ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1973
Скачиваний: 1
2.7. Проективные представления |
115 |
|
|
|
|
|
F V0 + V3 |
V1 − iV2 I |
|
|||||||
v ≡ V |
μσμ = G |
1 |
+ iV |
2 |
V |
0 |
− V |
3 |
J , |
(2.7.36) |
|
H V |
|
|
|
|
K |
|
|||
ãäå σμ − обычные матрицы Паули, причем σ0 ≡ 1. Обратно, всякая 2×2 эрмитова матрица может быть записана в этом виде и поэтому определяет действительный 4-вектор Vμ.
Свойство эрмитовости будет сохраняться при преобразованиях
v → λvλ† , |
(2.7.37) |
ãäå λ — произвольная 2×2 матрица. Кроме того, инвариантный
квадрат 4-вектора равен
Vμ Vμ = (V1)2 + (V2 )2 + (V3 )2 − (V0 )2 = −Det v , |
(2.7.38) |
и этот детерминант сохраняется при преобразовании (2.7.37), если выполнено условие
| Det λ| = 1. |
(2.7.39) |
Каждая комплексная 2×2 матрица λ, удовлетворяющая (2.7.39),
определяет таким образом действительное линейное преобразование Vμ, оставляющее инвариантным выражение (2.7.38), т. е. однородное преобразование Лоренца Λ(λ):
λVμσμ λ† = (Λμ ν (λ)Vν )σμ . |
(2.7.40) |
Далее, для двух таких матриц λ è`λ
(λλ)Vμσμ (λλ)† = λ(λVμσμ λ† )λ† =
= λΛμ ν (λ)Vνσμλ† = Λμρ (λ)Λρν (λ)Vνσμ ,
òàê ÷òî
|
|
|
|
|
|
Λ(λλ |
) = Λ(λ)Λ(λ) . |
(2.7.41) |
|||
Однако две матрицы λ, отличающиеся только общей фазой,
одинаково действуют на v в (2.7.37) и поэтому соответствуют одному и тому же лоренцовскому преобразованию. Поэтому удобно
116 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
|
|
|
|
настроить фазу матриц λ так, чтобы |
|
|
|
Det λ = 1, |
(2.7.42) |
что совместимо с (2.7.41). Комплексные 2×2 матрицы с детерминан-
том, равным единице, образуют группу, называемую SL(2, C). (Символ SL означает «специальная линейная», причем слово «специальная» соответствует единичному детерминанту элементов группы, а С означает «комплексная».) Групповые элементы зависят от 4 − 1 = 3 комплексных параметров или шести действительных
параметров, т. е. от того же числа параметров, что и группа Лоренца. Однако группа SL(2, C) не тождественна группе Лоренца: если λ — матрица из SL(2,C), то и −λ принадлежит этой группе, причем как λ, òàê è −λ соответствуют одному и тому же преобра-
зованию Лоренца в (2.3.37). Действительно, легко видеть, что матрица
F eiθ/2 |
|
0 I |
|
λ(θ) = G |
0 |
e |
−iθ/2 J |
H |
K |
||
отвечает лоренцовскому преобразованию Λ(λ(θ)), представляющему вращение на угол θ вокруг оси z, так что λ = −1 соответствует вращению на угол 2π. Таким образом группа Лоренца не
совпадает с SL(2,C), а равна SL(2,C)/Z2 *, которая представляет группу комплексных 2×2 матриц с единичным детерминантом и с отождествлением пар элементов λ è −λ.
Какова же топология группы Лоренца? В силу теоремы о полярном разложении 12 всякая комплексная несингулярная матрица λ может быть представлена в виде
λ = ueh ,
ãäå u − унитарная матрица, а h − эрмитова матрица, u†u = 1 , h† = h .
* Группа Z2 состоит из двух элементов +1 и −1. В общем случае, когда мы пишем G/H, где H − инвариантная подгруппа группы G, подразумевается, что в группе G отождествлены элементы g и gh, где g G и h H. Подгруппа
Z2 тривиально инвариантна, так как ее элементы коммутируют со всеми элементами SL(2, C).
2.7. Проективные представления |
117 |
|
|
|
|
Так как Det u является фазовым множителем, а Det (exp h) = = exp (Tr h) действителен и положителен, то из условия (2.7.42) вытекает одновременно, что
Det u = 1, Tr h = 0.
(Множитель u соответствует подгруппе вращений группы Лоренца: если1 u — унитарная матрица, то Tr (uvu†) = Tr v, òàê ÷òî V0 = Tr v остается инвариантным под действием Λ(u).) Далее, это
разложение однозначно, так что группа SL(2,C) топологически является просто прямым произведением (т. е. множеством пар элементов) пространства всех матриц u и пространства всех матриц h. Всякая эрмитова 2×2 матрица h со следом, равным
нулю, может быть представлена в виде
F |
c |
a − ibI |
h = G |
|
J , |
H a + ib |
−c K |
|
где a, b, c действительны, но в остальном произвольны, так что пространство всех h топологически эквивалентно обычному трехмерному плоскому пространству R3. С другой стороны, всякая унитарная 2×2 матрица с единичным детерминантом может быть
представлена в виде:
F |
d + ie |
f + igI |
u = G |
− f + ig |
J , |
H |
d − ieK |
где d, e, f, g удовлетворяют единственному нелинейному ограни- чению
d2 + e2 + f2 + g2 = 1 ,
так что пространство SU(2) всех u топологически эквивалентно пространству S3 — трехмерной поверхности сферы в плоском четырехмерном пространстве. Таким образом SL(2,C) топологически эквивалентна прямому произведению R3×S3. Эта группа являет-
ся односвязной: всякая кривая, соединяющая две точки из R3 èëè S3, может быть продеформирована в любую другую, и то же верно для прямого произведения. (Все сферы Sn за исключением окружности S1 являются односвязными.) Однако нас интересует не SL(2,C), а группа SL(2,C)/Z2. Отождествление l и −l эквивалентно отождествлению унитарных множителей u и −u (òàê êàê eh всегда поло-
жительно), так что топология группы Лоренца — это топология
118 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
|
|
R3×S3/Z2, ãäå S3/Z2 — трехмерная сферическая поверхность с
отождествленными противоположными точками. Эта группа не является односвязной; например, на S3 ïóòü èç u â u′ нельзя непрерывно продеформировать в путь из u в −u′, тогда как в
S3/Z2 эти два пути соединяют одни и те же точки. Фактически, S3/Z2 — двусвязная группа: пути между любыми двумя точками разделяются на два класса, в зависимости от того, включают ли они инверсию u → −u, и каждый путь из одного класса можно
продеформировать в другой путь того же класса. Эквивалентным является утверждение, что двойная петля, дважды проходящая один и тот же путь из какого-то элемента обратно в него же, может быть непрерывным образом сжата в точку. (Как показано в Приложении Б, математически это выражается в утверждении, что для группы S3/Z2 фундаментальная или первая гомотопическая группа есть Z2.) Аналогично, неоднородная группа Лоренца имеет ту же топологию, что и группа R4×R3×S3/Z2, è
поэтому она также двусвязна.
Так как группа Лоренца (однородная или неоднородная) неодносвязна, она имеет внутренне проективные представления.
Однако поскольку двойная петля, дважды проходящая путь из 1 в Λ, èç Λ â Λ`Λ, и обратно в 1, может быть сжата в точку, мы
должны иметь
[U(Λ)U(Λ)U−1(ΛΛ)]2 = 1,
и поэтому фаза eiφ(Λ,Λ) является просто знаковым множителем:
U(Λ)U( |
|
|
|
|
(2.7.43) |
Λ |
) = ±U(ΛΛ |
) . |
|||
Аналогично для неоднородной группы Лоренца
U(Λ, a)U( |
Λ |
, |
|
) = ±U(ΛΛ |
, Λ |
|
+ a) . |
(2.7.44) |
a |
a |
Нам знакомы такие «представления с точностью до знака»: это состояния с целым спином, для которых знаки в (2.7.43) и (2.7.44) всегда равны +1, и состояния с полуцелым спином, для которых эти знаки равны +1 или −1 в зависимости от того, можно ли сжать в точку путь от 1 к Λ, затем к Λ`Λ, и назад к единице. Это различие обусловлено тем, что вращение на угол 2π вокруг оси z, действуя
на вектор состояния с проекцией углового момента на ось z, равную