Файл: Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 472

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

167

¨á. 7-23

¨¬¥¥â ¢¨¤:

1

 

(k) = D;1

(k)

;1

= ie2Sp

Z

d4p

 

 

(p + k);

(p + k; p; k)

 

(p) (7.77)

4 P

 

G

G

 

 

; D

 

(2 )4

 

 

 

 

а ¢­¥­¨п (7.76) ¨ (7.77) ¯а¥¤бв ¢«пов б®¡®© ®¤­г ¨§ п¢­ле д®а¬ § ¯¨б¨ га ¢- ­¥­¨© ©б®­ (7.52) ¨ (7.30), ¯а¥¤бв ¢«пой¨е б®¡®© ¨­в¥£а «м­л¥ га ¢­¥­¨п ¤«п в®з­ле ¯а®¯ £ в®а®¢ ¨ ¢ла ¦ ой¨¥ ¨е з¥а¥§ в®з­л¥ ¢¥аи¨­­л¥ дг­ªж¨¨. ®- бª®«мªг ¤«п ¢¥аи¨­­ле з бв¥© ­ «®£¨з­л¥ \§ ¬ª­гвл¥" ¨­в¥£а «м­л¥ га ¢­¥- ­¨п ®вбгвбв¢гов, в® ¢ ¯а ªв¨з¥бª¨е б«гз пе га ¢­¥­¨п ©б®­ ¬®¦­® а¥и вм, ¨б¯®«м§гп ª ª¨¥ - «¨¡® ¯¯а®ªб¨¬ ж¨¨ ¤«п ¢¥аи¨­, ®б­®¢ ­­л¥, ­ ¯а¨¬¥а, ­ ⮬ ¨«¨ ¨­®¬ ¢л¡®а®з­®¬ б㬬¨а®¢ ­¨¨ д¥©­¬ ­®¢бª¨е ¤¨ £а ¬¬.

®¦¤¥á⢮ ®à¤ .

ãé¥áâ¢ãîâ â®ç­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï ¬¥¦¤ã ¯à®¯ £ â®à ¬¨ ¨ ¢¥à設­ë¬¨ ç áâﬨ, ¡®«¥¥ ¯à®áâë¥, 祬 ãà ¢­¥­¨ï ©á®­ . áᬮâਬ í«¥ªâà®­­ë© ¯à®¯ £ â®à. ®- ¢¥à訬 ª «¨¡à®¢®ç­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ (7.9), ¯®« £ ï (x) = (x), £¤¥ (x) ¡¥áª®- ­¥ç­® ¬ « ï ­¥®¯¥à â®à­ ï äã­ªæ¨ï ª®®à¤¨­ â x. ®£¤ í«¥ªâà®­­ë© ¯à®¯ £ â®à ¨§¬¥­¨âáï ­ ¢¥«¨ç¨­ã:

G(x; x0) = ieG(x ; x0)[ (x) ; (x0)]

(7.78)

ª®¥ ª «¨¡à®¢®ç­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ­ àãè ¥â ®¤­®à®¤­®áâì ¯à®áâà ­áâ¢

- ¢à¥-

¬¥­¨ ¨ äã­ªæ¨ï G § ¢¨á¨â 㦥 ®â x ¨ x0 ¯® ®â¤¥«ì­®áâ¨, ­¥ ⮫쪮 ®â x ; x0. ¥ à §«®¦¥­¨¥ ãàì¥ ¯à®¨á室¨â ¯®í⮬㠯® x ¨ x0 ¢ ®â¤¥«ì­®áâ¨, â ª çâ® ¢ ¨¬¯ã«ìá- ­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ G ï¥âáï ä㭪樥© ¤¢ãå 4-¨¬¯ã«ìᮢ:

G(p2; p1) = Z d4x Z d4x0 G(x; x0)eip2x;ip1x0

(7.79)

®¤áâ ¢«ïï áî¤ (7.78) ¨ ¨­â¥£à¨àãï ¯® d4xd4 ¨«¨ d4x0d4 , £¤¥ = x;x0, ¯®«ãç ¥¬:

G(p + q; p) = ie (q)[G(p) ; G(p + q)]

(7.80)

¤à㣮© áâ®à®­ë ¯à¨ ⮬ ¦¥ ª «¨¡à®¢®ç­®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨ ª ®¯¥à â®àã ¢¥ªâ®à - ¯®â¥­æ¨ « í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï A (x) ¤®¡ ¢«ï¥âáï äã­ªæ¨ï:

A(e)(x) =

 

@

 

(7.81)

;@x

 

 

 
@ G;1(p) = ; (p; p; 0)
@p

168

 

¨á. 7-24

ª®â®àãî ¬®¦­® à áᬮâà¥âì ª ª ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®¥ ¢­¥è­¥¥ ¯®«¥. ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¨¬¥¥¬:

A(e)(q) = iq (q)

(7.82)

¥«¨ç¨­ã G ¬®¦­® ¢ëç¨á«¨âì ¨ ª ª ¨§¬¥­¥­¨¥ ¯à®¯ £ â®à ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ í⮣® ¯®«ï. â®ç­®áâìî ¤® ¢¥«¨ç¨­ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¯® íâ® ¨§¬¥­¥­¨¥ ¨§®¡à §¨âáï ®¤­®© ᪥«¥â­®© ¤¨ £à ¬¬®©, ¯®ª § ­­®© ­ ¨á. 7-24, £¤¥ ¦¨à­ë© ¯ã­ªâ¨à ®¡®- §­ ç ¥â íä䥪⨢­ãî «¨­¨î ¢­¥è­¥£® ¯®«ï, ª®â®à®© ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ¬­®¦¨â¥«ì:

(e)

(e)

 

1

 

 

 

 

 

 

A

(q) + A

(q)

4 P

 

(q)

D

(q)

(7.83)

 

 

 

 

 

 

 

ãç¨âë¢ î騩 ¢¢¥¤¥­¨¥ ¢ ­¥¥ ᮡá⢥­­® - í­¥à£¥â¨ç¥áª¨å ¯®¯à ¢®ª. ® 4-¢¥ªâ®àA(e)(q) ¯à®¤®«¥­ (¯® ®â­®è¥­¨î ª q), ⥭§®à P ¯®¯¥à¥ç¥­ (áà. (7.42)). ®í⮬㠢â®à®© ç«¥­ §¤¥áì ¯à®áâ® ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì, â ª çâ® ä ªâ¨ç¥áª¨ ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ¢ª« ¤ £à 䨪 , ¯®ª § ­­®£® ­ ¨á.7-24, ¢ ª®â®à®¬ «¨­¨î ¢­¥è­¥£® ¯®«ï ¬®¦­®

 

 

(e)

(q).

­ «¨â¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥ ¨¬¥¥¬:

 

áç¨â âì \â®­ª®©" ¨ à ¢­®© ¯à®áâ® A

 

 

G

(p + q; p) = e (p + q); (p

+ q; p; q)

G

(p) A(e)(q)

(7.84)

 

G

 

 

 

 

®¤áâ ¢«ïï áî¤ (7.82) ¨ áà ¢­¨¢ ï á (7.80), ­ 室¨¬:

 

 

G(p + q) ; G(p) = ;G(p + q)q ; (p + q; p; q)G(p)

(7.85)

¨«¨, ¤«ï ®¡à â­ëå ¬ âà¨æ:

 

 

 

 

 

 

 

G;1(p + q) ; G;1(p) = q ; (p + q; p; q)

(7.86)

ਠq ! 0, áà ¢­¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥­âë ¯à¨ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®¬ q ¢ ®¡¥¨å ç áâïå à ¢¥­á⢠, ¯®«ã稬:

(7.87)

{ â ª ­ §ë¢ ¥¬®¥ ⮦¤¥á⢮ ®à¤ ¢ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®© ä®à¬¥. ®®â­®è¥­¨¥ (7.86) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ⮦¤¥á⢮ ®à¤ ¤«ï ª®­¥ç­ëå q. § (7.87) ¢¨¤­®, çâ® ¯à®¨§¢®¤­ ï G;1(p) ¯® ¨¬¯ã«ìáã ᮢ¯ ¤ ¥â á ¢¥à設­ë¬ ®¯¥à â®à®¬ á ­ã«¥¢®© ¯¥à¥¤ 祩 ¨¬¯ã«ìá . ந§¢®¤­ ï ®â á ¬®© ä㭪樨 ਭ G(p) à ¢­ :

;

@

iG(p) = iG(p)[;i; (p; p; 0)]iP(p)

(7.88)

 

 

@p

­ã«¥¢®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ í⮠⮦¤¥á⢮ ¢®®¡é¥ ®ç¥¢¨¤­®, ¯®áª®«ìªã ¨§ G;1 =

p m áà §ã á«¥¤ã¥â

 

@G;1

= . âáî¤ ­¥âà㤭® ¯®«ãç¨âì ¨ £à ä¨ç¥áª¨©

; @p

¢ë¢®¤ í⮣® ⮦¤¥á⢠{ ¨§ ãà ¢­¥­¨ï ©á®­ (7.53) «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¤¨ää¥- ७æ¨à®¢ ­¨¥ ®¡à â­®© ä㭪樨 ਭ ¯® ¨¬¯ã«ìáã íª¢¨¢ «¥­â­® ¢á¥¢®§¬®¦­ë¬

 

169

¢áâ ¢ª ¬ «¨­¨© 䨪⨢­®£® ¢­¥è­¥£® ¯®«ï á ­ã«¥¢ë¬ ¯¥à¥¤ ¢ ¥¬ë¬ ¨¬¯ã«ìᮬ ¢® ¢á¥ £à 䨪¨ ¤«ï ­¥¯à¨¢®¤¨¬®© ᮡá⢥­­® - í­¥à£¥â¨ç¥áª®© ç áâ¨, çâ® £¥­¥à¨- àã¥â ¢á¥ £à 䨪¨ ¤«ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢¥à設­®© ç áâ¨. ®¦¤¥á⢮ ®à¤ ¨¬¥¥â ®£à®¬­®¥ §­ 祭¨¥ ¤«ï ¯à®¢¥àª¨ ᮣ« ᮢ ­­®á⨠ª®­ªà¥â­ëå ¯à¨¡«¨¦¥­¨© ¢ § - ¤ ç å ª¢ ­â®¢®© ⥮ਨ ¯®«ï.

¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ £à®¬®§¤ª¨¬ ï¥âáï ¢ë¢®¤ ­ «®£¨ç­ëå ⮦¤¥á⢠¤«ï â®ç­®© ä®â®­­®© ä㭪樨 ਭ (¯®«ïਧ 樮­­®£® ®¯¥à â®à ). ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¤¥â «¨ ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ [1].

170

 

« ¢ 8

-

áá¥ï­¨¥ í«¥ªâà®­ ­ áâ â¨ç¥áª®¬ § - à拉: ¯®¯à ¢ª¨ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢.

нв®© £« ¢¥ ¬л а бᬮва¨¬ ¯а¨¬¥ал а бз¥в ­¥ª®в®але ª®­ªа¥в­ле ндд¥ªв®¢ ¢ а ¬ª е ª¢ ­в®¢®© н«¥ªвத¨­ ¬¨ª¨, в ª¦¥ ª ª ¨ ап¤ ¢®¯а®б®¢ ¯а¨­ж¨¯¨ «м­®£® е а ªв¥а , ®в­®бпй¨ебп ª ®б­®¢ ¬ нв®© в¥®а¨¨. г¦­® § ¬¥в¨вм, зв® ª¢ ­в®¢ п н«¥ªвத¨­ ¬¨ª п¢«п¥вбп ®¡а §ж®¬ за¥§¢лз ©­® гб¯¥и­®© в¥®а¨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©- бв¢¨п н«¥¬¥­в а­ле з бв¨ж. ­ ¤ ¥в ¢®§¬®¦­®бвм ¯®а §¨в¥«м­® в®з­ле а бз¥- в®¢ ндд¥ªв®¢ н«¥ªв஬ £­¨в­®£® ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨п, а¥§г«мв вл ª®в®але ­ 室пвбп ¢ ¨¤¥ «м­®¬ б®®в¢¥вбв¢¨¨ б б®¢а¥¬¥­­л¬¨ нªб¯¥а¨¬¥­в ¬¨. а¨¬¥ал ¤¥в «м­®£® ­ «¨§ ¬­®¦¥бв¢ ª¢ ­в®¢®н«¥ªвத¨­ ¬¨з¥бª¨е § ¤ з ¬®¦­® ­ ©в¨ ¢ ª­¨£ е [1, 2], §¤¥бм ¬л, ¢ б®®в¢¥вбв¢¨¨ б е а ªв¥а®¬ ­ и¥£® ªгаб , ®£а ­¨з¨¬бп в®«мª® а冷¬ ¨§¡а ­­ле ¢®¯а®б®¢. а¨ н⮬ ¤¥в «¨ ¢лз¨б«¥­¨©, ª®в®ал¥ «¥£ª® ­ ©в¨ ¢ «¨в¥а вга¥, ¡г¤гв ¯® ¡®«ми¥© з бв¨ ¯а®бв® ®¯гбª вмбп. л¤¥«пвмбп ¡г¤¥в в®«мª® ª з¥бв¢¥­­ п бв®а®­ ¤¥« .

ª ç¥á⢥ ¯¥à¢®£® ¯à¨¬¥à

¢¥à­¥¬áï ª 㦥 à áᬠâਢ ¢è¥©áï ¢ « ¢¥ 4 § -

¤ ç¥ ® à áá¥ï­¨¨ í«¥ªâà®­ ­

áâ â¨ç¥áª®¬ § à拉 ï¤à (१¥àä®à¤®¢áª®¥ à áá¥ï-

­¨¥). ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨© íâ®â ¯à®æ¥áá ¨§®¡à ¦ ¥âáï £à 䨪®¬

171

172

 

¨á. 8-1

¨á.8-1( )1, £¤¥ áâ â¨ç¥áª¨© § àï¤ ®¡®§­ 祭 ªà¥á⨪®¬. ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¡é¨¬¨

¯à ¢¨« ¬¨ ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨,

¬¯«¨â㤠í⮣® ¯à®æ¥áá

§ ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

Mfi = ;i Z

d4x < fjj (x)ji > A (x)

(8.1)

£¤¥ ¬ âà¨ç­ë© í«¥¬¥­â ⮪ ¯¥à¥å®¤ ¥áâì:

 

< f j (x)

i >= euf uie;iqx

(8.2)

j

j

 

 

£¤¥ q = pi ; pf ¨ ¢¢¥¤¥­ë ᯨ­®àë ­ ç «ì­®£® ¨ ª®­¥ç­®£® á®áâ®ï­¨© í«¥ªâà®­ .¥ªâ®à - ¯®â¥­æ¨ « A (x) ®¯¨áë¢ ¥â í«¥ªâ஬ £­¨â­®¥ ¯®«¥ áâ â¨ç¥áª®£® § àï¤ .®®â¢¥âá⢥­­®, ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:

Mfi = ;ieuf uiA (q)

(8.3)

£¤¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A (q) = Z

d4xe;iqxA (x)

(8.4)

á«ãç ¥ áâ â¨ç¥áª®£® § àï¤ ¢¥«¨ç¨­

A (x) ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥­¨, ¯®í⮬ã:

A (q) = Z dte;i(Ei;Ef )t Z d3reiqrA (r) = 2 (Ef ; Ei)A (q)

(8.5)

â â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ªá¢¥«« ¨¬¥îâ ¢¨¤:

 

 

 

 

r2A (r) = ;4 j (r)

(8.6)

®£¤ ¨¬¥¥¬:

 

 

4

 

 

 

 

 

 

A (q) =

j (q)

(8.7)

 

 

 

 

jqj2

 

®®â¢¥âá⢥­­®, ¨§ (8.3) ¨ (8.5) ¯®«ãç ¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

4

j (q)

(8.8)

Mfi = ;2 (Ef ; Ei)ieuf ui

 

jqj2

â®¡ë ­¥ § £à®¬®¦¤ âì ¤ «ì­¥©è¨¥ ®æ¥­ª¨, ®¯ãá⨬ -äã­ªæ¨î § ª®­

á®åà ­¥­¨ï

í­¥à£¨¨ ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¬¯«¨âã¤ã M ª ª:

 

 

 

4

j (q)

 

; iM = ieuf ui

 

(8.9)

jqj2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ¯¥à¢®© ¯®«®¢¨­¥ ¤ ­­®© £« ¢ë, â ª¦¥, ª ª ¢ « ¢¥ 4, ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì ¢­¥è­¥¥ ¯®«¥ ¨ ä®â®­ë ¢®«­¨áâ묨 «¨­¨ï¬¨.

 

173

¨á. 8-2

ਠà áá¥ï­¨¨ ­ áâ â¨ç¥áª®¬ § à拉 í«¥ªâà®­ ¨á¯ëâë¢ ¥â ®â¤ çã ¨ pi =6 pf, ­® í­¥à£¨ï á®åà ­ï¥âáï ¨ Ei = Ef , ¨«¨ q0 = 0. ®í⮬ã:

 

 

 

 

 

 

q2 =

;j

q

 

2 <

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ ¯à®áâà ­á⢥­­® ¯®¤®¡­ë© ¢¥ªâ®à à áá¥ï­¨ï,

(8.9) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

 

 

 

; iM = (ieuf ui)

;4q2ig

(;ij (q))

 

(8.11)

¤¥áì ¯¥à¢ë© ¬­®¦¨â¥«ì ®¯¨áë¢ ¥â ¢¥à設­ãî ç áâì,

¢â®à®© { ä®â®­­ë© ¯à®-

¯ £ â®à. «ï áâ â¨ç¥áª®£® ï¤à á § à冷¬ Ze ¨¬¥¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

j0(r) = (r) = Ze (r)

 

 

 

j(r) = 0

 

(8.12)

â ª çâ®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;4 i

(;iZe)

 

 

 

 

 

 

; iM = (ieuf 0ui)

 

(8.13)

 

 

 

 

q2

 

çâ® ¨§®¡à ¦ ¥âáï ¤¨ £à ¬¬®© ¨á.8-1(¡) ¨, ¯® áã⨠¤¥« , ᮢ¯ ¤ ¥â á (4.77). â¨

ä®à¬ã«ë ¨ ®¯¨áë¢ îâ १¥àä®à¤®¢áª®¥ à áá¥ï­¨¥, á¥ç¥­¨¥ ª®â®à®£® (4.81):

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d jMj2 q;4

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.14)

 

 

 

 

 

sin4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

£¤¥ { 㣮« à áá¥ï­¨ï, ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ª¨­¥¬ ⨪¨:

 

 

 

 

 

q2 = (pi ; pf )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;2k2(1 ; cos ) = ;4k2 sin2 2

 

(8.15)

£¤¥ ¯à¥­¥¡à¥£«¨ ¬ áᮩ í«¥ªâà®­

(¯® áà ¢­¥­¨î á ¬ áᮩ ï¤à ) ¨ ¢¢¥«¨ k jpij =

jpfj.

 

ª à⨭ à áá¥ï­¨ï ¢ ¯¥à¢®¬ ¯®à浪¥ ⥮ਨ ¢®§¬ã饭¨©. ®á¬®âਬ

 

ª®¢

ª 祬㠯ਢ®¤ïâ ¢ëá訥 ¯®à浪¨ (à ¤¨ 樮­­ë¥ ¯®¯à ¢ª¨). ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à

à áᬮâਬ ¤¨ £à ¬¬ã âà¥â쥣® ¯®à浪 , ¯®ª § ­­ãî ­

¨á.8-2. ᯮ«ì§ãï ®¡é¨¥

¯à ¢¨«

¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨ ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¥© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â:

 

iM = (

 

1)(ieuf ui)

 

i4 g 0

 

 

d4p

 

 

 

(ie 0 )

i(^p + m)

(ie 0 )

i(^q ; p^ + m)

;

;

;

Z (2 )4

 

 

 

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

p2 ; m2

(q ; p)2 ; m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;i

4 g 0

(;ij (q))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.16)

Смотрите также файлы