ¢¨âì ¨§ ¢®«­®¢ëå

¬¯«¨â㤠ç áâ¨æ (â.¥. ¡¨á¯¨­®à®¢, ¢¥ªâ®à®¢,

4-⥭§®à®¢ ¨ â.¯.). ®£¤ ¬¯«¨â㤠à áá¥ï­¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤:

Mfi =

X

fn(s; t)Fn

(5.37)

n

£¤¥ Fn { ¨­¢ ਠ­âë, «¨­¥©­® § ¢¨áï騥 ®â ¢®«­®¢ëå

¬¯«¨â㤠¢á¥å ãç áâ¢ãîé¨å