Файл: Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 499

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

28

.

ç⥬ ⥯¥àì, çâ® ¢¢¥¤¥­­®¥ ­ ¬¨ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯®«¥ A ¤®«¦­® ®¡« ¤ âì ¨ á®®â- ¢¥âáâ¢ãî騬 \᢮¡®¤­ë¬" ¢ª« ¤®¬ ¢ « £à ­¦¨ ­. â®â ¢ª« ¤ ¤®«¦¥­ ¡ëâì ¨­¢ - ਠ­â¥­ ®â­®á¨â¥«ì­® £à ¤¨¥­â­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© (2.86). ®­ïâ­®, ª ª âãâ ­ ¤® ¯®áâ㯨âì. ¢¥¤¥¬ 4-¬¥à­ë© à®â®à ¯®«ï A :

 

 

F = @ A ; @ A

 

 

 

(2.93)

ª®â®àë©, ®ç¥¢¨¤­®, ¨­¢ ਠ­â¥­ ®â­®á¨â¥«ì­® (2.86). ®£¤

¬®¦­® ¯à¨­ïâì:

 

1

F F

 

 

 

 

 

 

L3 = ;

 

 

 

 

(2.94)

16

 

 

 

®¡¨à ï ⥯¥àì ¢á¥ ç«¥­ë ­®¢®£® « £à ­¦¨ ­ , ¯®«ã稬:

 

 

 

 

 

 

 

 

Ltot = L

+ L1 + L2 + L3 =

 

 

 

 

 

 

1

 

 

= (@ ')(@ ' ) ; m2' ' ; ie(' @ ' ; '@ ' )A + e2A A ' ' ;

 

F F (2.95)

16

çâ® ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ áâ ­¤ àâ­®¬ ¢¨¤¥ ª ª:

 

 

 

 

1

F F + (@ + ieA )'(@ ; ieA )' ; m2' '

 

Ltot = ;

 

(2.96)

16

ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ë ¯®«ã稫¨ « £à ­¦¨ ­ í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¨ ª®¬¯«¥ªá­®£® ᪠«ïà- ­®£® ¯®«ï '! ­ «¥£ª® ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¨á室­®£® « £à ­¦¨ ­ «¥©­ { ®à¤®­

(2.60) áâ ­¤ àâ­®© § ¬¥­®© [25] ®¡ëç­®© ¯à®¨§¢®¤­®© @ ' ­

ª®¢ ਠ­â­ãî ¯à®¨§-

¢®¤­ãî 4:

 

D ' = (@ + ieA )'

(2.97)

¨ ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ç«¥­ ᢮¡®¤­®£® í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï (2.94).

£à ­¦¨ ­ í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï (2.94) ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­ ª ª L = aF F [25], £¤¥ ¯®áâ®ï­­ ï a ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë¡à ­ à §­®©, ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢ë¡®à á¨áâ¥¬ë ¥¤¨­¨æ. £ ãáá®- ¢®© á¨á⥬¥ ¥¤¨­¨æ, ¯à¨­ï⮩, ¢ ç áâ­®áâ¨, ¢ ªãàᥠ­¤ ã ¨ ¨äè¨æ , ¯®« £ ¥âáï a = ; 161 .àï¤ã á £ ãáᮢ®©, ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï â ª¦¥ á¨á⥬ ¥¤¨­¨æ ¥¢¨á ©¤ , ¢ ª®â®à®© a = ;14 , ª®в®а п ¨б¯®«м§г¥вбп, ­ ¯а¨¬¥а, ¢ [8]. нв®© б¨бв¥¬¥ ¢ га ¢­¥­¨п ¯®«п ­¥ ¢е®¤¨в ¬­®¦¨в¥«м 4 , ­® § в® ®­ ¢®§­¨ª ¥в ¢ § ª®­¥ г«®­ . £ гбб®¢®© б¨бв¥¬¥ ­ ®¡®а®в 4 ¢е®¤¨в ¢ га ¢­¥­¨пªб¢¥«« , ­® ®вбгвбв¢г¥в ¢ § ª®­¥ г«®­ . «¨в¥а вга¥ ¯® ª¢ ­в®¢®© н«¥ªвத¨­ ¬¨ª¥ з й¥ ¨б¯®«м§г¥вбп б¨бв¥¬ ¥¢¨б ©¤ . л ¢ ¤ «м­¥©и¥¬ ¡г¤¥¬, ¢ ®б­®¢­®¬, ¯®«м§®¢ вмбп £ гбб®¢®©

á¨á⥬®©, á¯¥æ¨ «ì­® ®£®¢ ਢ ï ¯¥à¥å®¤ ª á¨á⥬¥ ¥¢¨á ©¤ ¢ ®â¤¥«ì­ëå á«ãç ïå.

®â«¨ç¨¥ ®â @ ' ¢¥«¨ç¨­ (2.97) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ¯à¨ ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®- ¢ ­¨ïå ª®¢ ਠ­â­ë¬ ®¡à §®¬, â.¥. ª ª á ¬® ¯®«¥ ':

(D ') = (@ ') + ie( A )' + ieA ' = ;i (@ ' + ieA ') = ;i (D ') (2.98)

®«î ' ᮮ⢥âáâ¢ã¥â, â ª¨¬ ®¡à §®¬, í«¥ªâà¨ç¥áª¨© § àï¤ e, ᮯà殮­­®¥ ¯®«¥ ' ᮮ⢥âáâ¢ã¥â § àï¤ã (;e):

D ' = (@ ; ieA )'

(2.99)

®­ïâ­®, çâ® ¢¢¥¤¥­­ ï ¢ëè¥ ¢¥«¨ç¨­ F ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ⥭§®à ­ ¯à殮­- ­®á⥩ í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï [25].

4 ਠí⮬ ª®­áâ ­â e ¨¬¥¥â á¬ëá« í«¥ªâà¨ç¥áª®£® § àï¤ .

LM = M2A A

.

29

à ¢­¥­¨ï ªá¢¥«« á«¥¤ãîâ ¨§ (2.96) ª ª ãà ¢­¥­¨ï £à ­¦

@L

@

@L

= 0

@A ;

 

@(@ A )

 

çâ® ¤ ¥â:

@ F = ;ie(' @ ' ; '@ ' ) + 2e2A j'j2 = = ;ie(' D ' ; 'D ' ) ;4 eJ

£¤¥

J = i(' D ' ; 'D ' )

{ ª®¢ ਠ­â­ ï ä®à¬ ⮪ . § ­â¨á¨¬¬¥âਨ F áà §ã á«¥¤ã¥â:

¤«ï ¯®«ï A :

(2.100)

(2.101)

(2.102)

@ J = 0

(2.103)

в ª зв® ¢ ¯а¨бгвбв¢¨¥ н«¥ªв஬ £­¨в­®£® ¯®«п б®еа ­п¥вбп в®ª J ,

­¥ J .

⬥⨬, çâ® ¡¥§¬ áᮢ®áâì í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï ®ª §ë¢ ¥âáï ­¥®¡å®¤¨¬®© { ¥á«¨ ¡ë ã í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï ¡ë« ¡ë ª®­¥ç­ ï ¬ áá M, â® ª « £à ­¦¨ ­ã (2.94) ­ã¦­® ¡ë«® ¡ë ¯à¨¯¨á âì ç«¥­ ⨯ :

(2.104)

祢¨¤­®, çâ® â ª®© ¢ª« ¤ ­¥¨­¢ ਠ­â¥­ ®â­®á¨â¥«ì­® «®ª «ì­ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥®¡à §®¢ -

­¨©.

áᬮâ७­ë© ᯮᮡ ¢¢¥¤¥­¨ï í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¡ë« ¢¯¥à- ¢ë¥ ¨á¯®«ì§®¢ ­ ¥©«¥¬ ¯à¨ ¯®¯ëâª å ¯®áâ஥­¨ï ¥¤¨­®© ⥮ਨ ¯®«ï ¢ ­ ç «¥ 20-å £®¤®¢. «¥ªâத¨­ ¬¨ª ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¡¥«¥¢®© ª «¨¡à®¢®ç­®© £à㯯¥ U(1),

í«¥ªâ஬ £­¨â­®¥ ¯®«¥ ï¥âáï ¯à®á⥩訬 ¯à¨¬¥à®¬ ª «¨¡à®¢®ç­®£® ¯®«ï.

®«ï ­£ { ¨««á .

â ª, à áᬮâॢ ¨­¢ ਠ­â­®áâì ®â­®á¨â¥«ì­® «®ª «ì­ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯à¥- ®¡à §®¢ ­¨© £à㯯ë U(1), ¬ë ¯®«ã稫¨ ¨§ « £à ­¦¨ ­ ᢮¡®¤­®£® ¯®«ï «¥©­ {®à¤®­ ᪠«ïà­ãî í«¥ªâத¨­ ¬¨ªã, â.¥. ⥮à¨î á ¢¥áì¬ ­¥âਢ¨ «ì­ë¬ ¢§ ¨¬®- ¤¥©á⢨¥¬. ®¦­® ᪠§ âì, ç⮠ᨬ¬¥âà¨ï \­ ¢ï§ « " ­ ¬ ä®à¬ã ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¨ ¯à¨¢¥« ª ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠¢¢¥á⨠ª «¨¡à®¢®ç­®¥ ¯®«¥ A , ª ª ¯¥à¥­®á稪 í⮣®

¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. áᬮâ७­ ï ª «¨¡à®¢®ç­ ï £à㯯 U(1) ¡ë«

¡¥«¥¢®©. ¡®¡-

饭¨¥ ¯à¨¢¥¤¥­­®£® ­ «¨§ ­

á«ãç © ­¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå £à㯯 ¡ë«® ¯à®-

¢¥¤¥­® ¢ ­ ç «¥ 50-å £®¤®¢ ­£®¬ ¨ ¨««á®¬. १ã«ìâ ⥠¡ë«

®âªàëâ ¤®à®£

ª ¯®áâ஥­¨î è¨à®ª®£® ª« áá

¢¥áì¬ ­¥âਢ¨ «ì­ëå ⥮਩ (¢§ ¨¬®¤¥©á⢨©),

ª®â®àë¥, ª ª ®ª § «®áì, ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«®¦¥­ë ¢ ®á­®¢ã ᮢ६¥­­®£® ¯®­¨¬ ­¨ï ¤¨­ ¬¨ª¨ í«¥¬¥­â à­ëå ç áâ¨æ 5.

à®á⥩訬 ¢ ਠ­â®¬ ­¥ ¡¥«¥¢®© ª «¨¡à®¢®ç­®© £à㯯ë, à áᬮâ७­ë¬ ¥é¥ ¢ ¯¥à¢®© à ¡®â¥ ­£ ¨ ¨««á , ï¥âáï £à㯯 ¨§®â®¯¨ç¥áª®£® ᯨ­ { SU(2), ¨§®¬®àä­ ï £à㯯¥ âà¥å¬¥à­ëå ¢à 饭¨© O(3). ëè¥ à áᬠâਢ «®áì ª®¬¯«¥ªá- ­®¥ ᪠«ïà­®¥ ¯®«¥, ª®â®à®¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï«®áì ¤¢ã¬¥à­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ '~ = ('1; '2).

5 ®à®èãî ¯®¤¡®àªã à ­­¨å ®à¨£¨­ «ì­ëå áâ ⥩ ¯® ⥮ਨ ­¥ ¡¥«¥¢ëå ª «¨¡à®¢®ç­ëå ¯®«¥© ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ ᡮ୨ª¥ [28]

30

.

ãáâì ⥯¥àì ­ è¥ áª «ïà­®¥ ¯®«¥ ï¥âáï âà¥å¬¥à­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¢ ­¥ª®â®à®¬ \¨§®â®¯¨ç¥áª®¬" ¯à®áâà ­á⢥: '~ = ('1; '2; '3). ­¢ ਠ­â­ë© ®â­®á¨â¥«ì­® âà¥å- ¬¥à­ëå ¢à 饭¨© ¢ í⮬ ¯à®áâà ­á⢥ « £à ­¦¨ ­ ª«¥©­ { £®à¤®­®¢áª®£® ¯®«ï ®¯ïâì ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­ ª ª:

 

1

1

 

L =

2

(@ '~)(@ '~) ; 2m2'~ '~

(2.105)

£¤¥ ¯®«¥ '~ ¢å®¤¨â ⮫쪮 ç¥à¥§ ᪠«ïà­ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï. ­¢ ਠ­â­®áâì ®â­®- á¨â¥«ì­® ¢à 饭¨© §¤¥áì £«®¡ «ì­ ï { ¯®«¥ '~ ¬®¦­® ¯®¢¥à­ãâì ­ ¯à®¨§¢®«ì­ë© 㣮« ¢ ¨§®â®¯¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥, ®¤¨­ ª®¢ë© ¤«ï ¯®«¥© ¢® ¢á¥å ¯à®áâà ­á⢥­­® { ¢à¥¬¥­­ëå â®çª å. ¯à¨¬¥à, ¬®¦­® à áᬮâà¥âì ¢à 饭¨ï ¢ ¯«®áª®á⨠1 ; 2 ­ 㣮« 3 ¢®ªà㣠®á¨ 3:

 

'0

= cos

'

1

+ sin

'

2

 

 

 

1

 

3

 

3

 

 

'0

 

=

;

sin

'

 

+ cos

'

2

 

2

 

3

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'0 =

'

3

(2.106)

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

«ï ¨­ä¨­¨â¥§¨¬ «ì­®£® ¯®¢®à®â 3 1 ¨ ¬®¦­® ­ ¯¨á âì:

'01 = '1 + 3'2

'0 =

;

 

'

1

+ '

2

 

2

3

 

 

 

 

 

'0

= '

3

(2.107)

 

 

 

3

 

 

á«ãç ¥ ¨­ä¨­¨â¥§¨¬ «ì­®£® ¯®¢®à®â ¢®ªà㣠¯à®¨§¢®«ì­® ®à¨¥­â¨à®¢ ­­®© ®á¨:

~

 

 

'~ ! '~0 = '~ ; '~

 

 

~

 

 

'~ = ; '~

 

(2.108)

~

­ ¯à ¢«¥­ ¢¤®«ì ®á¨, ¢®ªà㣠ª®-

£¤¥ ¢¥ªâ®à ¯® ¢¥«¨ç¨­¥ à ¢¥­ 㣫㠯®¢®à®â ,

â®à®© ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¢à 饭¨¥.

~ ~

 

 

¯à®¨§-

áᬮâਬ ⥯¥àì «®ª «ì­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥, ¯®« £ ï = (x ). ®£¤

¢®¤­ ï ¯®«ï '~ ¯à¥®¡à §ã¥âáï ­¥ª®¢ ਠ­â­®:

 

 

~

~

 

@ '~ ! @ '~0 = @ '~ ; @ '~ ; @ '~

 

~

~

 

(@ '~) = ; @ '~ ; @ '~

(2.109)

®¯ëâ ¥¬áï á­®¢ ¯®áâநâì ª®¢ ਠ­â­ãî ¯à®¨§¢®¤­ãî, § ¯¨á ¢ ¥¥ ¢ ¢¨¤¥:

~

 

D '~ = @ '~ + gW '~

(2.110)

~

£¤¥ ¢¢¥«¨ ª «¨¡à®¢®ç­®¥ ¯®«¥ (¯®«¥ ­£ { ¨««á ) W , ïî饥áï ¢¥ªâ®à®¬ ­¥ ⮫쪮 ¢ ¯à®áâà ­á⢥ ¨­ª®¢áª®£®, ­® ¨ ¢® ¢­ãâ७­¥¬ (¨§®â®¯¨ç¥áª®¬) ¯à®áâà ­- á⢥, â ª¦¥ ª®­áâ ­âã á¢ï§¨ g.

ॡ®¢ ­¨¥ ª®¢ ਠ­â­®á⨠¨¬¥¥â ¢¨¤:

~

 

(D '~) = ; (D '~)

(2.111)

 

 

~

 

 

 

 

ª ¤®«¦­® ¯à¥®¡à §®¢ë¢ âìáï ¯®«¥ W , ç⮡ë íâ® ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«­ï«®áì? ⢥â:

~

~

~

~

1

~

 

W ! W ; W + g

@

 

 

~

~

~

1

~

 

 

W

= ; W + g

@

(2.112)

.

 

 

 

31

á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨á¯®«ì§ãï (2.108), (2.109) ¨ (2.110), ¯®«ãç ¥¬:

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

(D '~) = (@ '~) + g( W ) '~ + gW ( '~) =

~

~

~

~

 

~

'~

~

~

= ; @ '~ ; @

'~ ; g(

W )

'~ + @

; gW ( '~) =

 

 

~

 

~

~

~

~

 

 

; @ '~ ; g[( W ) '~ + W ( '~)] (2.113)

®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥯¥àì ¢¥ªâ®à­ë¬ ⮦¤¥á⢮¬6:

 

 

 

 

~

~

~

~ ~

~

~

~

~

 

(A B) C + (B C) A + (C A) B = 0

(2.114)

¨§ ª®â®à®£® ¯ã⥬ 横«¨ç¥áª¨å ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì:

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

 

(A B) C + B (A C) = A (B C)

(2.115)

ਬ¥­ïï í⮠⮦¤¥á⢮ ª ¢ëà ¦¥­¨î ¢ ª¢ ¤à â­ëå ᪮¡ª å ¢ (2.113), ¯®«ãç ¥¬:

~

~

 

~

 

(D '~) = ; (@ '~ + gW

'~) = ; D '~

(2.116)

çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì!

 

 

 

 

®á¬®âਬ ⥯¥àì ª ª ¢ë£«ï¤¨â

­ «®£ ⥭§®à

F í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¨. ¡®§­ -

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

稬 ¥£® W . ®â«¨ç¨¥ ®â F , ïî饣®áï ᪠«ï஬ ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¯à¥®¡à §®-

¢ ­¨ï¬ ª «¨¡à®¢®ç­®© £à㯯ë O(2)(U(1)), ¢¥«¨ç¨­

~

¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢¥ª-

W

â®à ¯® ®â­®è¥­¨î ª O(3)(SU(2)). ®®â¢¥âá⢥­­®, ¯à ¢¨«® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¤®«¦­®

¡ëâì ⥬ ¦¥, çâ® ¨ ã ¯®«ï '~:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(W ) = ; W

 

 

 

 

 

(2.117)

 

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥«¨ç¨­

@ W ; @ W â ª ­¥ ¯à¥®¡à §ã¥âáï:

 

 

 

 

 

 

 

~

~

~

~

1

~

 

~

~

1

~

 

(@ W ; @ W ) = @ (; W + g

@ ) ; @ (; W + g @ ) =

 

 

 

~

 

~

 

~

 

~ ~

 

~

 

~

 

 

 

= ; (@ W

; @ W ) ; (@ W ; @ W )

(2.118)

â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ §¤¥áì \«¨è­¥¥". ¬¥â¨¬ ⥯¥àì, çâ®

 

 

 

 

 

~

~

~

1

~

 

~

~

~

 

~

1

~

 

(gW

W ) = g(; W + g

@ ) W

+ gW

(; W + g

@ )

(2.119)

¥à¢®¥ ¨ âà¥âì¥ á« £ ¥¬®¥ §¤¥áì ¬®¦­® ®¡ê¥¤¨­¨âì á ¯®¬®éìî (2.115), çâ® ¤ ¥â:

~ ~

~ ~ ~

~ ~

~

 

(gW W ) = ;g (W W ) + (@ W ; @ W )

(2.120)

¨¤¨¬, çâ® ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ §¤¥áì ᮢ¯ ¤ ¥â á \«¨è­¨¬" ç«¥­®¬ ¢ (2.118). ®í⮬ã

®¯à¥¤¥«¨¬ ⥭§®à ¯®«¥© ­£

{ ¨««á

ª ª:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

~

~

~

 

 

 

 

 

 

 

 

W = @ W ; @ W

+ gW W

 

 

 

(2.121)

çâ® ¯à¥®¡à §ã¥âáï ­ã¦­ë¬ ®¡à §®¬, â.¥. ᮣ« á­® (2.117).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~

 

~ ~ ~

 

~

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⮠⮦¤¥á⢮ ¬®¦­® «¥£ª® ¤®ª § âì, ¨á¯®«ì§ãï ¨§¢¥áâ­®¥ ¯à ¢¨«®: (A

 

B)

 

C = B(A

 

C)

;

~ ~ ~

 

 

 

 

 

 

 

 

A(B C)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы