Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

120 Глава 2. Релятивистская квантовая механика

добавили оператормассы к алгебре Ли группы Галилея в конце раздела 2.4. Расширенная алгебра Ли теперь, конечно, свободна от центральных зарядов, так что часть группы в окрестности единицы имеет только обычные представления, и никаких правил суперотбора не требуется.

Аналогично, даже если группа Ли G не является односвязной, ее всегда можно представить в виде C/H, где С — односвязная группа, которую называют универсальной накрывающей группой группы G, а H — инвариантная подгруппа * группы С. В общем случае, можно взять в качестве группы симметрии вместо G группу C, так как нет никакой разницы в следствиях этого выбора, за исключением того, что G налагает правило суперотбора, а С — нет. Короче говоря, проблема правил суперотбора есть нечто ирреальное: может быть, и можно приготовить физическую систему в виде произвольной суперпозиции состояний, но нельзя решить, так это или нет, ссылаясь на принципы симметрии, поскольку какую бы ни группу симметрии мы не приписывали природе, всегда существует другая группа, приводящая к тем же следствиям, но без правил суперотбора.

Приложение А. Теорема о представлении симметрии

В этом приложении мы дадим доказательство фундаментальной теоремы Вигнера 2, утверждающей, что всякое преобразование симметрии может быть представлено в гильбертовом пространстве физических состояний линейным и унитарным или антилинейным и антиунитарным оператором. При этом главным для нас будет то, что преобразования симметрии являются преобразованиями T лучей, сохраняющими вероятности переходов в том смысле, что если Ψ1 è Ψ2 — векторы состояний, принадлежащие лучам R1 è R2, то любые векторы состояний Ψ′1 è Ψ′2, принадлежа-

* Первая гомотопическая группа C/H есть H. Мы видели, что накрывающая группа однородной группы Лоренца есть SL(2, C), а накрывающая группа трехмерной группы вращений есть SU(2). Подобная связь групп SL и SU справедлива для случая трех, четырех или шести измерений. Для общего случая d измерений накрывающая группа SO(d) носит специальное наименование Spin(d).

щие преобразованным лучам TR1 è TR2, удовлетворяют условию

Мы требуем также, чтобы преобразование симметрии имело обратное преобразование, сохраняющее вероятности переходов в указанном выше смысле.

Для начала рассмотрим некоторую полную ортонормированную систему векторов состояний Yk, принадлежащих лучам Rk, причем

Пусть Y¢k — некоторая произвольная выборка векторов состояний,

принадлежащих преобразованным лучам TRk. Из (2.А.1) имеем:

тельна, так что отсюда вытекает, что она должна иметь значе- ние, равное единице. Поэтому

зуют полную систему, так как если бы существовал какой-ни- будь ненулевой вектор состояния Y¢, который был бы ортогонален ко всем Y¢k, то луч, полученный обратным преобразованием луча, к которому принадлежит Y¢, состоял бы из ненулевых векторов Y¢¢, для которых

для всех k. Это невозможно, так как предполагалось, что Yk

образуют полную систему.

Теперь следует принять соглашение о фазах для состояний Y¢k. С этой целью выделим одно из состояний Yk, например, Y1, è

состояния ¡¢k, принадлежащий преобразованному лучу TSk, может быть разложен по векторам состояний Y¢l:

à äëÿ l ¹ k è l ¹ 1

ckl = 0.

Ясно, что для любого данного k подходящим выбором фаз двух векторов состояний ¡¢k è Y¢l можно так настроить фазы двух ненулевых коэффициентов ckk è ñk1, чтобы они равнялись 12 . С этого момента векторы состояний ¡¢k è Y¢k, выбранные подобным образом, будут обозначаться U¡k è UYk. Как было показано,

Однако нужно еще определить UY для произвольных векторов состояний Y.

Рассмотрим произвольный вектор состояния Y, принадлежащий произвольному лучу R, и разложим его по Yk:

Любой вектор состояния Y¢, принадлежащий преобразо-

ванному лучу TR, может быть аналогичным образом разложен по полной ортонормированной системе векторов UYk:

Далее можно показать, что при всех k выбор должен быть один и тот же. (Этот этап доказательства был пропущен Вигнером.) Для этого предположим, что при некотором k имеем Ck/C1 = C′k/C¢1, а при некотором l ¹ k, напротив, Cl/C1 = (C¢l/C¢1)*. Предположим

также, что оба отношения комплексны, так что мы рассматриваем действительно два разных случая. (Это изначально требует, чтобы k ¹ 1 è l ¹ 1, а также k ¹ l.) Покажем, что такое невозмîæíî.

Определим вектор состояния F º bY1 + Yk + Yl g / 3 . Òàê êàê

все отношения коэффициентов в этом векторе состояния действительны, мы должны получить те же отношения в любом векторе состояния F¢, принадлежащем преобразованному лучу:

Φ′ ≡ α bUΨ1 + UΨk + UΨl g , 3

ãäå a — фазовый множитель, |a| = 1. Но тогда из равенства